廣東省深圳市普通高中2026屆高二數學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.562．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.74．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.5．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.6．“五一”期間，甲、乙、丙三個大學生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關于去向的地點僅對一個).根據以上信息，可判斷下面說法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南7．下列函數中，以為最小正周期，且在上單調遞減的為（）A. B.C. D.8．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.9．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.10．數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.11．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是___________.14．正四棱柱中，，，點為底面四邊形的中心，點在側面四邊形的邊界及其內部運動，若，則線段長度的最大值為__________15．設，，若將函數的圖像向左平移個單位能使其圖像與原圖像重合，則正實數的最小值為___________.16．過圓上一點的圓的切線的一般式方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經濟很快得到復蘇.在餐飲業(yè)恢復營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近天內每日接待的顧客人數，將前天的數據進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數頻率第組第組第組第組第組合計（1）求、、的值，并估計該快餐店在前天內每日接待的顧客人數的平均數；（2）已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的方差為，在后天內每日接待的顧客人數的平均數為、方差為，估計這家快餐店這天內每日接待的顧客人數的平均數和方差.（）18．（12分）已知拋物線過點，是拋物線的焦點，直線交拋物線于另一點，為坐標原點.（1）求拋物線的方程和焦點的坐標；（2）拋物線的準線上是否存在點使，若存在請求出點坐標，若不存在請說明理由.19．（12分）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點，求四邊形面積的最小值.20．（12分）在中，角、、C所對的邊分別為、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求，的值.21．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）斜率為的直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，可得第8行，第3個數是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，故第8行，第3個數是為故選：B2、D【解析】利用復數除法運算和復數相等可用表示出，進而得到之間關系.【詳解】，，，則.故選：D.3、B【解析】根據單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B4、B【解析】根據數陣可知第行為，利用等差數列求和，即可得到答案；【詳解】根據數陣可知第行為，，故選：B5、D【解析】根據不等式性質并結合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質，可知D正確.故選：D.6、D【解析】根據題意，先假設甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，假設甲去了北京正確，對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設錯誤.假設乙去了西安正確，對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，此種假設滿足題意，故甲去了云南.故選：D7、B【解析】A.利用正切函數的性質判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數是以為最小正周期，在上單調遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調遞增，故錯誤；故選：B8、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B9、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.10、A【解析】求出重心坐標，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.11、D【解析】根據不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，需熟練掌握性質，屬于基礎題.12、D【解析】由題干條件得到，設出，利用雙曲線定義表達出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】參變分離，可得，設，求導分析單調性，可得，即得解【詳解】因為，所以不等式可化為，設，則，設，由于故在上單調遞增，且，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，則，即.故答案為：14、【解析】根據正四棱柱的性質、矩形的性質，線面垂直的判定定理，結合勾股定理進行求解即可.【詳解】當位于點時，因為是正方形，所以，由正四棱柱的性質可知，平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，平面，所以，因此當位于點時，滿足題意，當點位于邊點時，若，在矩形中，,因為，所以，因此，所以有，此時，又平面，所以平面，故點的軌跡在線段上，，所以線段長度的最大值為.故答案為：關鍵點睛：利用特殊點判斷出點的軌跡是解題的關鍵.15、【解析】根據正弦型函數圖像平移法則和正弦函數性質進行解題.【詳解】解：由題意得：函數的圖像向左平移個單位后得：該函數與原函數圖像重合故可知，即故當時，最小正實數.故答案為：16、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點睛】本題考查求過圓上一點的圓的切線方程，利用切線性質求得斜率后易得直線方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，平均數為；（2）平均數為，方差為.【解析】（1）計算出第組的頻數，可求得的值，利用頻數、頻率和總數的關系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數公式可求得該快餐店在前天內每日接待的顧客人數的平均數；（2）設前天接待的顧客人數分別為、、、，后天接待的顧客人數分別為、、、，利用平均數公式和方差公式可求得結果.【小問1詳解】解：由表可知第組的頻數為，所以，，，第組的頻率為，，前天內每日接待的顧客人數的平均數為：.【小問2詳解】解：設前天接待的顧客人數分別為、、、，后天接待的顧客人數分別為、、、，則由（1）知前天的平均數，方差，后天的平均數，方差，故這天的平均數為，，同理，這天的方差，由以上三式可得.18、（1）拋物線的方程為，焦點坐標為（2）存在，且【解析】（1）根據點坐標求得，進而求得拋物線的方程和焦點的坐標.（2）設，根據列方程，化簡求得的坐標.【小問1詳解】將代入得，所以拋物線的方程為，焦點坐標為.【小問2詳解】存在，理由如下：直線的方程為，或，即.拋物線的準線，設，，即，所以.即存在點使.19、（1）（2）2【解析】（1）根據拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，再根據弦長公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當且僅當，即時等號成立，∴四邊形面積的最小值為2.20、（1）（2），【解析】（1）根據同角三角函數的基本關系求解的值，再結合正弦定理求解即可；（2）根據三角形的面積可求解出邊c的值，再運用余弦定理求解邊b.【詳解】（1），且，.由正弦定理得，.（2），.由余弦定理得，.21、（1）;（2）.【解析】（1）根據題意得到關于的方程，解之即可求出結果;（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結合韋達定理以及平面向量數量積的坐標運算即可求出結果.【小問1詳解】因為橢圓的左頂點到右焦點的距離是3，所以又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而所以橢圓的標準方程【小問2詳解】因為直線的斜率為，且過右焦點，所以直線的方程為聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中設，，則，因為，所以因此的值是22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據面面垂直的性質得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點為，連接，根據面面