山東省青島第十六中學2026屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.2．有關(guān)橢圓敘述錯誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是3．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項和為（）A.60 B.61C.62 D.634．圓與圓的交點為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.5．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或6．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.7．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.8．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確9．過雙曲線的右焦點有一條弦是左焦點，那么的周長為（）A.28 B.C. D.10．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.11．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.412．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，，，則______14．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為__________.15．已知正三棱柱中，底面積為，一個側(cè)面的周長為，則正三棱柱外接球的表面積為______.16．寫出一個同時滿足下列條件①②③的圓C的標準方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若等比數(shù)列的各項為正，前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.19．（12分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.20．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.21．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.22．（10分）已知點到兩個定點的距離比為（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線被點的軌跡截得的弦長為，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由，分兩步，當求出，當時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】解：因為①，當時，，當時②，①②得，所以，當時也成立，所以；故選：D2、A【解析】根據(jù)題意求出，進而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯誤，B,C,D正確.故選：A.3、B【解析】討論奇偶性，應用等差、等比前n項和公式對作分組求和即可.【詳解】當且為奇數(shù)時，，則，當且為偶數(shù)時，，則，∴.故選：B.4、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時，往往結(jié)合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運算量.5、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號，列不等式計算即得結(jié)果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關(guān)系可知，故不等式即轉(zhuǎn)化成，即，等價于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點睛】分式不等式的解法：（1）先化簡成右邊為零的形式（或），等價于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號（或者異號），列不等式組求解即可.6、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A7、A【解析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.8、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.9、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C10、A【解析】作點關(guān)于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關(guān)于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.11、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點睛】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.12、D【解析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】運用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】因為，，所以當時，有，因此有：，即，當時，適合上式，所以，故答案為：.14、【解析】畫出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點，半徑為2的一個半圓.圓心到直線距離，而點到直線的距離為，故若點到直線的距離不大于，則點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，屬于中檔題.15、【解析】首先由條件求出底面邊長和高，然后設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為，則點為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長度即可.【詳解】如圖所示，設底面邊長為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因為一個側(cè)面的周長為，所以設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為則點為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：求幾何體的外接球半徑的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.16、(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)【解析】首先設圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解.【詳解】設圓心坐標為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當時，，，所以其中一個同時滿足條件①②③的圓的標準方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結(jié)果【小問1詳解】設各項為正的等比數(shù)列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項和.18、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導可得，分析正負即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問1詳解】當時，令，解得，，當變化時，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由條件可知，從而恒成立當時，；當時，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是19、（1）（2），【解析】（1）由，計算出公差，再寫出通項公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當時，取得最小值.20、（1）略；（2）【解析】（1）推導出BD⊥BC，PB⊥BC，從而BC⊥平面PBD，由此能證明PD⊥BC．（2）利用等體積求得點B到面的距離【詳解】（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC為等邊三角形∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD?平面PBD，∴PD⊥BC（2）由（1）知，，故故得點B到面PCD的距離為【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查點面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題21、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當