四川省遂寧市2026屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.92．雙曲線型自然通風塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.3．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.814．直線分別與曲線，交于，兩點，則的最小值為（）A. B.1C. D.25．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③6．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.C. D.8．經(jīng)過兩點直線的傾斜角是（）A. B.C. D.9．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.10．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.11．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么12．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______14．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；15．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（?。?6．若，則___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.18．（12分）某項目的建設過程中，發(fā)現(xiàn)其補貼額x（單位：百萬元）與該項目的經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：補貼額x（單位：百萬元）23456經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（2）為高質(zhì)量完成該項目，決定對負責該項目的7名工程師進行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程師中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望.參考公式：19．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.21．（12分）已知動點在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點．過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，且點的軌跡是過點的圓（1）求橢圓方程；（2）過點，分別作平行直線和，設交橢圓于點，，交橢圓于點，，求四邊形的面積的最大值22．（10分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先求得直線過定點，再根據(jù)當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內(nèi)部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B2、A【解析】以的中點О為坐標原點，建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，設，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】以的中點О為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設雙曲線的方程為，則，可設，，又由，在雙曲線上，所以，解得，，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.第II卷3、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關(guān)系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A4、B【解析】設，，，，得到，用導數(shù)法求解.【詳解】解：設，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)的最小值為1，故選：B5、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數(shù)各面內(nèi)角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.6、D【解析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即，，當時，，所以故選：D7、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點坐標為，其漸近線方程為，即，則其焦點到漸近線的距離；故選D.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標.8、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B9、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D10、A【解析】設直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設過點的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式，解得11、C【解析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.故選：C12、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、②④【解析】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯誤；若，則，④正確；故答案為：②④.15、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故答案為：4500.16、【解析】先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出，即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當且僅當時，等號成立，故.18、（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式直接求解即可，（2）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，然后求各自對應的概率，從而可求得分布列和期望【小問1詳解】.，...【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3.，，分布列為0123.19、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進行化簡是關(guān)鍵.一般地，當?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進行化簡；當含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進行邊角互化.20、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出導函數(shù)后計算得斜率，由點斜式得直線方程并整理；（2）求出導函數(shù)，然后分類討論它在上的正負得單調(diào)性【小問1詳解】當時，，則，故切線的斜率.又.所以函數(shù)在處的切線方程為：.【小問2詳解】由，得①當時，在上單調(diào)遞減；②當時，在上單調(diào)遞減；③當時，令，得當時，在上單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；④當時，在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增.21、（1）；（2）【解析】(1)設點和，由題意可得點的軌跡方程，將點Q的坐標代入T的方程計算出即可；(2)設的方程，和，聯(lián)立橢圓方程并消元得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到，進而求出和，根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離，得出所求四邊形面積的表達式，結(jié)合換元法和基本不等式化簡求值即可.【詳解】解：（1）設點，，則點，，，∵，∴，∴，∵點在橢圓上，∴，即為點的軌跡方程又∵點的軌跡是過的圓，∴，解得，所以橢圓的方程為（2）由題意，可設的方程為，聯(lián)立方程，得設，，則，且，所以，同理，又與的距離為，所以，四邊形的面積為，