陜西省銅川市2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.或 D.或2．已知點(diǎn)A、是拋物線：上的兩點(diǎn)，且線段過拋物線的焦點(diǎn)，若的中點(diǎn)到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.83．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與y軸交于點(diǎn)A、與雙曲線右支交于點(diǎn)B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.6．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點(diǎn)O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交7．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）A. B.C. D.9．已知直線，兩個(gè)不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.11．已知是公差為3的等差數(shù)列.若，，成等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和（）A.165 B.138C.60 D.3012．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的方程是，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線有4條對(duì)稱軸；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1；④曲線所圍成圖形的面積大于4；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____14．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為___________.15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足通項(xiàng)公式，則________16．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）一臺(tái)還可以用的機(jī)器由于使用的時(shí)間較長(zhǎng)，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/秒)1615129每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關(guān)關(guān)系:（1）求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(參考:回歸直線方程為，其中，）19．（12分）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過點(diǎn)，且與C交于P，Q兩點(diǎn)．問：在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得對(duì)任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.21．（12分）王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包6000元，她計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學(xué)想在第二年過年的時(shí)候給奶奶買一臺(tái)全身按摩椅（商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？22．（10分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個(gè)方向向量為；已知直線l過點(diǎn)，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.2、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為，則故選：D3、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.4、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B5、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.6、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.7、C【解析】對(duì)求導(dǎo)得，得到m，n是兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m，n的關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，進(jìn)而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C8、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D9、C【解析】對(duì)于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對(duì)于B,可能相交，故可判斷B;對(duì)于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對(duì)于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【詳解】對(duì)于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B,，那么可能相交，故可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對(duì)于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯(cuò)誤，故選：C.10、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：；；；……則其通項(xiàng)公式.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質(zhì)求得首項(xiàng)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，解得，所以故選：A12、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】根據(jù)曲線方程作出曲線，即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【詳解】曲線的簡(jiǎn)圖如下：根據(jù)圖象以及方程可知，曲線C恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn),它們是，，，所以①不正確；由圖可知，曲線有4條對(duì)稱軸，它們分別是軸，軸，直線和，②正確；由圖可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1，③正確；由圖可知，曲線所圍成圖形的面積等于，④正確故答案為：②③④14、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到軸的距離為計(jì)算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為故答案為：15、【解析】由時(shí)，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，又，所以，檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，所以，故答案：.16、【解析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積.【詳解】由題可得，設(shè)，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），;（2）.【解析】（1）利用求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求出等比數(shù)列的公比即得解；（2）求出，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】解：，.當(dāng)時(shí)，，適合..設(shè)等比數(shù)列公比為，，，即，或（舍去），.【小問2詳解】解：，，，上述兩式相減，得，所以所以.18、(1);(2)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).【解析】(1)結(jié)合已知數(shù)據(jù)，代入公式中，先求出，然后求出，進(jìn)而可求出，從而可得回歸方程.(2)由題意得，即可求出轉(zhuǎn)速的最高速度.【詳解】解：(1)由題意知，，所以，則，即關(guān)于的回歸直線方程為.(2)由可得，解得，所以機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).19、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件，同時(shí)結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)，，，直線l的方程為，因?yàn)椋?，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點(diǎn)，使得對(duì)任意且，都有.20、（1）（2）恒過點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，所以、，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)椋?，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，?dāng)時(shí)直線過點(diǎn)，故舍去，所以，則直線恒過點(diǎn)；21、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關(guān)系，變形后利用等比數(shù)列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再求出，再計(jì)算即可得出結(jié)論.【小問1詳解】依題意，第1個(gè)月底股票市值則又∴數(shù)列是首項(xiàng)為1200，公比為1.2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學(xué)將一年理財(cái)投資所得全部取出來是足夠的.22、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點(diǎn)，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問1