陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.2．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.5．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.6．小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.7．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.328．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日9．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.310．若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.2111．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球12．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則______14．若直線與直線相互平行，則實數(shù)___________.15．已知為拋物線的焦點，為拋物線上的任意一點，點，則的最小值為______.16．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓焦距為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線上任意一點，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程18．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由19．（12分）已知兩動圓：和：，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，取曲線上的相異兩點、滿足：且點與點均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標(biāo)；20．（12分）已知橢圓上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點為橢圓C上一點（1）求橢圓C的方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩個動點，且的角平分線總是垂直于y軸，求證：直線MN的斜率為定值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.3、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B4、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項，歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D6、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學(xué)路上的運動特征，兩者對應(yīng)即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運動特征，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.8、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，分析首次達(dá)到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為.因為為增函數(shù)，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元.故選：C9、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因為當(dāng)時，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因為當(dāng)時，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B10、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.11、C【解析】根據(jù)試驗過程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C12、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.2【解析】根據(jù)二項分布的均值和方差的計算公式可求解【詳解】依題意得X服從二項分布，則，解得，故答案為：14、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為直線與直線相互平行，所以，解得，故答案為：15、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長度即可.【詳解】點是拋物線的焦點，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點時取得等號，∴的最小值為.故答案為：.16、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，是橢圓的左右頂點，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點，即方程對任意實數(shù)都成立，此時的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.18、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以19、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點.【小問1詳解】設(shè)兩動圓的公共點為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因為，所以有，把代入整理化簡得，或舍，因為點與點均不重合，所以直線恒過定點20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點坐標(biāo)為，左右頂點的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】橢圓的離心率，又，∴∵橢圓C：經(jīng)過點，解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵∠MPN的角平分線總垂直于y軸，∴MP與NP所在直線關(guān)于直線對稱．設(shè)直線MP的斜率為k，則直線NP的斜率為∴設(shè)直線MP的方程為，直線NP的方程為設(shè)點，由消去y，得∵點在橢圓C上，則有，即同理可得∴，又∴直線MN的斜率為【點睛】關(guān)鍵點睛：由∠