山東、湖北部分重點中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知拋物線上一點M與焦點間的距離是3，則點M的縱坐標為（）A.1 B.2C.3 D.43．已知實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.4．已知直線，兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5．曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等6．中國農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽為“中國的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產(chǎn)代表作名錄.某小學三年級共有學生600名，隨機抽查100名學生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計該校三年級的600名學生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人7．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.8．如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則判斷框中應填入（）A.？ B.？C.？ D.？10．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.11．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m12．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，為雙曲線上一點，且，則的值為________14．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.15．若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為_____________16．若點P為雙曲線上任意一點，則P滿足性質：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓內有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.（1）當P為弦的中點時，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長.18．（12分）一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設每盤游戲中出現(xiàn)“6點”的次數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析解釋上述現(xiàn)象19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調性；（2）若存在兩個極值點，試證明：21．（12分）已知橢圓的上頂點在直線上，點在橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）點P，Q在橢圓C上，且，，點G為垂足，是否存在定圓恒經(jīng)過A，G兩點，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：C2、B【解析】利用拋物線的定義求解即可【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，因為拋物線上一點M與焦點間的距離是3，所以，得，即點M的縱坐標為2，故選：B3、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內一點與定點連線的斜率，由圖可知，當點在可行域內運動時，直線的傾斜角為銳角，當點與點重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：A.4、C【解析】對于A,可能在內，故可判斷A；對于B,可能相交，故可判斷B;對于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對于D,和可能平行，或斜交或在內，故可判斷D.【詳解】對于A,除了外，還有可能在內，故可判斷A錯誤；對于B,，那么可能相交，故可判斷B錯誤；對于C,根據(jù)線面平行的性質定理可知，在內一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對于D，，，則和可能平行，或斜交或在內，故可判D.錯誤，故選：C.5、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點在軸上，長軸長10，短軸長為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8對照選項，則正確故選：【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題6、C【解析】根據(jù)頻率計算出正確答案.【詳解】一句也說不出的學生頻率為，所以估計名學生中，一句也說不出的有人.故選：C7、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B8、A【解析】分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設，推出；根據(jù)，進而推導出，結合拋物線定義求出；最后由相似比推導出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設與交于點.設，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A9、C【解析】本題為計算前項和，模擬程序，實際計算求和即可得到的值.【詳解】由題意可知：輸出的的值為數(shù)列的前項和.易知，則，令，解得.即前7項的和.為故判斷框中應填入“？”.故選：C.10、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標,關鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.11、B【解析】設半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.12、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可得故答案為：214、∪【解析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.15、【解析】根據(jù)拋物線的定義可得動點的軌跡方程【詳解】點到點的距離比它到直線的距離少1，所以點到點的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，所以方程為，故答案為：16、【解析】若Q到的距離為有，由題設有，結合雙曲線離心率的性質，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質有Q到左、右焦點的距離分別為、，再由雙曲線性質及已知條件列不等式組求離心率范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點斜式即可求解；（2）由題意，利用點斜式求出直線l的方程，然后由點到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點時，由圓的性質有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因為直線l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.18、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設每盤游戲得分為，得到的分布列和數(shù)學期望，從而得到結論.【詳解】解：（Ⅰ）可能的取值為，，，.每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為.，，，，所以X的分布列為：0123（Ⅱ）設每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（Ⅲ）設每盤游戲得分為.由（Ⅰ）知，的分布列為：Y-1215120P的數(shù)學期望為.這表明，獲得分數(shù)的期望為負因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大【點睛】本題考查求隨機變量的分布列和數(shù)學期望，求互斥事件的概率，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，可得，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)導函數(shù)判定函數(shù)的單調性即可；（2）等價轉化和構造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關鍵性作用.【小問1詳解】的定義域為，當時，令得，當時，；當時，所以在和上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】，存在兩個極值點，則有二正根，由，得由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則由于，所以等價于設函數(shù)，在單調遞減，又，從而所以，故.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理21、（1）；（2）存在，定圓.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設直線的方程，利用韋達定理及條件可得直線恒過定點，則以為直徑的圓適合題意，即得.【小問1詳解】由題設知，橢圓上頂點為，且在直線上∴，即又點在橢圓上，∴解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】設，，當直線斜率存在，設直線為：聯(lián)立方程，化簡得∴，，∵，∴又∵，∴將，代入，化簡得，即則或，①當時，直線恒過定點與點重合，不符題意.②當時，直線恒過定點，記為點，∵，∴以為直徑，其中點為圓心的圓恒經(jīng)過兩點，則圓方程為：；當直線斜率不存在，設方程為，，，且，，∴，解得或（舍去），，取，以為直徑作圓，圓方程為：恒經(jīng)過兩點，綜上所述，存在定圓恒經(jīng)過兩點.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是證明直線恒過定點，結合條件可得以為直徑的圓，適合題