西藏自治區(qū)拉薩市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若3，，27成等差數(shù)列，則（

）A．9 B．15 C． D．2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B．3 C．4 D．63．如果一個棱長為的正方體的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)a，b是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列選項(xiàng)中能得出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切6．在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍.要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經(jīng)過的時間最少為（

）A．天 B．天 C．天 D．天8．已知雙曲線，斜率為4的直線與雙曲線相交于點(diǎn)，，且弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C．4 D．5二、多選題9．已知直線與直線之間的距離為，則的值可以是（

）A． B． C． D．10．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于、兩點(diǎn)（不同于左、右頂點(diǎn)），則（

）A． B．的離心率為C．弦的長可能等于 D．的周長為11．如圖，是圓錐的底面圓的直徑，點(diǎn)是底面圓上異于、的動點(diǎn)，點(diǎn)是母線上一點(diǎn)，已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為C．三棱錐的體積的最大值為D．若，則從點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)點(diǎn)的最短長度為三、填空題12．已知向量，若，則m=.13．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則取得最小值時，.四、解答題15．（1）求焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn).(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與圓相切，求直線的方程.17．在數(shù)列中，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求二面角的正弦值.19．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)是上的一點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，（，不在軸上）是橢圓上不同的兩點(diǎn).①求直線，的斜率之積；②若直線的斜率是直線的斜率的倍，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

1．B利用等差中項(xiàng)可得答案.【詳解】若3，，27成等差數(shù)列，則，解得.故選：B.2．B由拋物線定義和方程即可得解.【詳解】由題意知，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3.故選：B.3．D求出正方體外接球的半徑，根據(jù)可求得的值.【詳解】由球的表面積為，得球半徑滿足，解得，因此正方體的體對角線，所以.故選：D.4．A根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，，，則，那么，故A正確；B.若，，，則，故B錯誤；C.若，，則，或，又，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C錯誤；D.若，，，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D錯誤.故選：A5．A由圓心距和半徑和、差的關(guān)系即可判斷.【詳解】由題意知，，兩圓的半徑分別為，，所以，故兩圓外離.故選：A.6．D建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線夾角.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故選：D.7．A根據(jù)題干確定各等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，列不等式，解不等式即可.【詳解】由題意，蒲第一天長高尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，所以蒲每天生長的高構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，又由莞第一天長高尺，以后每天長高為前一天的兩倍，所以莞每天生長的高構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，令，解得或，因?yàn)?，所以，故選：A.8．B根據(jù)點(diǎn)差法求出關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，①；，②，①-②得，則弦中點(diǎn)坐標(biāo)為直線的斜率為，即,則.故選：B.9．BC根據(jù)平行線間距離公式列方程，解方程即可.【詳解】由題意可知，所以與間的距離，解得或.故選：BC10．AB求出、、的值，可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的離心率公式可判斷B選項(xiàng)；求得，可判斷C選項(xiàng)；利用橢圓的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，，所以，A對；對于B選項(xiàng)，橢圓的離心率為，B對；對于C選項(xiàng)，，弦的長不可能等于，C錯；對于D選項(xiàng)，的周長為，D錯.故選：AB.11．BCD利用扇形的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而得出其高，結(jié)合錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)扇形的弧長公式可判斷B選項(xiàng)；求出面積的最大值，結(jié)合錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)；將圓錐沿著展開，結(jié)合勾股定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)圓錐的母線長、底面半徑、高分別為、、，由題知，圓錐的側(cè)面積，所以，圓錐高，故該圓錐的體積為，A錯；對于B選項(xiàng)，側(cè)面展開圖弧長，圓心角，B對；對于C選項(xiàng)，由圓的幾何性質(zhì)可知，由勾股定理可得，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，此時，故，C對；對于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，側(cè)面展開圖扇形圓心角，點(diǎn)在上且，則，展開后的扇形中，與（對應(yīng)底面同一點(diǎn)）的圓心角為，最短路徑為線段，且，D對.故選：BCD.12．由空間向量垂直的條件求解.【詳解】由，得解得故答案為：13．求出圓心、半徑及圓心到直線的距離，再利用圓的弦長公式計算得解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以.故答案為：14．9根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)推出，，即可得解.【詳解】由，得，又，所以，即，所以，即等差數(shù)列前9項(xiàng)為負(fù)，從第10項(xiàng)開始為正，所以前9項(xiàng)和最小。即當(dāng)取得最小值時，.故答案為：915．（1）；（2）.（1）由題意知在軸上，設(shè)所求拋物線方程為，根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求雙曲線的方程，求出的值，即可得出所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意知在軸上，故設(shè)所求拋物線方程為，所以，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殛P(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，解得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入上述方程，得，所以雙曲線的方程為，故所求雙曲線的方程為.16．(1)(2)或（1）求出直線、的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，可得出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可求出的值，綜合可得出直線的方程.【詳解】（1）聯(lián)立兩直線和的方程，解得，，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.17．(1)證明見解析(2)(1)利用等差數(shù)列的定義即可證明；(2)由（1）先寫出數(shù)列的通項(xiàng)，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是公差為1的等差數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，，所以，所以于是

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.18．(1)證明見解析(2)(3).（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線的方向向量，并求出平面的法向量，從而證明線面平行；（2）用點(diǎn)到面的距離公式，求出點(diǎn)到面的距離；（3）先求出兩平面夾角的余弦，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則.設(shè)平面的一個法向量為，又，，所以令，解得，所以平面的一個法向量為，又，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）知.設(shè)平面的一個法向量為，所以令，解得，所以平面的一個法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為.（3）由（1）知平面的一個法向量為，由（2）知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為，又所以，即二面角的正弦值為.19．(1)(2)①；②直線恒過點(diǎn).【詳解】（1）由，得