廣東省汕頭市2025-2026學(xué)年高一期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷總分：150分考試時(shí)長：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)不等式的求解方法求出集合，根據(jù)一元二次不等式的求解方法求出集合，根據(jù)交集的運(yùn)算求出.【詳解】，，或，或，，，，，故選項(xiàng)D正確.故選：D.2.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后將不等式進(jìn)行變形，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以不等式變?yōu)?由于，所以為奇函數(shù)，所以，所以不等式變?yōu)?由于在上為增函數(shù)，所以，解得,故選：B.3.若，，，，則大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】借助中間值和函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，所以，.故選：A4.已知向量，，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，進(jìn)而可得模長.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，所以.故選：C.5.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)對(duì)稱性運(yùn)算求解即可.【詳解】令，解得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，.故選：A.6.某幾何體三視圖：正視圖與側(cè)視圖均為高為3cm的矩形，俯視圖是邊長為2cm的正方形，該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】幾何體為長方體，由長、寬、高求體積.【詳解】由三視圖可知，幾何體為長方體，底面正方形邊長是2cm，高為3cm，所以體積為.故選：B7.從中取兩數(shù)，事件A為“和為偶數(shù)”，B為“積為奇數(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合古典概型分別求，，代入條件概率公式即可得結(jié)果.【詳解】事件分為兩種情況：兩個(gè)均為奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：.故選：D.8.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，解得或；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則的極大值為，極小值為，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知集合，，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若m=3，則 D.若，則m=1或m=3【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)交集定義和子集的定義求解；選項(xiàng)B，求出集合，根據(jù)并集的運(yùn)算求解；選項(xiàng)C，求出集合，根據(jù)交集的運(yùn)算求解；選項(xiàng)D，由，根據(jù)子集的定義分別按照和討論求解.【詳解】，選項(xiàng)A，，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，，，，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，，或，或，綜上可知，若，則或m=1或m=3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.函數(shù)（）的性質(zhì)有（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷AB；根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷CD.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，可知函?shù)為奇函數(shù)，故A正確；又因?yàn)椋?，即，可知函?shù)不為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故CD正確；故選：ACD.11.函數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法及同角公式變形給定函數(shù)，再利用二次函數(shù)求出取值范圍.【詳解】令，則，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以所求范圍是.故選：B三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.解方程，得_______.【答案】【解析】【分析】兩邊取對(duì)數(shù)可得，進(jìn)而解方程即可.【詳解】因?yàn)?，兩邊取?duì)數(shù)可得，可得，所以.故答案為：.13.向量，，則在方向上的投影數(shù)量為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，，進(jìn)而可得投影數(shù)量.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，，所以在方向上投影數(shù)量為.故答案為：.14.正三棱柱底面邊長為2，高為3，其外接球體積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出外接球半徑，進(jìn)而求出球的體積.【詳解】由正三棱柱底面邊長為2，得正外接圓半徑，正三棱柱的高為3，得正三棱柱外接球球心到平面的距離，因此該外接球半徑，所以所求外接球體積.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.已知函數(shù).（1）化簡；（2）求的最小正周期；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）（3）最大值為2，最小值為【解析】【分析】（1）整理可得，利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式運(yùn)算求解即可；（3）以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求最值即可.【小問1詳解】因?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)?，所以的最小正周?【小問3詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最大值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值；綜上所述：在上的最大值為2，最小值為.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）的極大值是2，極小值是-2.（3）在上的最大值為2，最小值為-2.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解不等式的解集，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極大值和極小值.（3）先確定函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，然后求出端點(diǎn)的函數(shù)值和極值，進(jìn)而得到函數(shù)在上的最值.【小問1詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.小問2詳解】因?yàn)椋?，解得?由（1）知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，取極大值為，當(dāng)時(shí)，取極小值為.【小問3詳解】由（1）知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.因?yàn)?，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.而，所以在上的最大值為2，最小值為-2.17.已知向量，，夾角為.（1）求；（2）若，，求；（3）若，，求.【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解.（2）由（1）中信息，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出數(shù)量積.（3）利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角公式求出.【小問1詳解】由向量，，得，同理，由，得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，而，，所以.【小問3詳解】由，得，則，而，則，兩邊平方并整理得，顯然，則，解得或，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以或.18.直三棱柱底面為直角三角形，，，，D為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可得線面垂直；（2）建系并標(biāo)點(diǎn)，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，D為中點(diǎn)，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且，平面，所以平面【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得；則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.19.產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)，，.（1）求；（2）抽取10件，求至少2件指標(biāo)在之內(nèi)的概率（結(jié)果保留四位小數(shù)）.說明：表示的概率，用來將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求時(shí)的概率，