第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1

函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則：1.若在(a,b)內(nèi),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加2.若在(a,b)內(nèi),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。abab3.3.1

函數(shù)的單調(diào)性及判別法例2

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.可導(dǎo)，且等號(hào)只在x=0成立.

解

因?yàn)樗o函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)例1判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加.解所以當(dāng)

x=-1,x=1時(shí)

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)

+

0

-0

+f(x)

解函數(shù)的定義域且在定義域內(nèi)連續(xù)例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)時(shí)不存在，且不存在使的點(diǎn)用把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，見下表：

x(-∞,0)(0,+∞)

f′(x)

-

+

f(x)單增單減反之，如果對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，恒有則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為極小值點(diǎn)。

3.2函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)此鄰域內(nèi)每一點(diǎn)，恒有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)；函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

ABCDE極值是局部的，只是與鄰近點(diǎn)相比較而言。并非在整個(gè)區(qū)間上的最大最小。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。如下圖中A、B、C、D、E都是極值點(diǎn)。從圖中可看出,極小值不一定小于極大值，如圖中D點(diǎn)是極小值，A點(diǎn)是極大值。定理3（極值第一判別法）：

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（可除外）可導(dǎo)（1）如果當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，則在取得極大值。（）如圖所示：在，在，在取得極大值。

（2）如果當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，則在取得極小值。（）如圖所示：在，在，在取得極小值。（3）如果在兩側(cè)的符號(hào)不變，則不是的極值點(diǎn)，如圖示（）(4)利用定理3,判斷(2)中的點(diǎn)是否為極值點(diǎn),如果是

求極值點(diǎn)的步驟：(1)求函數(shù)的定義域(有時(shí)是給定的區(qū)間);(3)用(2)中的點(diǎn)將定義域(或區(qū)間)分成若干個(gè)子區(qū)間,進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).(2)求出,求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn);討論在每個(gè)區(qū)間的符號(hào);(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得函數(shù)的全部極值.

例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解函數(shù)的定義域?yàn)榱?得駐點(diǎn)這三個(gè)點(diǎn)將定義域分成四個(gè)部分區(qū)間，列表如下極大值極小值

令得由于定理4(極值的第二判別法)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，；（1）若，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)；（2）若，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)；例5求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)樗詾闃O大值,為極小值.

3.2.2

函數(shù)的最大值與最小值是函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中最大者和最小者最小的就是函數(shù)在區(qū)間上的最小值。連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值可通過比較端點(diǎn)處的函數(shù)值和;1.區(qū)間2.區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)處的函數(shù)值；內(nèi)使不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值。3.區(qū)間這些值中最大的就是函數(shù)在上的最大值,上的最大值與最小值是全局性的概念,函數(shù)在區(qū)間如下幾類點(diǎn)的函數(shù)值得到：

上的最大值和最小值。在駐點(diǎn)處函數(shù)值分別為在端點(diǎn)的函數(shù)值為最大值為最小值為解令，得駐點(diǎn)例6

求函數(shù)在區(qū)間比較上述5個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，即可得在區(qū)間上的

0(0，1)1（1，+∞）

0－

－

0+列表討論如下其中，；

3.5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3.5.1函數(shù)的變化率——邊際函數(shù)定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，邊際函數(shù)值。其含義為:當(dāng)時(shí),x改變一個(gè)單位，相在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的相應(yīng)地y約改變個(gè)單位．為的邊際函數(shù)。稱導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí),實(shí)際上，

解,所以,在時(shí)的邊際函數(shù)值。,試求例1設(shè)函數(shù)邊際成本是總成本的變化率。設(shè)C為總成本，下面介紹幾個(gè)常見的邊際函數(shù):1．邊際成本為固定成本，則有為可變成本，為平均成本，為邊際成本，為產(chǎn)量，總成本函數(shù)

平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)

例2已知某商品的成本函數(shù)為,求當(dāng)時(shí)的總成本，平均成本及邊際成本。解由令得邊際成本于是當(dāng)時(shí)總成本平均成本

Q

為多少時(shí)，平均成本最小?例3在例1中，當(dāng)產(chǎn)量解

所以,當(dāng)Q

=20時(shí)平均成本最小。2．收益平均收益是生產(chǎn)者平均每售出一個(gè)單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價(jià)。邊際收益為總收益的變化率?？偸找?、平均收益、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)。設(shè)P為商品價(jià)格，Q

為商品量，R為總收益，為平均收益，為邊際收益，則有需求函數(shù)總收益函數(shù)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)需求與收益有如下關(guān)系:總收益

平均收益

邊際收益總收益與平均收益及邊際收益的關(guān)系為求銷售量為30時(shí)的總收益，平均收益與邊際收益。

例4設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格和銷售量的關(guān)系為解

總收益

平均收益邊際收益

3．利潤在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益、總成本都可以表示為產(chǎn)量的函數(shù)，分別記為和，則總利潤可表示為最大利潤原則:取得最大值的必要條件為即所以取得最大利潤的必要條件是:邊際收益等于邊際成本

例5已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為成本函數(shù)為問產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤L最大?解已知,于是有令得所以當(dāng)Q=20時(shí)總利潤最大例6

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知收益

解根據(jù)題意，總成本函數(shù)為是年產(chǎn)量的函數(shù)問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)總利潤最大?此時(shí)總利潤是多少?從而可得總利潤函數(shù)為

令得由于,故時(shí)利潤最大此時(shí)即當(dāng)生產(chǎn)量為300個(gè)單位時(shí),總利潤最大,其最大利潤為25000元.設(shè)某企業(yè)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為個(gè)單位,代表總成本,代表邊際成本,每單位產(chǎn)品的平均成本為在生產(chǎn)實(shí)踐中,經(jīng)常遇到這樣的問題,即在既定的生產(chǎn)規(guī)模條件下,如何合理安排生產(chǎn)能使成本最低,利潤最大?

4．成本最低的生產(chǎn)量問題于是由極值存在的必要條件知，使平均成本為極小的生產(chǎn)量應(yīng)滿足,于是得到一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要結(jié)論:使平均成本為最小的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量），正是使邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量）。

例7設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為試求使平均成本最小的產(chǎn)量水平。解平均成本令解得,由于所以是平均成本的最小值點(diǎn)也就是平均成本最小的產(chǎn)量水平此時(shí)即時(shí),邊際成本等于平均成本也使平均成本達(dá)到最小.

5．庫存管理問題在總需求一定的條件下，企業(yè)所需原材料的訂購費(fèi)用與保管費(fèi)用是成反比的。訂購批量大,次數(shù)少,費(fèi)用就小,保管費(fèi)用就相應(yīng)增加；訂購批量小,次數(shù)多,費(fèi)用就大,保管費(fèi)用就相對(duì)較少。因此就有一個(gè)如何確定訂購批量使總費(fèi)用最少的問題。下面我們只研究等批量等間隔進(jìn)貨的情況，它是指某種物資的庫存量下降到零時(shí)，隨即到貨，庫存量由零恢復(fù)到最高庫存，每天保證等量供應(yīng)生產(chǎn)需要，使之不發(fā)生缺貨。

假設(shè)某企業(yè)某種物資的年需用量為R,單價(jià)為P,平均一次因此訂貨費(fèi)用為2）保管費(fèi)用在進(jìn)貨周期內(nèi)都是初始最大，最終為零，訂貨費(fèi)用為C1，年保管費(fèi)用率（即保管費(fèi)用與庫存商品價(jià)值之比）為Ｃ２，訂貨批量為

，進(jìn)貨周期（兩次進(jìn)貨間隔)Ｔ，進(jìn)貨周期Ｔ，則年總費(fèi)用由兩部分組成：１)訂貨費(fèi)用每次訂貨費(fèi)用為Ｃ1，年訂貨次數(shù)為所以全年每天平均庫存量為，故保管費(fèi)用為于是總費(fèi)用故可用求最值法求得最優(yōu)訂購批量，最優(yōu)訂購次數(shù)以及最優(yōu)進(jìn)貨周期Ｔ，此時(shí)總費(fèi)用最小。解

設(shè)最優(yōu)訂購批量為則訂購次數(shù)為

例8某種物資一年需用量為24000件，每件價(jià)格為40元，年保管費(fèi)率12%,為，每次訂購費(fèi)用為64元，試求最優(yōu)訂購批量最優(yōu)訂購次數(shù)，最優(yōu)進(jìn)貨周期和最小總費(fèi)用（假設(shè)產(chǎn)品的銷售是均勻的）于是訂貨費(fèi)用為，保管費(fèi)用為從而總費(fèi)用

又因?yàn)橛谑钱?dāng)件時(shí)總費(fèi)用最低，從而最優(yōu)訂貨批量(件/批)最優(yōu)訂貨批次(批/年)最優(yōu)進(jìn)貨周期(天)(全年按360天計(jì))最小進(jìn)貨總費(fèi)用(元)令得(件/批)3.5.2函數(shù)的相對(duì)變化率—函數(shù)的彈性1、彈性定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)與自變量的相對(duì)改變量之比稱為函數(shù)從到當(dāng)時(shí)，的極限稱為在導(dǎo)數(shù)，也就是相對(duì)變化率，或稱彈性。兩點(diǎn)間的相對(duì)變化率，或稱兩點(diǎn)間的彈性處的相對(duì)記作

處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量是的函數(shù),若可導(dǎo)即為定值。對(duì)一般的的彈性函數(shù)。函數(shù)在點(diǎn)的彈性反映了隨著的變化變化幅度的大小,也就是隨變化反映的強(qiáng)烈列程度或靈敏度.表示在,當(dāng)產(chǎn)生1%的變化時(shí),近似的稱為當(dāng)為定值時(shí)則有改變(為常數(shù)）的彈性函數(shù)。例9求函數(shù)在處的彈性.解例10求冪函數(shù)解可以看到，冪函數(shù)的彈性函數(shù)為常數(shù)，即在任意點(diǎn)處彈性不變，所以稱為不變彈性函數(shù)為商品在價(jià)格為Ｐ時(shí)的需求價(jià)格彈性．記為即2．需求彈性與供給彈性(1)需求彈性“需求”是指在一定價(jià)格條件下，消費(fèi)者愿意購買并且有能力購買的商品量。通常需求是價(jià)格的函數(shù)，P表示商品的價(jià)格,Q表示需求量，稱為需求函數(shù)。定義3設(shè)某商品的需求函數(shù)在P處可導(dǎo),稱解需求函數(shù)為例11已知某商品的需求函數(shù)求

時(shí)的需求彈性并說明其意義說明P=5時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求量減少0.5％說明P=10時(shí)，價(jià)格與需求的變動(dòng)幅度相同說明P=15