幾何綜合題型之存在性問題：解題策略與?？碱}型適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級適用區(qū)域蘇州課時時長（分鐘）120分鐘知識點1.解決此類問題的一般思路：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷；導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。教學(xué)目標1.掌握由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問題的解決方法。2.掌握由位置關(guān)系確定的“存在性”問題的解決方法。教學(xué)重點借助方程思想解決又數(shù)量關(guān)系、幾何關(guān)系、位置關(guān)系確定的“存在性”問題。教學(xué)難點1.由位置關(guān)系確定的“存在性”問題。教學(xué)過程一、什么是存在性問題？存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。二、知識講解1.存在性問題是根據(jù)已知的條件，探索制定適合某個問題的結(jié)論的數(shù)值、點、直線或其圖形是否存在的題目，在初二幾何部分常見的類型有：(1)等腰三角形存在問題；(2)直角三角形存在問題，這類題型通常會結(jié)合動態(tài)變化問題進行考查。2.解法的一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷?？键c1軸對稱圖形中的存在性問題考點2直角三角形中的存在性問題考點3等腰三角形中的存在性問題三、例題精析【例題1】【題干】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，則圖中等腰三角形共有()A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】D【解析】【例題2】【題干】如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，已有兩個小正方形被涂黑．再將圖中其余小正方形任意涂黑一個，使整個圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的方法有_______種．【答案】5【解析】【例題3】【題干】如圖，△ABC是銳角三角形，兩條高BD、CE相交于點0，且OB＝OC，先證明△ABC為等腰三角形。判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．【答案】點O在∠BAC的平分線上【解析】【例題4】【題干】如圖，△ABC中，∠ACB□□90°，AB□□5cm，BC□□3cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A—C—B向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），（1）在AC上是否存在點P，使得PA□□PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（2）若點P恰好在△ABC的角平分線上，請求出t的值，說明理由．ABABCABC備用圖備用圖【答案】【解析】（1）在Rt△ABC中，∴......................1分假設(shè)存在點P使得PA=PB，則PA=PB=2t，PC=4－2t，在Rt△BPC中，∴........................3分∴.........................................4分(2)當(dāng)點P在點C或點B處時，一定在△ABC的角平分線上，此時t=2或t=3.5秒；..6分點P在邊AC上時，即點P在∠ABC的平分線上時，點P到AB的距離等于4－2t，∴..........................................7分∴..................................................8分點P在邊BC上時，即點P在∠BAC的平分線上時，點P到AB的距離等于2t－4，∴.......................................9分∴..................................................10分綜上，t=2或t=3.5或或【例題5】【題干】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC時（本題8分）（1）若CE⊥BD于E，①∠ECD=0；②求證：BD=2EC；（2）如圖，點P是射線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F＝90°，點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點.當(dāng)點P運動時，點Q是否一定在射線BD上？若在，請證明，若不在；請說明理由.【答案】【解析】（1）∠ECD=22.5°；…………2′②延長CE交BA的延長線于點G，如圖1：∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE=GE，…………3′在△ABD與△ACG中，∴△ABD≌△ACG（AAS），∴BD=CG=2CE；………………4′（2）點Q一定在射線BD上，理由如下連接CQ，過點Q作QM⊥BP，QN⊥BC，垂足為M、N∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形PPPPQQFFDDBBCCAAMN∴PQ=QC∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點∴CQ平分∠FCP∵△CPF為等腰直角三角形∴∠FCP=∠FPC=450∴∠QCP=∠QPC=22.50∴∠PQC=1350………………5′在四邊形QCBP中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=450∴∠MQC=1350∴∠MQC=∠PQC………………6′∴∠NQC=∠MQP又∵QC=QPQM⊥BP，QN⊥BC∴可證△QPM≌△QCN∴QM=QN……7′又∵QM⊥BP，QN⊥BC∴點Q一定在射線BD上…………8′四、課堂運用【基礎(chǔ)】如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B． 7 C． 8 D． 9【答案】C【解析】如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選C．2.在等邊△ABC的平面內(nèi)找一點P，使△PBC、△PAB、△PAC均為等腰三角形，具備這樣條件的P點有多少個？()A．1個 B．4個 C．7個 D．10個【答案】D【解析】3.已知：如圖，線段AB的端點A在直線上，AB與的夾角為60°，請在直線上另找一點C，使△ABC是等腰三角形．這樣的點有(

)

A.1個

B.2個C.3個D.4個

【答案】B【解析】4.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，M是BC邊上一點，且

MC=8．動點P從點C出發(fā)，沿C→D→A→B的路線運動到點B停止．在點P運動的過程中，使△PMC為等腰三角形的點P有(

)

A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】D【解析】【鞏固】1.如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸上找一點P，使得△PAB，△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P有(

)

A.1個

B.3個

C.5個

D.無數(shù)多個

【答案】【解析】2.如圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點P，BP=4，∠PBC=60°，點Q為正方形邊上一動點，且△PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點有____個【答案】【解析】【拔高】數(shù)學(xué)活動課上，老師在黑板上畫直線l平行于射線AN（如圖），讓同學(xué)們在直線l和射線AN上各找一點B和點C，使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．這樣的三角形最多能畫_______個．【答案】3【解析】2.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B的坐標分別為A(6，0)、B(6，4)，D是BC的中點，動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿著OA→AB→BD運動，設(shè)點P運動的時間為f秒(0<t<13)．(1)寫出△POD的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出△POD的面積等于9時點P的坐標．(2)當(dāng)點P在OA上運動時，連接CP．問：是否存在某一時刻t，當(dāng)CP繞點P旋轉(zhuǎn)時，點C能恰好落到AB的中點處？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)（，0）或(6，2)(2)存在這樣的時刻t＝2，當(dāng)CP繞點P旋轉(zhuǎn)時，點C能恰好落在AB的中點【解析】課程小結(jié)1.2.3.課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，由4個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點都是小正方形的頂點．在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有()．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解析】2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC，△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有()A．5個 B．4個C．3個 D．2個【答案】A【解析】3.如圖，一輛汽車在直線形公路AB由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊．(1)設(shè)汽車行駛到公路徹上點P的位置時，距離村莊M最近，行駛到點Q的位置時，距離村莊N最近，請在公路AB上分別作出P、Q的位置；(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段上距離M、N兩村都越來越近?在哪一段上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠?在哪一段上距離M、N兩村都越來越遠?(分別用文字表述你的結(jié)論)(3)在公路AB上是否存在這樣一點H，汽車行駛到該點時，與村莊M、N的距離之和最短?如果存在，請在圖中AB上作出此點；如果不存在，請說明理由．(不寫作法，保留作圖痕跡)【答案】(1)略(2)APPQBQ(3)【解析】4.已知直線及其兩側(cè)兩點A、B，如圖.（1）在直線上求一點P，使PA=PB；（2）在直線上求一點Q，使平分∠AQB.(以上兩小題保留作圖痕跡，標出必要的字母，不要求寫作法。12分)【鞏固】1.在梯形ABCD中，B=90°，AB14cm，AD=18cm，BC=21cm，點P從點A開始沿邊AD向點D以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿邊CB向點B以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從兩點同時出發(fā)，是否存在一個時間t，使梯形PBQD是等腰梯形?【答案】1s【解析】作PEBC,DFBC,垂足分別為E、F,BE=AP=t,QF=CF-CQ=(21-18)-2t=3-2t,當(dāng)BE=QF時,即t=3-2t,t=1s時,梯形PBQD是等腰梯形.2.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是BC上的一點,且CE=8,BC=12,CD=,∠C=30°,∠B=60°.點P是線段BC邊上一動點(包括B、C兩點),設(shè)PB的長是x.當(dāng)x為何值時,以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形.()A.2B.6C.2或6D.

或【答案】C【解析】過點D作DF⊥BC于點F．

在Rt△DFC中，∠C=30°，，

∴，

∴．

在Rt△DFE中，，

∴∠DEF=60°，∠EDF=30°，DE=4，

∴AB∥DE，

則四邊形ABED是平行四邊形．

∵BE=DE=4，

∴AB=BE=ED=DA=4．

①當(dāng)四邊形APED是直角梯形時，△APB是直角三角形，

在Rt△APB中，∠B=60°，AB=4，則BP=2；

②當(dāng)四邊形AEPD是直角梯形時，△DPE是直角三角形（此時點P與點F重合），則BP=6．

∴當(dāng)PB為2或6時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形為直角梯形．3.如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=10，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，若△BPQ是腰長為5的等腰三角形，則滿足題意的點P有(

)個【答案】4【解析】四邊形ABCD為矩形,且,,

當(dāng)時,過P作,交BQ于點M,如圖1,

則,且四邊形ABMP為矩形,

,

當(dāng)時,則,在中,,由勾股定理可求得,

當(dāng)時,以點Q為圓心,BQ為半徑作圓,于AD交于R、S兩點,如圖2,

過Q作,交RS于點N,則可知,

在中,可求得,

則,,

即R、S為滿足條件的P點的位置,

或8,

綜上可知AP為2或2.5或3或8,4.圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點P，BP=4，∠PBC=60°，點Q為正方形邊上一動點，且△PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點有____個．

【答案】5【解析】5.如圖，在四邊形中，，，，，，點從點出發(fā)以的速度沿運動，點從點出發(fā)的同時點從點出發(fā)，以的速度向點運動，當(dāng)點到達點時，點也停止運動。設(shè)點，運動的時間為秒。（1）從運動開始，當(dāng)取何值時，？（2）從運動開始，當(dāng)取何值時，為直角三角形？【答案】【解析】（1）當(dāng)時，因為，，所以四邊形為平行四邊形，故，即，解得。所以當(dāng)時，。（2）如圖所示，過點作于。因為，所以四邊形為矩形，故，。①