2026屆山西省山大附中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.3．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝15．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.226．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.8．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.9．某考點(diǎn)配備的信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機(jī)以每分鐘50米的速度從設(shè)備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘10．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.11．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為___________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①?gòu)恼叫蜛BCD開始，第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為___；②如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個(gè)正方形，這n個(gè)正方形的面積之和為___.16．過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)圍成的的周長(zhǎng)是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）說明C是什么曲線，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.18．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)A(0,1)，當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.20．（12分）在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項(xiàng)和為15，且.（1）求{}的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，求.22．（10分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺(tái)對(duì)某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購(gòu)情況進(jìn)行摸底調(diào)查，用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，其消費(fèi)金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網(wǎng)民消費(fèi)金額的平均值和中位數(shù)；（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)與性別有關(guān).男女合計(jì)30合計(jì)45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A2、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，故.故選：B.3、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題4、D【解析】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)?，解?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.6、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B7、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對(duì)任意，都有成立，即令，則，所以函數(shù)上單調(diào)遞增不等式即，即因?yàn)?，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.8、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.9、C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求得直線和圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng).【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測(cè)，到處監(jiān)測(cè)結(jié)束，因?yàn)榈降木嚯x為米，所以米，故監(jiān)測(cè)時(shí)長(zhǎng)為分鐘故選：C.10、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B11、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B12、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈茫虼耍?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意知在上恒成立，從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問題，可列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性.一般地，由增函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不大于零.對(duì)于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.14、①.②.【解析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.15、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第n個(gè)正方形的面積為，則第n個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.16、【解析】求得，利用橢圓的定義可得出的周長(zhǎng).【詳解】在橢圓中，，由題意可知，的周長(zhǎng)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，代入可得.因?yàn)?，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所?同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.18、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設(shè)直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關(guān)系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點(diǎn)結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設(shè)kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、由向量垂直，結(jié)合其坐標(biāo)表示得到關(guān)于x，y的方程，寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關(guān)系，即斜率之積為-1，進(jìn)而可求參數(shù)的范圍.19、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗(yàn)證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問2詳解】解：對(duì)于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因?yàn)橹本€在軸、軸上截距之和等于，即，解得.20、（1）（2）【解析】（1）由定義證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由得出通項(xiàng)公式；（2）先由求和公式得出，再由裂項(xiàng)相消求和法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，所以數(shù)列是公差的等差數(shù)列又，所以，故小問2詳解】，則故21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為，顯然不為1，因?yàn)榈缺葦?shù)列前4項(xiàng)和為且，可得，解得，所以數(shù)