山西省晉中市平遙縣平遙二中2026屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元2．過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.3．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=4．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球5．已知橢圓經(jīng)過點，當該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長最小時，其標準方程為（）A. B.C. D.6．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°7．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.68．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限的點，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.10．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.11．變量，之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.12．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列滿足，，則___________.14．已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.15．已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，則_____________.16．已知雙曲線C：的一個焦點坐標為，則其漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A,B兩點，且時，求直線l的方程.18．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設點P在直線上，過點P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點和M，N兩點，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和21．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點E，連接EP并延長交橢圓于另一點F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程22．（10分）已知公比的等比數(shù)列和等差數(shù)列滿足：，，其中，且是和的等比中項（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若當時，等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關系，變形構造出等比數(shù)列，由得其通項公式后可得結論【詳解】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的實際應用．解題方法是用數(shù)列表示月初進貨款，得出遞推關系，然后構造等比數(shù)列求解2、A【詳解】因為所求直線垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎題.3、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.4、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C5、A【解析】把點代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點坐標，計算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點為，順次連接這四個點所得四邊形為菱形，其周長為，，當且僅當，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標準方程為.故選：A【點睛】給定兩個正數(shù)和(兩個正數(shù)倒數(shù)和)為定值，求這兩個正數(shù)倒數(shù)和(兩個正數(shù)和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.6、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.7、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D8、C【解析】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C9、C【解析】設點，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點的坐標，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設點，其中，，則，可得，則，所以點，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.10、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.11、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.12、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當且僅當，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進而得到結果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因為故故答案為：14、【解析】推導出極化恒等式，即，結合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：15、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構成首項為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎題.16、【解析】根據(jù)雙曲線的定義由焦點坐標求出，即可得到雙曲線方程，從而得到其漸近線方程；【詳解】解：因為雙曲線C：的一個焦點坐標為，即，，又，所以，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線為；故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離d等于圓的半徑r即可求得答案；（2）由并結合（1）即可求得答案.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑,若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，則直線的方程為或.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.19、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與，進而求出回歸直線方程；（2）再第一問的基礎上代入求出結果.【小問1詳解】，，則，，所以回歸直線方程；【小問2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為37.20、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結合可求解；（2）設直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以，所以①又因為過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因為點P在直線上，所以設點，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因為，，所以，同理可得，又因為，所以，又因為，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因為，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為021、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關系，短軸求出，結合關系式解出，可得橢圓的標準方程；（2）設，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，結合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達定理可求，進而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設，，則，都不為和0設直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因為，所以，等式兩邊平方得①又因為，在橢圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，