專(zhuān)題01集合與常用邏輯用語(yǔ)重點(diǎn)題型全歸納

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)1：集合的含義與表示

1、元素

把研究的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素.（用小寫(xiě)字母表示：a、b、c···）

2、集合

把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫(xiě)字母表示：A、B、C···）

3、元素的特征

確定性、互異性、無(wú)序性.

求集合或元素時(shí)，一定要檢驗(yàn)集合中元素的互異性.

4、元素與集合的關(guān)系

①屬于：aA；②不屬于：aA.

5、常用數(shù)集

①自然數(shù)集（包含和正整數(shù)）②正整數(shù)集或

N0NN+

③整數(shù)集Z④有理數(shù)集Q⑤實(shí)數(shù)集R

6、集合的分類(lèi)

①有限集；②無(wú)限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用括起來(lái).

例如1,3,5,7、2,4,6,8，

②描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為xAP(x).

例如xZ10x20、xx2k1,kZ

③圖示法（Veen圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.

8、常見(jiàn)集合的表示方法

①方程的解集：x2x30

②不等式的解集：x2x30

③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：xy2x3

④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：yy2x3

⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：x,yy2x3

xy2

⑥方程組的解：x,y或(1,1)

xy0

⑦奇數(shù)集：xx2n1,nZ

⑧偶數(shù)集：xx2n,nZ

注：做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（xN、N、

Z、R···）.

知識(shí)點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系

1、子集

集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素.

記作：AB或BA讀作：A包含于B或B包含A

①任何一個(gè)集合是它本身的子集.

②若AB，且BC，則AC.

2、集合相等

若AB，且BA，則AB.

①若AB，且BC，則AC.

②欲證AB，只需證AB，且BA.

3、真子集

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A.

記作：AB或BA讀作：A真包含于B或B真包含A

①若AB，且BC，則AC.

②若AB，且AB，則AB.

③和用于集合和集合之間，和用于元素和集合之間.

4、空集

不含任何元素的集合.符號(hào)：

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解決有關(guān)AB、AB等問(wèn)題時(shí)，一定要先考慮的情況，以防漏解.

5、子集個(gè)數(shù)與元素個(gè)數(shù)的關(guān)系

設(shè)有限集合A有n(nN)個(gè)元素,則其子集個(gè)數(shù)是2n，真子集個(gè)數(shù)是2n1，非空子集個(gè)數(shù)是2n1，非

空真子集個(gè)數(shù)是2n2.

知識(shí)點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算

1、交集

屬于集合A且屬于集合B.（A和B的公共部分）

記作：AB讀作：A交B

含義：ABxxA,且xB

①ABBA；②AAA；③AA；

④(AB)A；⑤(AB)B；⑥ABABA.

2、并集

屬于集合A或?qū)儆诩螧.（包含A和B的所有元素）

記作：AB讀作：A并B

含義：ABxxA,或xB

①ABBA；②AAA；③AAA；

④A(AB)；⑤B(AB)；⑥ABABB.

3、全集

研究問(wèn)題中涉及的所有元素.符號(hào)：U

4、補(bǔ)集

由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合符號(hào)：e

UA.UA

含義：e且

UAxxU,xA

①e；②e；③e；④痧；

UAUUUUUU(UA)A

⑤e；⑥e；

A(UA)UA(UA)

知識(shí)點(diǎn)4：充分條件與必要條件

1、命題

可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語(yǔ)句是真命題；判斷為假的語(yǔ)句是假命題.

表示：“若p，則q”、“如果p，那么q”.其中p為命題的條件,q為命題的結(jié)論.

2、充分條件與必要條件

①“若p，則q”是真命題，即pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

②“若p，則q”是假命題，即pq，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

判斷充分條件、必要條件的三種方法：

①定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”

的真假；

②集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷；

③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若，，則

p1p2p2p3p1p3.

3、充要條件

如果“若p，則q”和“若q，則p”都是真命題，即既有pq，又有qp，則可記作pq，這時(shí)稱(chēng)p

是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.

充分條件、必要條件的判斷：

①pq且qpp是q的充分不必要條件

②pq且qpp是q的必要不充分條件

③pqp是q的充要條件

④pq且qpp是q的既不充分也不必要條件

4、全稱(chēng)量詞

短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”通常叫做全稱(chēng)量詞.符號(hào)：

含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)量詞命題.

“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”用符號(hào)記為：xM,p(x)

5、存在量詞

短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”通常叫做存在量詞.符號(hào)：

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

“存在M中元素的x，p(x)成立”用符號(hào)記為：xM,p(x)

6、全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定

①全稱(chēng)量詞命題xM,p(x)的否定為：xM,p(x).

②存在量詞命題xM,p(x)的否定為：xM,p(x).

①命題的否定的書(shū)寫(xiě)：既要轉(zhuǎn)換量詞，又要否定結(jié)論.

②全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題；

存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.

③一個(gè)命題和它的否定，只能是一真一假.

【題型01數(shù)集與點(diǎn)集】

π

1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）給出下列關(guān)系：①R；②2Z；③3N*；④3Q，其中正

2

確的個(gè)數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】根據(jù)常見(jiàn)數(shù)集的表示方式，逐一判斷，即可得答案.

ππ

【詳解】對(duì)于①，為實(shí)數(shù)，而R表示實(shí)數(shù)集，所以R，所以①正確；

22

對(duì)于②，2為整數(shù)，而Z表示整數(shù)集合，所以2Z，所以②錯(cuò)誤；

*

對(duì)于③，33為正整數(shù)，而N*表示正整數(shù)集，所以3N，所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)?3為無(wú)理數(shù)，Q表示有理數(shù)集，所以3Q，所以④正確．

故選：C

2．（25-26高一上·內(nèi)蒙古·期末）設(shè)集合A{x∣x13},a11，那么（）

A．a(chǎn)AB．a(chǎn)AC．a(chǎn)AD．a(chǎn)A

【答案】D

【分析】根據(jù)元素與集合是屬于與否的關(guān)系，集合與集合之間是包含與否的關(guān)系，從而作出判斷．

【詳解】因?yàn)锳是集合，a是元素，兩者的關(guān)系應(yīng)是屬于與否的關(guān)系．

a與A是包含與否的關(guān)系，所以選項(xiàng)A、選項(xiàng)C顯然不對(duì)，

而1113，所以a是A的一個(gè)元素，a是A的一個(gè)子集，故B錯(cuò)誤，D正確.

故選：D．

2xy1

3．在平面直角坐標(biāo)系中，集合Cx,y|yx，集合Dx,y|，則下列關(guān)系正確的是（）

x4y5

A．DCB．DC

C．CDD．CD

【答案】B

【分析】先求出集合D中方程組的解集，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

2xy1

【詳解】因?yàn)榧螪x,y|1,1，集合Cx,y|yx，

x4y5

因?yàn)槭窃嘏c集合之間的關(guān)系，而D,C均為點(diǎn)集，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)榧螩x,y|yx包含1,1，所以B正確，C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

4．若Mx,yyx2，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A．0MB．0MC．MD．0M

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合之間的表示直接得出結(jié)果.

【詳解】Mx,yyx2表示為拋物線y=x2上的點(diǎn)的集合，

而0為一個(gè)數(shù)，故0M，A正確

由于表示集合與集合之間的關(guān)系的符號(hào)不是“”，故BC錯(cuò)誤.

0是數(shù)集，M是點(diǎn)集，故二者不具有包含關(guān)系，D錯(cuò)誤.

故選：A

5．（25-26高一上·福建寧德·月考）（多選題）下列判斷中，正確的是（）

q

A．xZx0NB．xRx，p,qZ，p0Q

p

C．xyx21RD．xx22x1

【答案】BCD

【分析】根據(jù)常見(jiàn)數(shù)集符號(hào)概念以及集合的描述法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，由于0N，0xZx0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，符合有理數(shù)的定義，B選項(xiàng)正確；

2

C選項(xiàng)xyx1，其中x的范圍為R，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，不等式x22x1即(x1)20，無(wú)解，故D選項(xiàng)正確；

故選：BCD.

6

6．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合N|xN用列舉法表示為.

x1

【答案】1,2,3,6

6

【分析】當(dāng)x取2,3,4,7時(shí)，對(duì)應(yīng)的值為6,3,2,1，再根據(jù)列舉法即可求解.

x1

6

【詳解】當(dāng)x取2,3,4,7時(shí)，對(duì)應(yīng)的值為6,3,2,1，

x1

6

所以N|xN1,2,3,6.

x1

故答案為：1,2,3,6.

【題型02集合的性質(zhì)-互異性應(yīng)用】

1．（25-26高一上·海南?？凇ぴ驴迹┮阎螦2a,2a2a，若1A，則a（）

111

A．B．1C．1或D．1或

222

【答案】B

【分析】分2a1和2a2a1討論即可.

1

【詳解】若1A，則①2a1，解得a，此時(shí)2a2a2a1，不滿足集合互異性，舍去；

2

1

②2，解得a1或（舍去），

2aa12

當(dāng)a1時(shí)，A2,1，滿足題意，

則a1.

故選：B.

2．（24-25高一上·甘肅甘南·期末）已知集合Aa2,a2,3，Bxx22x30，且BA，則a的

值為（）

A．1B．1C．1D．3

【答案】A

【分析】求出集合B，分析可知集合A中必含元素3、1，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，結(jié)合集合A中的元素

滿足互異性可得出實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】因?yàn)锽xx22x303,1且BA，

所以3A,1A，

所以a21或a21，得a1或1，

a2a2

根據(jù)集合中元素的互異性可得，解得a1且a2且a5，故a1.

a23

故選：A.

3．（25-26高一上·陜西商洛·月考）已知集合A1,3,a2，Ba2,1，若ABB，則實(shí)數(shù)a可取的值

組成的集合為（）

A．1,1,2B．1,2C．1,2D．2

【答案】D

【分析】由ABB，得到BA，分a23和a2a2兩種情況討論，結(jié)合集合元素的互異性，即可

求解.

【詳解】因?yàn)锳BB，所以BA，

當(dāng)a23時(shí)，即a1，此時(shí)a21，集合A中元素不滿足互異性，舍去；

當(dāng)a2a2時(shí)，即a2a20，解得a2或a1，

若a1，此時(shí)a21，集合A中元素不滿足互異性，舍去；

若a2，可得a24，此時(shí)A1,3,4，B1,4，符合題意；

綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值集合為2.

故選：D.

b2

4．（25-26高一上·福建福州·期中）已知aR,bR，若集合a,,1a,ab,0，則a2025b2026（）

a

A．2B．1C．1D．2

【答案】C

【分析】根據(jù)集合相等的定義，以及集合中元素的互異性，求得a,b的值，代入計(jì)算，即可求解.

bb

【詳解】由集合a,,1a2,ab,0，可得0，即b0，所以a,0,1a2,a,0，

aa

若a1，此時(shí)a11，不滿足集合元素的互異性，舍去；

若a21，解得a1或a1（舍去），

綜上可得，a1，b0，

所以a2025b2026(1)2025020261

故選：C.

5．已知mR，集合Am,1,2，Ba2aA，若CAB，且C的所有元素和為12，則m（）

A．3B．0C．1D．2

【答案】A

【分析】先確定集合B中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出m的值，再根據(jù)集合中元素的互異性取

值.

【詳解】集合B中的元素可能為：m2，1，4

因?yàn)閙1，m2.

若m1，則A1,1,2，B1,4，則C1,1,2,4，元素和不為12；

若m2，則A2,1,2，B1,4，則C2,1,2,4，元素和不為12；

當(dāng)m1,2時(shí)，Cm,1,2,m2,1,4，因?yàn)镃中所有的元素和為12，

所以m2m6，解得m3或m2（舍去）.

綜上：m3.

故選：A

【題型03（真）子集的個(gè)數(shù)】

1．（25-26高一上·廣東深圳·期中）已知集合AxZx2x2，則集合A的子集個(gè)數(shù)為個(gè).

（填數(shù)字）

【答案】16

【分析】解一元二次不等式求出集合A，結(jié)合子集個(gè)數(shù)的公式計(jì)算即可求解.

【詳解】由x2x2，即x2x20，解得1x2，

所以A{1,0,1,2}，共4個(gè)元素，

所以集合A的子集個(gè)數(shù)為2416.

故答案為：16

2．（25-26高一上·上?！ぴ驴迹┮阎螹∣x1x2a1，xZ，若集合M有3個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為

3

【答案】,2

2

【分析】根據(jù)真子集個(gè)數(shù)可得集合中元素，據(jù)此求出參數(shù)范圍.

【詳解】因?yàn)榧螹有3個(gè)真子集，

所以M中有2個(gè)元素，即M1,2,

3

所以22a13，解得a2，

2

3

故答案為：,2

2

3．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合Bxmx24x10，xR的所有子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的值

為.

【答案】0或4

【分析】根據(jù)子集個(gè)數(shù)公式，結(jié)合方程解的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)集合B元素個(gè)數(shù)為n，

由題意可得2n2n1，所以該集合的元素只有一個(gè)，

1

當(dāng)m0時(shí)，方程mx24x104x10x，符合題意；

4

當(dāng)m0時(shí)，

要想該集合的元素只有一個(gè)，只需一元二次方程mx24x10的判別式0，

即424m0m4，顯然m0，符合題意，

綜上所述實(shí)數(shù)m的值為0或4，

故答案為：0或4

4．（25-26高一上·河南南陽(yáng)·月考）已知集合Ax,yxy2,xZ,yZ的子集個(gè)數(shù)為．

【答案】32

【分析】根據(jù)題意，得到A0,0,0,1,0,1,1,0,1,0，結(jié)合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】由不等式xy2，

當(dāng)x0,y0時(shí)，可得xy2；當(dāng)x0,y0時(shí)，可得xy2；

當(dāng)x0,y0時(shí)，可得xy2；當(dāng)x0,y0時(shí)，可得xy2，

不等式xy2所圍成的區(qū)域，如圖所示的正方形，

又因?yàn)閤Z,yZ，所以集合A表示正方形內(nèi)的整點(diǎn)，

即集合A0,0,0,1,0,1,1,0,1,0，可得A中元素的個(gè)數(shù)為5，

所以A的子集個(gè)數(shù)為2532．

故答案為：32.

．（高一上云南文山月考）已知集合，∣，則滿足ACB的集合

525-26··A1,2B{x1x5,xN}C

的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【分析】由AC，得C中含有1,2，再結(jié)合0,3,4的真子集即可求解.

【詳解】B{x∣1x5,xN}0,1,2,3,4，

由AC，得C中含有1,2，

CB3

又，所以集合C的個(gè)數(shù)即為0,3,4的真子集個(gè)數(shù)217，

故答案為：7

【題型04集合間的基本關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題】

1．（25-26高一上·廣東·期末）設(shè)集合A{x|2x1}，B{x|xa1}，滿足AB，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是（）

A．{a|a2}B．{a|a1}C．{a|a31}D．{a|a2}

【答案】A

【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系求出參數(shù)范圍即可.

【詳解】由題意知，要滿足AB，則有a11，所以a2．

故選：A．

2．（25-26高一上·重慶·月考）集合Mxaxa4，N{x|x5或x1}，若MNM，則a的

取值范圍是（）

A．,11,B．1,1

C．,55,D．5,5

【答案】C

【分析】由題設(shè)MN，結(jié)合已知集合列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由MNMMN，而aa4，即M為非空集合，

所以a41或a5，即a5或a5.

故選：C

3．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合A1,2，Bx|ax20，若ABA，則實(shí)數(shù)a的取

值所組成的集合是（）

A．1,2B．2,1C．2,0,1D．1,0,2

【答案】D

【分析】根據(jù)ABA，可得BA，再分a0和a0兩種情況討論即可.

【詳解】因?yàn)锳BA，所以BA，

當(dāng)a0時(shí)，BA，符合題意；

2

當(dāng)a0時(shí)，則B，

a

22

因?yàn)锽A，所以1或2，解得a2或a1，

aa

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是1,0,2.

故選：D.

4．已知集合A1,3,a2,B1,a2，若ABB，則a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到BA，討論a23和a2a2，解方程并驗(yàn)證得到答案．

【詳解】若ABB，則BA，故a23或a2a2.

當(dāng)a23時(shí)，a1，此時(shí)a21，集合A不滿足元素的互異性，舍去；

當(dāng)a2a2時(shí)，a1或a2，

a1時(shí)，a21，集合A不滿足元素的互異性，舍去；

a2時(shí)，A{1,3,4},B1,4，滿足條件．

綜上所述：a2．

故選：C．

5．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合A{x|2x5}，集合B{x|m1x2m1}，若B為A的

真子集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A．3,3B．3,3

C．,3D．,3

【答案】C

【分析】分集合B是否是空集進(jìn)行討論即可求解.

【詳解】當(dāng)B時(shí)，滿足B為A的真子集，此時(shí)m12m1，解得m2.

m12m1

當(dāng)B時(shí)，則m12,而后面兩不等式等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立，故解得2m3.

2m15

綜上，m3，即m的取值范圍是,3.

故選：C.

【題型05集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算（含韋恩圖、容斥原理）】

x2

1．（25-26高一上·安徽·月考）已知集合A{x|12x5}，B{x|0}，則AB（）

x1

A．(3,)B．(1,)C．(1,1)D．(,2)

【答案】B

【分析】解不等式求集合，再應(yīng)用集合的交運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳{x|x2}，B{x|(x2)(x1)0}{x|x2或x1}，

所以AB{x|x1}(1,).

故選：B

∣∣e

2．（25-26高一上·遼寧·月考）已知集合AxZx2，Bxx1，則ARB（）

A．{2,1,0,1}B．{2,1,0}

C．{1,0}D．{2,1}

【答案】B

e

【分析】分別求出集合A和RB，根據(jù)交集運(yùn)算的概念，即可得答案.

e∣

【詳解】由題意，A2,1,0,1,2,RB{xx1}，

e

所以ARB2,1,0.

故選：B.

2

3．（25-26高一上·北京·月考）已知集合Axx3x40，Bxylog2x1，則集合AB是（）

A．2,4B．1,2C．2,4D．1,

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，可得集合A，根據(jù)定義域的求法，可得集合B，根據(jù)并集運(yùn)算的概念，

即可得答案.

【詳解】因?yàn)閤23x4(x4)(x1)0，解得1x4，所以A[1,4]，

因?yàn)閘og2x10，解得x2，所以B2,，

所以AB=1,.

故選：D

4．（24-25高一上·江蘇鹽城·月考）（多選題）已知集合Ax3x9，Bxx5，則下列說(shuō)法正確的

有（）

A．ABAB．ABR

ee

C．RABx2x5D．RBAx2x5

【答案】AC

【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算求出集合A，再由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可；

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y3x為增函數(shù)，所以Ax3x9x|x2，

對(duì)于A、B，ABA，ABB，故A正確，B錯(cuò)誤；

痧

對(duì)于C，RAxx2,RABx2x5，故C正確；

痧

對(duì)于D，RBxx5,RBA，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

5．（25-26高一上·安徽宿州·月考）（多選題）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類(lèi)情況：第一天售出

19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品，前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的

商品有4種，則（）

A．該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有16種

B．該網(wǎng)店前兩天售出的商品種類(lèi)有28種

C．該網(wǎng)店第三天售出但第二天未售出的商品有14種

D．該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有29種

【答案】ACD

【分析】對(duì)于AB，可以通過(guò)繪制韋恩圖，結(jié)合集合的運(yùn)算逐項(xiàng)分析即可；對(duì)于C，直接用第三天售出的商

品種類(lèi)數(shù)減去后兩天都售出的商品種類(lèi)數(shù)即可；對(duì)于D，設(shè)三天都售出的有x種，僅第一天和第三天都售出

的有y種，結(jié)合題意畫(huà)出三天售賣(mài)商品的韋恩圖即可求解．

【詳解】對(duì)于A，韋恩圖如圖所示，黑色表示第一天售出的商品種類(lèi)，紅色表示第二天售出的商品種類(lèi)，

第一天售出19種商品，前兩天都售出的有3種，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19316種，

故A正確；

對(duì)于B，前兩天售出的商品種類(lèi)數(shù)為第一天售出的種類(lèi)數(shù)加上第二天售出的種類(lèi)數(shù)減去前兩天都售出的種類(lèi)

數(shù)，即1913329種，不是28種，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，第三天售出18種商品，后兩天都售出的有4種，所以第三天售出但第二天未售出的商品有18414

種，故C正確。

對(duì)于D，設(shè)三天都售出的有x種，僅第一天和第三天都售出的有y種，則由題意可知，三天商品售賣(mài)韋恩圖

如下所示，

這三天售出的商品有16yyx3x6x4x14y43y種，

16y0

由于y0，所以0y14，

14y0

所以，故正確．

43ymin431429D

故選：ACD．

6．（25-26高一上·上?！ぴ驴迹┰O(shè)全集UR，集合A1,2,3,4,5,B{x|3x8,xN}，則下圖中的陰影

部分表示的集合是．

【答案】1,2,3

【分析】先分析出圖中的陰影部分表示的集合，再求出集合B，從而求出圖中陰影部分的集合．

【詳解】圖中的陰影部分表示的集合為xxA且xB，

又A1,2,3,4,5，B{x|3x8,xN}{4,5,6,7}，

圖中的陰影部分表示的集合x(chóng)xA且xB1,2,3．

故答案為：1,2,3．

7．（25-26高一上·上?！て谥校┮阎螦x,y∣x1，Bx,y∣xy1，則AB．

【答案】1,0

【分析】由集合的交集運(yùn)算求解．

x1x1

【詳解】由，得，

xy1x0

則AB1,0．

故答案為：1,0

8．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集Uxx10,xN*，且

痧e

AB6,UAB3,4,7,AUB2,5，則UAB=

【答案】1,8,9

【分析】根據(jù)題設(shè)畫(huà)出Venn圖即可求解.

【詳解】由題意，知全集Ux|x10,xN*{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

痧

又AB6,UAB3,4,7,AUB2,5，

畫(huà)出Venn圖如下圖所示，

e

即得U(AB)1,8,9.

故答案為：1,8,9.

9．（25-26高一上·上海·期中）為解決上下班的交通問(wèn)題，調(diào)查了某地100名職工，其中78人持有交通卡，

52人擁有自行車(chē)，而持有交通卡又有自行車(chē)的有37人，則既無(wú)交通卡又無(wú)自行車(chē)的共有人.

【答案】7

【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋恩圖運(yùn)算求解即可.

【詳解】作出韋恩圖，如圖所示：

可知持有交通卡或有自行車(chē)的人數(shù)為78523793，

所以既無(wú)交通卡又無(wú)自行車(chē)的人數(shù)為100937.

故答案為：7.

eI

10．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合A{x∣2x7},B{x∣m1x2m1}，若RAB，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

【答案】,4

e

【分析】根據(jù)題意，先求RAxx2或x7，再結(jié)合題意，分B和B討論求解即可．

e

【詳解】RAxx2或x7，

eI

又RAB，

所以①當(dāng)B，m12m1，解得m2；

m12m1

②當(dāng)B，m12，解得2m4；

2m17

eI

綜上，RAB時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為,4．

故答案為：,4．

【題型06集合的基本運(yùn)算中的參數(shù)問(wèn)題】

1．（25-26高一上·吉林長(zhǎng)春·月考）已知A{x|x3或x1}

若B{x|m2x3m1}，，求m的取值范圍；

(1)B?A

(2)若B{x|x3m1或xm2},ABA，求m的取值范圍.

【答案】(1)R

41

(2){m|m1或m}

32

【分析】（1）根據(jù)集合的包含關(guān)系，分類(lèi)討論建立不等式即可解出結(jié)果；

（2）根據(jù)集合交集得包含關(guān)系，建立不等式即可解出結(jié)果.

【詳解】（1）B{x|m2x3m1}，A{x|x3或x1}，且B是A的真子集，

1

當(dāng)B時(shí)，則3m1m2，即m時(shí)，符合題意；

2

3m1m23m1m2

當(dāng)B時(shí)，則或，解得m1，

3m13m212

綜上，m的取值范圍是R；

（2）由ABA，可得AB，

因?yàn)锳{x|x3或x1}，若B{x|x3m1或xm2}，

1

當(dāng)3m1>m2，即m時(shí)，BR，滿足AB；

2

155

當(dāng)3m1m2，即m時(shí)，B{x|x或x}，不滿足AB；

222

1

當(dāng)3m1m2，即m時(shí)，

2

3m134

要使AB，需使，解得m1．

m213

41

綜上，m的取值范圍為{m|m1或m}.

32

2．（25-26高一上·廣東深圳·期中）已知Axaxa3，Bx|x1或x5．

(1)若ABR，求a的取值范圍；

(2)若AB，求a的取值范圍．

【答案】(1)a2

(2)a1

aa3

【分析】（1）根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算得a1，即可求解；

a35

（2）分A和A兩種情況，結(jié)合條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】（1）因Axaxa3，Bx|x1或x5，

aa3

又ABR，則a1，解得a2，

a35

所以a的取值范圍為a2.

（2）因?yàn)锳B，

3

當(dāng)aa3，即a時(shí)，A，滿足AB，

2

3a13

當(dāng)a時(shí)，由AB，得到，解得a1，所以1a，

2a352

綜上所述，a的取值范圍為a1.

3．（25-26高一上·四川遂寧·期中）已知集合A{y|yx22},B{x|x2k1xk0,k1}.

(1)求集合A；

e

(2)若集合BRA，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)(,2]

(2)(1,2]

【分析】（1）求出函數(shù)yx22的值域即可求解；

（2）解一元二次不等式，再根據(jù)補(bǔ)集交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】（1）yx222，所以A(,2].

e

（2）A(,2]，所以RA(2,)，

x2k1xk0，

即x1xk0，又因?yàn)閗1，

所以1xk，所以B{x|1xk}，

e

因?yàn)锽RA，所以1k2.

2

4．（25-26高一上·重慶·期中）已知函數(shù)fxlog1x42的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)gxx2x5，

3

x3,2的值域?yàn)榧螧.

(1)求A，B；

(2)設(shè)集合Cxa2x2a1，若ABCC，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)Ax4x5，Bx6x3

(2),32,1

【分析】（1）根據(jù)具體函數(shù)定義域的求法列不等式可得集合A，根據(jù)二次函數(shù)值域的求法可得集合B；

（2）根據(jù)集合間的運(yùn)算可知CAB，根據(jù)集合間的關(guān)系可列不等式，解不等式即可.

【詳解】（1）由已知fxlog1x42，

3

logx420

1

則3，解得4x5，

x40

即Ax4x5；

2

又gxx22x5x16，x3,2，

當(dāng)x1時(shí)，gx取得最小值為6，

當(dāng)x2時(shí)，gx取得最大值為3，

即Bx6x3；

（2）由（1）得Ax4x5，Bx6x3，

則ABx4x3，

又ABCC，

所以CAB，

當(dāng)C時(shí)，a22a1，解得a3，此時(shí)滿足ABCC；

a22a1

當(dāng)C時(shí)，由CAB，則a24，解得2a1；

2a13

綜上所述a,32,1.

5．（25-26高一上·陜西西安·期中）已知集合Ax1x5，Bxax10.

1

(1)若a，求AeB；

3R

ee

(2)從①ABB；②BRAR；③ARB這三個(gè)條件中任．選．一．個(gè)．，補(bǔ)充在下面的橫線上，并進(jìn)

行解答.

問(wèn)題：若選__________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】AeBx1x3

(1)R

(2)答案見(jiàn)解析

1

【分析】（1）當(dāng)a時(shí)，求出集合B，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合AeB；

3R

（2）根據(jù)所選條件可得出AB，分a0、a0兩種情況討論，求出集合B，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得

出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11

【詳解】（1）當(dāng)a時(shí)，Bxx10xx3，則eBxx3，

33R

故AeBx1x3

R.

（2）若選①，ABB，可得AB，則B.

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aa1；

若選②，因e，可得，則

BRARABB.

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aa1；

若選③，因?yàn)锳eB，可得，則

RABB.

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得5，故a；

aaa

111

當(dāng)a0時(shí)，Bxx，由x1x5xx，可得1，故a1.

aaa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aa1.

【題型07集合中的新定義問(wèn)題】

x

1．（25-26高一上·江蘇南京·月考）非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,yA，則A；②若x,yA，則

y

xyA；由此可知：下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A．0AB．1A

C．若x,yA，則xyAD．若x,yA，則xyA

【答案】D

【分析】通過(guò)對(duì)x,y進(jìn)行賦值及利用兩個(gè)性質(zhì)可判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】由于0不能作除數(shù)，所以0A，A正確；由性質(zhì)①，取xy可得1A，B正確；

x

1A

因?yàn)?A，所以A，由性質(zhì)①1，即xyA，C正確；

y

y

假設(shè)若x,yA，則xyA，取xy可得0A與0A矛盾，D錯(cuò)誤.

故選：D

2．設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集MPxxM且xP，則PMP等于（）

A．PB．MPC．MPD．M

【答案】A

【分析】根據(jù)題目當(dāng)中給出的定義，畫(huà)出韋恩圖，進(jìn)行集合的運(yùn)算即可.

【詳解】當(dāng)MP時(shí)，由韋恩圖知，MP為下圖中的陰影部分，則PMP顯然為P．

當(dāng)MP時(shí)，MPM，

則PMPPMxxP且xMP

故選：A．

3．（24-25高一上·安徽馬鞍山·月考）若數(shù)集Aa1,a2,,an1a1a2an,n2具有性質(zhì)P：對(duì)任

aj

意的i，j(1ijn)，aiaj與中至少有一個(gè)屬于A，則稱(chēng)集合A為“權(quán)集”，則（）

ai

A．{1,3,4}為“權(quán)集”B．{1,2,3,6}為“權(quán)集”

C．“權(quán)集”中元素個(gè)數(shù)一定是有限個(gè)D．“權(quán)集”中一定有1

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的新定義，驗(yàn)證選項(xiàng)A、B，舉反例即可反駁CD.

4

【詳解】對(duì)A，因?yàn)?4與均不屬于數(shù)集{1,3,4}，所以A錯(cuò)誤；

3

66

對(duì)B，因?yàn)?2，13，16，23，，都屬于數(shù)集{1,2,3,6}，所以B正確；

23

對(duì)C，舉例Ax|x2n,nN*，由“權(quán)集”的定義易知其為“權(quán)集”，所以C錯(cuò)誤；

66

對(duì)D：舉例{2,3,6}，因?yàn)椋?3，，都屬于數(shù)集{2,3,6}，則其是“權(quán)集”，

23

所以“權(quán)集”中不一定有1，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

∣

4．（25-26高一上·吉林·月考）定義集合間的運(yùn)算ABx1y1,x2y2x1,y1A,x2,y2B，若

Ax,yxy2,x,yZ，Bx,yx2y21,x,yZ，則AB的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）

A．2B．3C．6D．7

【答案】C

【分析】根據(jù)集合，確定x1y1，x2y2的可能取值，利用集合新定義得出集合中的元素，求其非空真子集個(gè)數(shù)

即可.

【詳解】對(duì)于Bx,yx2y21,x,yZ，

由于x，yZ，所以x，y至少有一個(gè)為0，故x2y20，x2,y2B.

對(duì)于Ax,yxy2,x,yZ，由于x，yZ，

若有一方為2，則另一方必定為0，故此時(shí)必有x1y10，x1,y1A；

若二者均不為0，則必有二者分別均為1或1，此時(shí)x1y