第二十一章四邊形21.2.2平行四邊形的判定

第1課時平行四邊形的判定定理1，2，3及應(yīng)用初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會類比思想及探究圖形判定的一般思路.(重點)2.掌握平行四邊形的三個判定定理，能根據(jù)不同條件靈活選取適當(dāng)?shù)呐卸ǘɡ磉M行推理論證.(難點)課堂引入1.平行四邊形的定義是什么？2.除了兩組對邊分別平行，我們還學(xué)習(xí)了平行四邊形的哪些性質(zhì)定理？一、平行四邊形的判定定理問題通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來，對邊相等，或?qū)窍嗟龋驅(qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質(zhì)定理的逆命題成立嗎？寫出逆命題，猜想是否成立并證明.提示逆命題1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：如圖，連接BD.∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.逆命題2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.逆命題3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.如圖，在四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB(SAS)，∴∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC，同理可得AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.知識梳理平行四邊形的判定定理1：兩組對邊

的四邊形是平行四邊形.幾何符號語言：如圖，∵AB=CD，AD=CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.平行四邊形的判定定理2：兩組對角

的四邊形是平行四邊形.幾何符號語言：如圖，∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∴四邊形ABCD是平行四邊形.分別相等分別相等知識梳理平行四邊形的判定定理3：對角線

的四邊形是平行四邊形.幾何符號語言：如圖，∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.互相平分例1

判斷下列四邊形是否是平行四邊形？并說明理由.(1)

(2)

(3)解(1)是.根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形可以判定.(2)是.根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可以判定.(3)是.根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可以判定.跟蹤訓(xùn)練1

根據(jù)下列條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是A.兩組對邊分別相等B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等D.兩組對邊分別平行√二、平行四邊形判定定理的應(yīng)用例2

如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)是AC上的兩點，連接BE，DE，BF，DF，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又∵BO=DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形.反思感悟當(dāng)已知一條對角線被另一條對角線平分時，只需證明兩條對角線互相平分，即可證明該四邊形是平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，E，F(xiàn)在OA，OC的延長線上，連接BE，DE，BF，DF，并且AE=CF，則四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？解四邊形BFDE是平行四邊形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO+AE=CO+CF，即EO=FO.又∵BO=DO，∴四邊形BFDE是平行四邊形.例3

如圖，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB=CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵AC=CA，AB=CD，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，∴BC=DA，又∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.反思感悟利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”時，證明邊相等，可通過證明三角形全等解決.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是A.∠D=∠5 B.∠3=∠4C.∠1=∠2 D.∠B=∠D√解析A項，∵∠D=∠5，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項不符合題意；B項，∵∠3=∠4，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項不符合題意；解析C項，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C選項符合題意；D項，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項不符合題意.課堂小結(jié)1.下列說法：①平行四邊形的對邊平行且相等；②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；③平行四邊形的對角相等；④一組對角相等、一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.其中能判定一個四邊形是平行四邊形的是A.②④ B.②③C.①④ D.①②③課堂練習(xí)√解析①平行四邊形的對邊平行且相等.這是平行四邊形的性質(zhì)定理，不能用來判定；②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.可以判定四邊形是平行四邊形；③平行四邊形的對角相等.這是平行四邊形的性質(zhì)定理，不能用來判定；④一組對角相等、一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.可以判定四邊形是平行四邊形.故②④可以判定四邊形是平行四邊形.課堂練習(xí)2.如圖，已知四邊形ABCD，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是A.AB∥CD，AD∥BCB.AD=BC，AB=CDC.∠A=∠C，∠B=∠DD.AB∥CD，AD=BC√課堂練習(xí)解析∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；∵AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；∵∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，2∠A+2∠D=360°，課堂練習(xí)解析∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故C不符合題意；∵AB∥CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形，∴由AB∥CD，AD=BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形.課堂練習(xí)3.如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.圖中的互相平行的線段是

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AD∥BC，DE∥CF，AB∥DC∥EF解析

∵AD=BC，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∵DE=CF，DC=EF，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴DC∥EF，DE∥CF，∴AB∥DC