第第頁湖南省岳陽市2025屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若集合A=x∣x≤2A．?4,4 B．1,4 C．1,4 D．0,5【答案】C【解析】【解答】解：因為A=B=x∣所以A∩B=1,4.故答案為：C.【分析】根據(jù)根式不等式求解方法與對數(shù)不等式求解方法，從而分別得出集合A和集合B，再利用交集的運算法則得出集合A∩B.2．若z+2z=2+iA．1+i B．1?i C．?1+i【答案】B【解析】【解答】解：因為z+2z=2+i，

所以z+2=2+i所以，z=2故答案為：B.【分析】先將分式進行整理得出z=23．已知非零向量a,b，若a=2b，且aA．π4 B．π6 C．π3【答案】D【解析】【解答】解：由a+b⊥a?2所以，2b因為a,b∈0,故答案為：D.【分析】根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的運算律，再結(jié)合數(shù)量積的定義和兩向量夾角的取值范圍，從而得出a與b的夾角.4．已知直線m,n,l，平面α,β，若平面α⊥平面β，且α∩β=l，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，則m⊥βB．若m?α,n?β，則m⊥nC．若m?α，則m⊥βD．若m?α，則直線m必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】【解答】解：對于A，若m∥α，則m與β也可能平行或者m?β，故A錯誤；對于B，若m?α,n?β，當m,n至少有一條直線與l垂直時才有m⊥n，

否則還有可能存在平行或異面及相交但不垂直的情況，故B錯誤；對于C，若m?α，且m⊥l，才會有m⊥β，

否則還有可能存在平行或相交但不垂直的情況，故C錯誤；對于D，當直線a?β，且a⊥l，此時a⊥m，

所以，滿足條件的直線a有無數(shù)條，故D正確.故答案為：D.

【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系和直線與平面之間的位置關(guān)系，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，從而逐項判斷找出真命題的選項.5．某校食堂為打造菜品，特舉辦菜品評選活動.已知評委團由家長代表，學(xué)生代表和教工代表組成，人數(shù)比為1:2:2，現(xiàn)由評委團對1號菜品和2號菜品進行投票（每人只能投一票且必須投一票）.若投票結(jié)果顯示，家長代表和學(xué)生代表中均有23的人投票給1號菜品，教工代表中有1A．821 B．1321 C．421【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)人數(shù)比例設(shè)家長代表、學(xué)生代表和教工代表人數(shù)分別是m,2m,2m

（m為比例系數(shù)），由題意知：家長代表中有23的人投給1號，人數(shù)為23×m=2m3；

學(xué)生代表中有23的人投給1號，人數(shù)為23×2m=4m所以，投給1號的總?cè)藬?shù)為2m3+4m則所求概率為4m3故答案為：A.

【分析】根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量公式和分類加法計數(shù)原理以及古典概率公式，從而得出從1號菜品的投票人中任選1人，他是學(xué)生代表的概率.6．若函數(shù)fx有唯一零點，且fx+1=A．?12 B．13 C．【答案】C【解析】【解答】解：因為函數(shù)fx有唯一的零點，

所以f又因為y=x2?1,y=aex所以g0=f1=?1+2a=0，故答案為：C.【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合零點的唯一性，從而可得g07．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其軸截面是以A為頂點的等腰三角形，若A,B,C分別是該三角形的三個內(nèi)角，則tanBA．3 B．23 C．0 【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑以及圓錐的母線分別為r,l，由題意可得2πr=1因此三角形ABC為等邊三角形，

所以A=B=C=60則tanB故答案為：B.

【分析】根據(jù)2πr=12×2πl(wèi)8．設(shè)橢圓C:x24+y23=1的左右焦點分別為F1,FA．3 B．23 C．3104【答案】D【解析】【解答】解：因為橢圓C:x24+y23=1的焦點F1在△F1P則|PF1|?|PF2|=154，

解得由PA平分∠F1PF2，

得|AF2||AF所以|PA|=(故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件，由橢圓定義結(jié)合余弦定理求出|PF二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的有（）A．已知隨機事件A,B的概率不為0，若A和B相互獨立，則A和B一定不互斥B．若y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=?0.2x+0.8，則樣本點2,?1C．數(shù)據(jù)x1,D．設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N4,1【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，由隨機事件A,B的概率不為0，得P(A)>0,P(B)>0，若事件A和B互斥，則P(AB)=0，若事件A和B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)≠0，所以事件A和B相互獨立，

則事件A和B一定不互斥，故A正確；對于B，將x=2代入回歸方程為y=?0.2x+0.8，

可得y則樣本點的殘差為?1?0.4=?1.4，故B不正確；對于C，因為數(shù)據(jù)x1可得x1+x則x1所以x1對于D，由隨機變量X服從正態(tài)分布N4,19，則E2X+1故答案為：AD.

【分析】由事件A和事件B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)≠0，則可判斷選項A；將x=2代入線性回歸方程y=?0.2x+0.8中，從而得出y^的值，進而得到殘差值，則可判斷選項B；利用平均數(shù)公式和方差的公式，從而得出x12+10．已知不等式lnx≤x?1在x∈0,+∞A．lnx≥1?1xC．12+1【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，將x替換為1x，則ln1x≤1對于B，由選項A，可得1?174<ln74所以37<ln74對于C，由選項A，令x=n+1n，得則n=12024對于D，因為1<17<2×故答案為：ABD.

【分析】將x替換為1x結(jié)合已知條件，則可判斷選項A；根據(jù)lnx≥1-1xx>0和lnx≤x?1，則取11．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，總存在m∈NA．若an=n，則B．若an為等比數(shù)列，則aC．設(shè)an為等差數(shù)列，當a1=1，公差d<0時，若D．對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“回歸數(shù)列”bn和c【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，由an=n，可得Sn=a1+ann2對于B，由等比數(shù)列通項公式，得an=a1qn?1，顯然，對任意的n，Sn=a11?對于C，當a1=1假設(shè)總存在am=S對任意的n上式恒成立，不妨取n=1，可得m?1d=0，存在m=1再取n=2，可得1+m?1因為d<0且m∈N*，所以當d=?1時，對任意的n≥3，

由1?可得總存在m滿足成立，故C正確；對于D，設(shè)等差數(shù)列an總存在兩個回歸數(shù)列bn顯然bn和cn是等差數(shù)列，使得證明如下：因為bn又因為bn所以，數(shù)列{bn}前n項和Bn=na1當n≥3時，由2+(n?3)n2為正整數(shù)，

當m=2+(n?3)n所以，存在正整數(shù)m=2+(n?3)n2，使得bm=B因為cn=an?bn又因為n(n?1)2∈N，

所以，存在正整數(shù)m=所以，數(shù)列cn故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件和等差數(shù)列qiann項和公式和回歸數(shù)列的定義，則判斷出選項A；等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式以及回歸數(shù)列的定義，則判斷出選項B；利用已知條件和等差數(shù)列前n項和公式以及恒成立問題求解方法，則判斷出選項C；利用等差數(shù)列的前n項和公式和回歸數(shù)列的定義以及分組求和的方法，則判斷出選項D，從而找出結(jié)論正確的選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．將函數(shù)fx=sin2x?π6的圖象向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)y=g【答案】?【解析】【解答】解：依題意，g(x)=f(x+π當x∈0,π2時，2x+π6∈[π6,7π6故答案為：[?1【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)g(x)的解析式，再利用換元法和正弦函數(shù)求值域的方法，從而得出函數(shù)gx在區(qū)間0,13．已知曲線y=x+lnx在點1,1處的切線與曲線y=ax2【答案】0或2【解析】【解答】解：由y=x+lnx，得y'=1+1x，則曲線y=x+lnx在點1,1處的切線方程為因為它與y=ax2+a+4x+1則ax所以a≠0Δ=a+2解得a=2或a=0.故答案為：0或2.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再利用點斜式得出曲線在點1,1處的切線方程，再聯(lián)立切線方程和拋物線方程并消去y，再利用判別式為零得出a的值.14．祖暅，南北朝時期的偉大科學(xué)家，于5世紀末提出了體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異”，這就是“祖暅原理”.“勢”即是高，“冪”是面積，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線C：x29?y24=1，若直線y=0與y=2在第一象限內(nèi)與雙曲線C及其漸近線圍成圖形OABN（如圖1），則它繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體Ω的體積為；由雙曲線C和兩直線y=±2圍成的封閉圖形繞y【答案】18π；【解析】【解答】解：由x29?y2則y=2在第一象限內(nèi)與漸近線y=23x所以，y=2與雙曲線x29?易得M0,2,A3,0，

如圖所示，設(shè)直線y=y00≤y0≤2則D0,所以DN則πD根據(jù)祖晅原理，它繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積等于2×9π=18π又因為直角△OMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積為：13所以Γ的體積為218故答案為：18π；48π.

【分析】設(shè)直線y=y00≤y0≤2與y軸的交點為D，在第一象限與雙曲線及其漸近線的交點為B0,N0，從而得到πD四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知向量m=3sinC,?cos（1）求A；（2）若△ABC的面積為3，且b2+c【答案】（1）解：由題意知，m?由正弦定理得3sin因為0<C<π，所以sin則3sinA?cosA=0，又因為0<A<π，

所以A=（2）解：因為△ABC的面積為S=12bcsinA=所以b2由余弦定理得a2=b2+【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標表示和正弦定理邊角互化結(jié)合三角形中角C的取值范圍以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可化簡得tanA的值，再利用三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值.（2）根據(jù)三角形的面積公式可得bc的長，從而得出b2（1）由題意知，m?由正弦定理得3sin因為0<C<π，所以sin則3sinA?cos又0<A<π，所以A=（2）因為△ABC的面積為S=12bc所以b2由余弦定理得a2=b16．已知函數(shù)fx（1）當a=?3時，求函數(shù)fx（2）討論函數(shù)fx【答案】（1）解：當a=?3時，fx則f'由f'x<0，得0<x<2；

由f所以fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+所以fx的極小值為f（2）解：因為x∈f當a≤0時，由f'x<0，得0<x<2；

由f此時，fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+當0<a<2時，由f'x<0由f'x>0，得0<x<a此時，fx在a,2上單調(diào)遞減，在0,a和2,+當a=2時，f'x=此時，fx在0,+當a>2時，由f'x<0由f'x>0，得0<x<2此時，fx在2,a上單調(diào)遞減，在0,2和a,+綜上可知，當a≤0時，fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+當0<a<2時，fx在a,2上單調(diào)遞減，在0,a和2,+當a=2時，fx在0,+當a>2時，fx在2,a上單調(diào)遞減，在0,2和a,+【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數(shù)的解析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)fx（2）利用x的取值范圍和對a≤0，0<a<2，a=2，a>2進行分類討論，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，從而討論出函數(shù)fx（1）當a=?3時，fxf由f'x<0，得0<x<2；由f所以fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+故fx的極小值為f（2）x∈0,+當a≤0時，由f'x<0，得0<x<2；由f此時，fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+當0<a<2時，由f'x<0由f'x>0，得0<x<a此時，fx在a,2上單調(diào)遞減，在0,a和2,+當a=2時，f'x=此時，fx在0,+當a>2時，由f'x<0由f'x>0，得0<x<2此時，fx在2,a上單調(diào)遞減，在0,2和a,+綜上可知，當a≤0時，fx在0,2上單調(diào)遞減，在2,+當0<a<2時，fx在a,2上單調(diào)遞減，在0,a和2,+當a=2時，fx在0,+當a>2時，fx在2,a上單調(diào)遞減，在0,2和a,+17．如圖，在圓錐PO中，AC為底面圓O的一條直徑，B,D為底面圓周上不同于A,C的兩點，圓錐母線長為5,AC=2,∠BAC=（1）若AD=1，平面PAD與平面PBC的交線為l，證明：AD∥l；（2）若AD與平面PCD所成角的正切值為433，求【答案】（1）證明：因為AC為直徑，

所以AD⊥CD,AB⊥BC，且AD=1,AC=2，

則CD=3且∠CAD=又因為∠BAC=30°，

所以∠BAD=90°，

則AD⊥AB，且AB⊥BC，AD,BC?平面ABCD，

可知AD//BC，且AD?平面PBC,BC?平面PBC，

所以又因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，所以AD//l.（2）解：方法一：由題意知，AD⊥CD，如圖，以D點為坐標原點，DA,DC所在直線為x,y軸，

過D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，可知PO=5?1=2，

設(shè)則Aa,0,0可得DA設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，

則令z=1，則x=?4a,y=0設(shè)AD與平面PCD所成角為θ∈0,則tanθ=sinθcosθ=433，

則cosDA整理得16+a2=19，解得a=3，方法二：以O(shè)點為坐標原點，OC,OP所在直線分別為y和z軸，

在平面ABCD內(nèi)過O垂直于AC的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則PO=5?1=2，設(shè)Dcosθ,sinθ,0，可得設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，則令z=1，則x=2?2sinθ設(shè)AD與平面PCD所成角為α∈0,π2，

則tanα=sinαcosα=43則cos整理得18+2sinθ=19，解得所以AD=2+2sinθ=【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得AD//BC，從而證出直線AD//平面PBC，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證出AD∥l.（2）利用兩種方法求解.

方法一：以D點為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)AD=a，則得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面PCD的法向量，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和數(shù)量積求向量夾角公式，從而得出實數(shù)a的值，進而得出AD的長.

方法二：以O(shè)點為坐標原點建立空間直角坐標系，則得出點的坐標，設(shè)Dcosθ,sinθ,0，從而得出向量的坐標，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標表示，則得出平面（1）因為AC為直徑，則AD⊥CD,AB⊥BC，且AD=1,AC=2，則CD=3且∠CAD=又因為∠BAC=30°，則∠BAD=90且AB⊥BC，AD,BC?平面ABCD，可知AD//BC，且AD?平面PBC,BC?平面PBC，所以AD//平面PBC，又因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，所以AD//l.（2）方法一：由題意知，AD⊥CD，如圖，以D點為坐標原點，DA,DC所在直線為x,y軸，過D與OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，可知PO=5?1=2，設(shè)則Aa,0,0可得DA=設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，則令z=1，則x=?4a,y=0設(shè)AD與平面PCD所成角為θ∈0,則tanθ=sinθ且cos2θ+sin即cosDA整理得16+a2=19，解得a=方法二：以O(shè)點為坐標原點，OC,OP所在直線分別為y和z軸，在平面ABCD內(nèi)過O垂直于AC的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則PO=5?1=2，設(shè)Dcosθ,sinθ,0，可得設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，則令z=1，則x=2?2sinθ設(shè)AD與平面PCD所成角為α∈0,π2，則tan且cos2α+sin即cosDA整理得18+2sinθ=19，解得所以AD=2+2sin18．已知雙曲線C:x2a2?y2（1）若拋物線的方程為y2①求雙曲線C的方程；②設(shè)直線l:x=32與x軸交于點E，過點P6,0的直線交C于A,B兩點，點Q在直線l上，且直線AQ⊥y（2）過F的直線m與拋物線Γ交于M,N兩點，與C的兩條漸近線交于S,T兩點（均位于y軸右側(cè)）.若實數(shù)λ滿足λ1OS+【答案】（1）①解：設(shè)雙曲線的焦距為2c，

則p2=c=23，

又因為p=4b，所以c=2b則a=c所以雙曲線C的方程為x2②證明：由題意得，E3當直線AB與x軸不重合時，

設(shè)直線AB的方程為x=ty+6,Ax1,由x29?y2因為Δ>0恒成立，

由韋達定理得y則9由Q32,y1，

得直線BQ的方程為y?則x=?y1=32y則直線BQ恒過點154當直線AB與x軸重合時，

設(shè)A4,0,B?4,0，點Q32,0，直線綜上所述，直線BQ恒過定點154（2）解：由題意知，p2=c，又因為p=4b，

則所以雙曲線C的漸近線方程為y=±3易知直線m的斜率不為0，

設(shè)直線m:x=ny+c,Sx5,因為S,T兩點且均位于y軸右側(cè)，所以n2由x=ny+cy=±33x，則1OS設(shè)Mx3,y3,Nx4,則y31MF?=11+n由λ1OS+1OT=1MF?1NF又因為0≤n2<3，所以3則實數(shù)λ的取值范圍為0,1【解析】【分析】（1）①根據(jù)拋物線的焦點坐標和雙曲線的焦點坐標和已知條件，再利用雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而得出a,b,c的值，進而得出雙曲線C的標準方程.

②由題意得，E32,0，當直線AB與x軸不重合時，設(shè)直線AB的方程為x=ty+6,Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程得出韋達定理式，再利用點Q的坐標和點斜式方程得出直線BQ的方程，令y=0，計算得出直線BQ恒過點154,0；當直線AB與（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，從而得出y5=c3?n,y（1）①設(shè)雙曲線的焦距為2c，則有p2=c=23，又所以b=3，則a=所以雙曲線C的方程為x2②由題意得，E3當直線AB與x軸不重合時，設(shè)直線AB的方程為x=ty+6,Ax由x29?Δ>0恒成立，由韋達定理得y則有9由Q32,y1得，直線BQx=?y1=32即直線BQ恒過點154當直線AB與x軸重合時，設(shè)A4,0,B?4,0，點Q32154,0.綜上，直線BQ恒過定點（2）由題意知，p2=c，又p=4b，則所以雙曲線C的漸近線方程為y=±3易知直線m的斜率不為0，設(shè)直線m:x=ny+c,Sx由于S,T兩點且均位于y軸右側(cè)，有n2由x=ny+cy=±331OS設(shè)Mx3,y3,Nx則有y31MF?=11+由λ1OS+λ?3c=又0≤n2<3，則3故實數(shù)λ的取值范圍為0,119．中國