等腰三角形一、選擇題1．東莊?3分）圖由8全矩形等腰三角形一、選擇題1．東莊?3分）圖由8全矩形成大方，段AB端都在小形頂上如點(diǎn)P某小形頂連接PAB么△BP等直角三角點(diǎn)P個(gè)是（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【分】據(jù)腰角角形判即得結(jié)．【解】：圖示使△AP等直三形點(diǎn)P個(gè)是，故選B．【點(diǎn)】題查等直角角的定正的找符條點(diǎn)P解題關(guān)．2東莊?3如在R△ABCCB=9C⊥A垂為DF∠CA，交CD點(diǎn)，交B于點(diǎn)F若A=3AB=，則E長(zhǎng)（）A．B．C．D．【分根三角的角和理出CAF∠C=90FAD∠AE=9據(jù)平分線和對(duì)角等得∠CE=∠CFE即得出C=F，再利相三角的定與性得出答案．【解】：點(diǎn)F作⊥AB于點(diǎn)，∵∠AB=9°CDAB，∴∠CA=9°，∴∠CF+CFA90，AD+∠ED=0，∵AF平∠CA，∴∠CA=9°，∴∠CF+CFA90，AD+∠ED=0，∵AF平∠CA，∴∠CF=FA，∴∠CA=AED∠CF，∴CE=F，∵AF平∠CA，ACF∠AGF90，∴FC=G，∵∠B∠，∠GB∠AC90°，∴△BG△BA，∴=，∵AC=，A=5∠AB=9°，∴BC=，∴=，∵FC=G，∴=，解得FC=，即CE的為．故選A．【點(diǎn)本考查直三角性等腰角的性和三形內(nèi)角定及相似角的定性等知，鍵推∠C=∠CF．3.（山淄?4如P為邊角形BC的點(diǎn)且P三頂點(diǎn)BC的距分為，，5則△AC面為（）A．B．C．D．【考】R：轉(zhuǎn)性；KK等三形性；KS勾定的定．A．B．C．D．【考】R：轉(zhuǎn)性；KK等三形性；KS勾定的定．【分】△BC點(diǎn)B逆時(shí)轉(zhuǎn)6°△BE，根旋的得BEP=4，E=P=，∠PBE60，△BE等邊角，到E=P4，∠PE=0，△AP中，A=5長(zhǎng)BP作A⊥BP點(diǎn)FP=3，E=，據(jù)股的逆理得△AE直角角，且∠AE=9°即得∠AB度，直△PF利三函得F和PF的，則在角ABF中用股定得AB的，求得形ABC的積．【解】：△AC等邊角，∴BA=C，可將BPC繞點(diǎn)B時(shí)旋轉(zhuǎn)0得△EA連E，且長(zhǎng)P作A⊥BP于點(diǎn)．圖，∴BE=P=，AEPC=，BE=6°，∴△BE等三形，∴PE=B=，∠PE=0，在△AP，A=5AP=，PE=，∴AE2PE2+A2，∴△AE直三形且∠AE=9°，∴∠AB=9°+0°15．∴∠AF=3°，∴在角APF中AF=A=，PF=AP=．∴在角ABF中AB2=2+AF2（4+）2+（）225+．?AB2=則△AC面是?25+12）=．故選A．【點(diǎn)本考查等三角的定性股定【點(diǎn)本考查等三角的定性股定的定以旋的性旋前后的個(gè)形等對(duì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)心連段夾角于轉(zhuǎn)應(yīng)到旋中的距離相．4.（蘇州3分）圖點(diǎn)A線段D上在BD的側(cè)等腰t△AC腰R△AD，CD與E、E分別點(diǎn)PM對(duì)列結(jié)：①△BE△CA；MP?=MA?M；2CB=CPCM其中確是（）A．②③B．①C．②D．【分（）腰RABC等腰RtADE三份數(shù)系證；（2通等式推，證△PM△ED（3）CB2化為C2明△AP△MC，題證．【解】：已：A=AB，A=AE∴∵∠BC=EAD∴∠BE=CAD∴△BE△CAD所以正確∵△BE△CAD∴∠BA=CDA∵∠PE=AMD∴△PE△AMD∴∴MP?D=M?ME所以正確∵∠BA=CDA∠PME∠AD∴P、、、A四共圓∴∠AD=EAD90°∵∠CE=10﹣∠AC∠EAD90°∴△CP△CMA∵∠CE=10﹣∠AC∠EAD90°∴△CP△CMA∴AC2CP?∵AC=AB∴2CB=CPCM所以正確故選A．【點(diǎn)題查相三角的質(zhì)判等積和例的明應(yīng)注應(yīng)倒推的方尋相三形行證，而到案．5湖南省常德3分圖知D△AC的平線D是C垂直分，∠BAC90，A=3則E的長(zhǎng)（）A．6B．5C．4D．3【分據(jù)段直分線性到DBDC據(jù)角分的義三形內(nèi)和理求出C=DBC∠AD=3°，據(jù)角角的質(zhì)解．【解】：ED是BC的垂平線，∴DB=C，∴∠C∠DC，∵BD是△BC角分，∴∠AD=DB，∴∠C∠DC=ABD30，∴BD=AD=，∴CE=D×osC=3故選D．，【點(diǎn)本考查是段垂平線性角三形性握段垂平上的點(diǎn)線兩點(diǎn)距相等解的鍵．6.（灣分圖，角形ACBC＞A＞A，、兩想找點(diǎn)P，使得BPC與A補(bǔ)作法別下：（甲以A為心AC為半畫交B于P則P為求；（過B點(diǎn)與B直的線作過C與AC垂的交l于P則P即為所求對(duì)于、兩的法為所求對(duì)于、兩的法下列述者確（）A．人正確B．人錯(cuò)誤C．正，錯(cuò)誤D．錯(cuò)，正確【分據(jù)圖得ACA用邊角APC∠A角的義知：∠BPC∠AC=10，等量換作斷；乙：據(jù)邊的角可得∠BC+A=10．【解】：：圖，∵A=A，∴∠AC=AC，∵∠BC+APC18°∴∠BC+ACP18°，∴甲誤；乙：圖，ABPBC⊥P，∴∠AP=ACP90，∴∠BC+A=10，∴乙確，故選D．【點(diǎn)題查垂的定邊的角定理等三形性正的解題意是題關(guān)．7（湖荊門3）如，腰RtABC，邊B長(zhǎng)為2O為7（湖荊門3）如，腰RtABC，邊B長(zhǎng)為2O為AB中，P為AC邊的點(diǎn)O⊥P交BC于點(diǎn)QM為PQ的點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)點(diǎn)C點(diǎn)M所經(jīng)的線為（）A．B．C．1D．2【分】接OC作PAB于E，M⊥AB于，Q⊥AB于F如，用腰直三形的性得ACBC=，∠=B=45，O⊥A，O=OAB=1∠OC=4°再明Rt△OP≌△CQ得到AP=Q接利用APE和△FQ為腰直三形到P= AP=CQ，QF=BQ以PEQF=BC=1然后明H梯形PEFQ的中線到H=即定點(diǎn)M到B距離為，而得點(diǎn)M的動(dòng)線△AC中線最用三形位線性得點(diǎn)M所過路線．【解】：接C作PE⊥B于，M⊥B于，QFAB于F如，∵△AB到腰角角形，∴AC=C=AB=，∠A∠B=°，∵O為AB的點(diǎn)，∴OCABOC平∠AC，OC=A=O=1，∴∠OB=4°，∵∠PQ=9°∠CA=9°，∴∠AP=CO，在R△AOP和COQ中，∴RtAO≌△OQ，∴AP=Q，易得APE和BFQ都腰直三形，∴PE=AP=CQ，Q=BQ，∴PE+F=（CQ+Q）=BC=× =1，∵M(jìn)為Q中，∴MH∴PE=AP=CQ，Q=BQ，∴PE+F=（CQ+Q）=BC=× =1，∵M(jìn)為Q中，∴MH為形PEQ中線，∴MH=（PEQF=，即點(diǎn)M到B距為，而CO1，∴點(diǎn)M的動(dòng)線△AC的位，∴點(diǎn)P點(diǎn)A運(yùn)點(diǎn)C時(shí)點(diǎn)M所過路長(zhǎng)=AB=1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡：通過計(jì)算確定動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中不變的量，從而得到運(yùn)動(dòng)的軌跡．考了腰角角形性．8.（河?3分知：圖，點(diǎn)P在段B外，且PAPB.求：點(diǎn)P在線段B的直分上在該結(jié)時(shí)需加助，則法正的（ ）A．作B的分線PC交B于點(diǎn)CB．點(diǎn)P作PCAB于點(diǎn)C且ACBCC.取B中點(diǎn)C，連接PCD．點(diǎn)P作PCAB，足為C9.2018四省陽)圖，ACB和9.2018四省陽)圖，ACB和ECD都腰直三形CA=B，=CD△ACB的頂點(diǎn)A在△CD的邊DE上，若AE=，A=，則個(gè)角重部的面為（）A.B.C.D.【答】D【考】角的積全等角的定性，勾定，似角的判與，等腰角角形【解解】：接B，作H⊥E，∵△AB△ED是直角角，∴∠AB=ECD90,∠C=∠CB=4°,即∠AD+DCB∠AD+CE=9°，∴∠DB=AC，在△DB△EA,∴△DB△EC∵△AB△ED是直角角，∴∠AB=ECD90,∠C=∠CB=4°,即∠AD+DCB∠AD+CE=9°，∴∠DB=AC，在△DB△EA,∴△DB△EC，∴DB=A=,∠CB=E=4°,∴∠CB+ADC∠AB=9°，在R△ABD中，∴AB=在R△ABC中，∴2AC=AB28，∴AC=C=，在R△ECD中，=2，∴2CD=DE2=，∴CDCE=1，∵∠AO=DC，∠AOCDA，∴△CO△CD，∴：===4-2，又∵=CE=DE·C，∴CH==，∴=AD·H=××=，∴=（4-2）×=3-.即兩三形疊分面為3-故答為D..【分解連接BD作C⊥DE根等直三的性可∠AB=ECD0°,ADC=∠CAB45,由角角相可∠DB=ACE由SAS∠CAB45,由角角相可∠DB=ACE由SAS得DC≌△CA根據(jù)等角形的知DBEA=,∠B=∠E45,而∠AD90°在t△BD中據(jù)勾定理得B=2，理得ABC=2CD=E=+1由三角的定△COCD，根據(jù)似角的質(zhì)面積等相比平從而出個(gè)角重部分面.二.填空題1（218四省市3分）圖等△AC底邊BC=0面為10點(diǎn)F邊BC上且BF3F，EG是腰C的直分，點(diǎn)D在EG上動(dòng)則CDF長(zhǎng)的小為18．【分圖作H⊥C于連接AD由EG垂平段AC推出DA=C出DDC=ADDF，可當(dāng)AD、F共時(shí)F+DC的最，小是段AF的；【解】：作ABC于，接D．∵EG垂平線段C，∴DA=C，∴DF+C=A+D，∴當(dāng)、、F線，DDC值小最值線段F長(zhǎng)，∵?BCAH=20，∴AH=2，∵AB=C，H⊥C，∴BH=H=1，∵BF=FC，∴CF=H=，∴AF===1，∴DF+C最值為13．∴△CF長(zhǎng)最值為∴△CF長(zhǎng)最值為3+5=1；故答為8．【點(diǎn)題查對(duì)最短題線的直線的質(zhì)等三形質(zhì)等識(shí)，解題關(guān)是會(huì)用對(duì)稱解最問，于中常題．2.（廣桂?3）如在ΔBC，=36°AB=C,D分∠C，圖等腰三形個(gè)是 【答】3詳解∵A=A，△AC是等三形．∵∠A36，∠C∠A=72．BD分∠BC交AC于，∴∠AD=DBC36，∵∠A∠AD=3°，∴△AD等三形．∠BDC∠A∠AD=3°+°=7°=C，∴△BC等三形．∴有3等三形．故答為3．點(diǎn)睛本考了腰角形判與質(zhì)三形內(nèi)和理求角度數(shù)正解答本題關(guān)．3.（疆產(chǎn)兵團(tuán)5）圖△ABC是⊙O的接三形⊙O半為2，圖陰部面是．【分據(jù)邊角性質(zhì)圓角理得形對(duì)的心【分據(jù)邊角性質(zhì)圓角理得形對(duì)的心度根據(jù)形積公式計(jì)即．【解】：△AC等邊角，∴∠C60，根據(jù)周定可∠A=2∠C12°，∴陰部的積是=π，故答為：【點(diǎn)題要查形面的算圓角理據(jù)邊角性和圓角理求得圓角數(shù)解的鍵．4.（四川賓·3分）劉是國(guó)古卓的數(shù)學(xué)之，他《章算術(shù)中提出了割術(shù)用接或切多形步近圓近計(jì)圓面設(shè)圓O半徑為，用圓O外六邊的積近估圓O的積則= 2（結(jié)保留根號(hào)）【考】M：多形圓；1：學(xué)識(shí)．【分析根正多形定義可出△BO等三角形根等邊角的性質(zhì)合的長(zhǎng)可出B長(zhǎng)再利三形面公即可出S的．【解】：照意出圖，圖示．∵六形BCDF正形，∴△AO等三形，∵⊙O的徑為1，∴OM=，∴BM=M= ，∴AB=，∴S=6△ABO=×××12．，，故答為2．【點(diǎn)本考查正邊形角形面以及學(xué)，，故答為2．【點(diǎn)本考查正邊形角形面以及學(xué)根等三角的求出正邊的長(zhǎng)解的關(guān)．5.（津3分圖邊為4的邊中分為的點(diǎn)于點(diǎn)為 的中，接，則的為 ．【答】【解】析接D根據(jù)意得ΔDEG是角三形然根勾定理可解DG長(zhǎng).詳解接D，∵DE別是B、C中點(diǎn)，∴DEACDE=∵ΔAC等三形且BC4∴∠DB=6°,E=2∵EFAC∠C60,EC2∴∠FC=3°EF=∴∠DG=10°60-3=90°∵G是EF的點(diǎn)，∴EG= .在RΔDG，DG=故答為：.點(diǎn)∵G是EF的點(diǎn)，∴EG= .在RΔDG，DG=故答為：.點(diǎn)題要考了邊三形性股理以三形位性定住熟練運(yùn)性是題關(guān).6（湖北省武漢·3分圖△AC中∠ACB60AC=D邊AB的點(diǎn)，E是邊BC上點(diǎn)若DE平分ABC的長(zhǎng)則E的長(zhǎng)是．【分】長(zhǎng)C至M使CM=C，接A作C⊥M于，據(jù)意到MEB，據(jù)三角形位定到DE=M根等三形性求出AC根正的念出AN，計(jì)算可．【解】：長(zhǎng)C至，使M=C，接A作CN⊥M于，∵DE平△ABC的長(zhǎng)，∴ME=B又A=D，∴DE=AM，E∥M，∵∠AB=6°，∴∠AM=10，∵CM=A，∴∠AN=6°AN=N，∴AN=C?sn∠CN=，∴AM=，∴DE=，故答為：．【點(diǎn)題查是角形位定腰角形性直三形握角形中位定、確出助性解故答為：．【點(diǎn)題查是角形位定腰角形性直三形握角形中位定、確出助性解的鍵．7（北京2）圖所的格正形格C E（“”，“”“”）【答】【解】下所，EBDEGBCADFCA△G是等直三形∴GC4，∴CE．另：題可接量到結(jié)．【考】腰角角形8.（江鹽?3如直角中，，是等腰三角形且，、分別為邊形，則、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使是直角三角．16.答】或【考】腰角的定與質(zhì)相三形判定性質(zhì)【解解】：BPQ直三【考】腰角的定與質(zhì)相三形判定性質(zhì)【解解】：BPQ直三形，兩種況∠BQ=0∠BQP90度。在直角中，，，則B=1ABA=3::5(1)當(dāng)∠BQ=0，△BP△BC，則PQBPBQ=：BCAB=:4:，設(shè)PQ3x則B=4，BQx，AQAB-Q=1-5，此時(shí)AQP為角則△APQ是腰角時(shí)只有Q=P，則105x=x解得=，則AQ10-x= ；（2）∠BQP=0則△BP~BC，則PQQ：BPACBCAB=:4:，設(shè)PQ3x則B=4，BPx，AQAB-Q=1-4，此時(shí)AQP為角則△APQ是腰角時(shí)只有Q=P，則104x=x解得=，則AQ10-x=；故答為：或【分析】要同時(shí)使是等腰三角形且是直角三角形，要先找突破口，可先確定當(dāng)AQ等腰角時(shí)，討△BQ直三角可的況或先確△BQ是直角角討△APQ是等三形情題先定BPQ是角角形易些：△BQ直三角有種情，據(jù)似判和性可到BQP與CA似可得到△BP邊比設(shè)未知表出邊長(zhǎng)，再論APQ是腰角形，哪兩條相，造程出知數(shù)可最出A。9（四成都3等腰角的個(gè)角為【答】8°【考】角的積等腰角的質(zhì)【解析【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角為180°50×280°故答為80°則的角度為 ．∴它的頂角的度數(shù)為：【分】據(jù)腰角的兩角等三形內(nèi)角定，可得果。三.解答題1.（東博?9（1）作發(fā)三.解答題1.（東博?9（1）作發(fā)：圖，小明了個(gè)等三形AB，其中AB=A在△BC外別以BAC為作兩等腰角形ABC別取BD，CEBC的點(diǎn)MNG接GMGN小發(fā)現(xiàn)線段M與GN數(shù)關(guān)是M=NG；位置系M⊥NG．（2類思：如圖小在此礎(chǔ)進(jìn)行深思等三形ABC換一的角三中AB＞A，它件變小明現(xiàn)上結(jié)還立嗎請(qǐng)明由．（3深研：如圖③小在（2的礎(chǔ)上，作進(jìn)一的究．向ABC的內(nèi)分作等腰角三角形BDAC，它不變?cè)嚁郍MN的狀，給證．【考】K：角綜題．【分1利用SAS斷出AC≌△E出D=B∠DC∠AB進(jìn)判斷∠BC+∠DBH90，：BHD0°最用角中定理可出論；（2同（）方即得出論；（3同（）方出MG=N，后用角位線理等代即得出論．【解】（）接，CD相于H，∵△AD△AE是直角角，∴AB=D，C=A，BAD∠CAE90°∴∠CD=BA，∴△AD△AE（SS∴CD=E∠AD=∠BE，∴∠BC+DBH∠BC+BD+∠BE∠BD+∠BDADC=ADB∠AD=9°，∴∠BD=9°，∴CDBE，∵點(diǎn)，G分是B，BC的中，∴MGCD，同理NGBE，∴MG=G，G⊥G，同理NGBE，∴MG=G，G⊥G，故答為MG=G，G⊥；（2連接CDBE相于H，同（）方得，G=N，MGNG；（3連接EBDC延線相于，同（）方得，G=N，同（）方得△AB≌△AC，∴∠AB=AC，∴∠CE+∠CH=∠AEH﹣∠AC+10°﹣∠CD﹣∠AE=∠CD﹣5°18°﹣∠AD﹣45°=0，∴∠DE=9°，同（）方得，G⊥．【點(diǎn)題三形題要查腰角形的質(zhì)全三形定和質(zhì)，平行的定性角形中線理正作出助用比思解決題解本題的鍵．2湖北省孝感7分如△BCA=C聰學(xué)用尺規(guī)完了如下操：①作BAC的分線AM交BC點(diǎn)D；②邊AB的直分線F，EF與M交點(diǎn)P；③接P，P．請(qǐng)你察形答列題：（1線段PAPBPC間的量系P=PBC；（2若∠BC=0，BPC度．【分【分（）據(jù)段垂直分的質(zhì)得A=PB=C；（2根等腰角的質(zhì)得∠AC=∠CB=0由角的角得∠BAC18°﹣2×7°=4由平線定∠AD=CAD0°最利三形的性可結(jié)論．【解】（）圖A=PB=C理是：∵AB=C，M分BA，∴AD是BC的直分，∴PB=C，∵EP是AB的直分，∴PA=B，∴PA=B=P；故答為PA=B=P；（2∵ABAC，∴∠AC=ACB70，∴∠BC=10﹣27040°，∵AM平∠BA，∴∠BD=CAD20，∵PA=B=P，∴∠AP=BAP∠AP=2°，∴∠BC=ABP∠BC+CP=2°+4°+0°80．【點(diǎn)本考了平線和段直分的本作等三形三合一性、三角的角質(zhì)線的垂平線性，練掌線的直分的性．3（北?7）如，在正形CD中，E是邊B上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A，B重合連接E點(diǎn)A關(guān)于線E的對(duì)稱為F連接F并長(zhǎng)交C于點(diǎn)G連接G，過點(diǎn)E作HE交G的長(zhǎng)于點(diǎn)H，連接H．（1求：FC；（2用式示段H與E數(shù)量系并明．CDGHAEB【解（）明連接F．∵A，F(xiàn)關(guān)于E對(duì)稱．∴CDGHAEB【解（）明連接F．∵A，F(xiàn)關(guān)于E對(duì)稱．∴DD．EE．在△E和△E中．DDCDEEEEG∴△E≌△E∴EE．∵四形CD是正形∴AC9．DCD∴EA9∴G18E9∴GC∵DF．DCD∴FCD在Rt△CG和Rt△G．CFHAEBGG∴Rt△CG≌Rt△