第第頁(yè)四川省綿陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期第三次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1?iA．?i B．i C．2?i 2．已知平面向量a=?1,1,b=A．?2 B．0 C．1 D．23．設(shè)a,b∈R，則“ab<1”是“0<a<A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,P是C上一點(diǎn)，且△OPFA．1 B．2 C．2 D．25．某家電公司生產(chǎn)了A,B兩種不同型號(hào)的空調(diào)，公司統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)2024年的前6個(gè)月這兩種型號(hào)空調(diào)的銷售情況，得到銷售量的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，分析這6個(gè)月的銷售數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A．A型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差比B型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差大B．A型號(hào)空調(diào)月平均銷售量比B型號(hào)空調(diào)月平均銷售量大C．A型號(hào)空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)比B型號(hào)空調(diào)銷售量的上四分位數(shù)大D．A型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差比B型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差小6．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，A．82π3 B．32π3 7．已知tanαsinα=3A．3 B．3 C．9 D．818．已知P是橢圓16x2+25y2=1600上的一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)1A．17 B．37 C．1113二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知定義在R上的函數(shù)fx=3A．a(chǎn)的值可以為?1B．a(chǎn)的值可以為2C．若fa=81D．若m>n，且fm=fn，則10．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知A是△ABC的最小內(nèi)角，且tanA為整數(shù)，若sinA．A=B．b=2C．若B<C，且tanB為整數(shù)，則D．若△ABC為直角三角形，則△ABC的面積為111．已知集合P?N*，對(duì)于P中的任意兩個(gè)元素a,b都有ab?16a?bA．4個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4+13．在一次知識(shí)競(jìng)賽中，小張需要按順序依次回答甲?乙?丙3個(gè)問(wèn)題，已知他答對(duì)甲?乙?丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立.若至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，可獲得額外加分，則小張獲得額外加分的概率為.14．在坐標(biāo)平面xOy中，已知過(guò)點(diǎn)Ma,b恰能作曲線y=lnx2的2條切線，則由所有點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．已知等比數(shù)列an滿足a1=2（1）求數(shù)列an（2）求an16．已知函數(shù)fx=x2+4（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求fx（2）當(dāng)x∈1,2時(shí)，設(shè)Tm為fx17．如圖1，等腰梯形ABCD中，AB//CD,CD=AB+2,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，且EF=6，將梯形AEFD沿EF翻折至梯形A1EFD1，使得平面A（1）證明：A1（2）求BE的長(zhǎng)；（3）在D1C上取一點(diǎn)P，使得平面EFP⊥平面A1BCD18．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右頂點(diǎn)為A,B，且AB=2，雙曲線C的一條漸近線的斜率為（1）求雙曲線C的方程；（2）若雙曲線C上存在點(diǎn)T，且OT=28（3）過(guò)點(diǎn)R2,0的直線l2雙曲線C于P,Q兩點(diǎn)，直線l1的斜率為k112<k119．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)模擬某旅游地區(qū)的n+1×n+1格點(diǎn)圖，共有(n+1)2個(gè)格點(diǎn).陰影區(qū)域S1與S2（1）當(dāng)n=3時(shí)，求一輛觀光車從A點(diǎn)到B點(diǎn)會(huì)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)2,1的路線總數(shù)；（2）已知一個(gè)由m個(gè)+1和m個(gè)?1構(gòu)成的含有2m項(xiàng)的序列：a1,a2,?,a2m（i）當(dāng)n=4時(shí)，某游客游覽了7個(gè)景點(diǎn)，求他游覽的路線總數(shù)；（ii）設(shè)某游客游覽了兩個(gè)景區(qū)各至少1個(gè)景點(diǎn)的路線總數(shù)為Qn，求證：當(dāng)n≥5時(shí)，168×

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，由1+iz=1?i，

可得1+ia+bi=a-b+a+bi=1?i，

則故答案為：B.【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得復(fù)數(shù)z2．【答案】A【解析】【解答】解：向量a=?1,1,b=1,m，

若a//則a?故答案為：A.【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求的m=?1，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：取a=0,b=?1，滿足ab<1，但不滿足0<a<1當(dāng)0<a<1b時(shí)，b>0，則故“ab<1”是“0<a<1故答案為：B.【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：易知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F因?yàn)椤鱋PF的面積為1，所以S△OPF=12OF?y又因?yàn)镻x0,y0根據(jù)拋物線的定義可得：PF=故答案為：C.【分析】易知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F1,0，設(shè)Px0,5．【答案】D【解析】【解答】解：A、易知A型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差為50?25=25，B型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差為45?22=23，故A正確；B、A型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為15B型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為15C、A型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，38，42，50，6×75%=4.5，則B型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：22，25，30，37，40，45，6×75%=4.5，則D、A型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為1B型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為15故答案為：D.【分析】由題意，根據(jù)極差、平均數(shù)、上四分位數(shù)、方差的定義求解判斷即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：直三棱柱ABC?A1B1C1中，易知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線A1B=AB|2故球O的體積為V=4故答案為：A．【分析】將直棱柱補(bǔ)全成長(zhǎng)體即可知道其外接球直徑，再求其體積即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：tanαsinα=3，則ta故答案為：C.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商關(guān)系，平方關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：橢圓16x2+25y2=1600的標(biāo)準(zhǔn)方程為易知橢圓的焦點(diǎn)為F1?6,0,F2由題意可得：x2100+y2則PF1=112cos∠P故答案為：C.【分析】化橢圓方程16x2+25y2=1600為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、當(dāng)a=?1時(shí)，函數(shù)fx=3B、當(dāng)a=2時(shí)，fx=3x,x>2C、若fa=fa+3=3D、當(dāng)x≤a時(shí)，fx由m>n，fm=fn，要使m最大，則m>a因?yàn)閒n當(dāng)n+3k>a時(shí)，令m=n+3k，k取滿足n+3k>a的最小正整數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，m取得最大值n+3，又n≤a，則m的最大值為a+3，故D正確.故答案為：ACD.【分析】代值檢驗(yàn)即可判斷AB；代值計(jì)算即可判斷C；結(jié)合函數(shù)的周期分析即可判斷D.10．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、因?yàn)锳是△ABC的最小內(nèi)角，且tanA為整數(shù)，所以A∈0,π2，

所以B、由A選項(xiàng)結(jié)合sinA+asinB=32由正弦定理asinA=bsinB，可得C、因?yàn)椤鰽BC的最小內(nèi)角，A=π4，若C>π2，A=π4<B<C<π2所以tanA<tanB<即tanB>1-1-tan又因?yàn)閠anB為整數(shù)，所以tanB=2；當(dāng)A=D、若△ABC為直角三角形，即C=π2，則B=π4，b=a=2，則故答案為：AB.【分析】由題意可知tanA=1，求得A即可判斷A；根據(jù)正弦定理求b即可判斷B；由題意按照C的范圍討論，解不等式即可判斷D；若△ABC為直角三角形，即C=π211．【答案】A,B【解析】【解答】解：當(dāng)a=b時(shí)，不滿足集合元素的互異性，排除；設(shè)a>b，任意兩個(gè)元素a,b都有ab?16a?b≤0，則移項(xiàng)可得ab?16a≤?16b，即a(b?16)≤?16b，因?yàn)閍,b∈N+且a>b，所以b?16<0，則a≥16b16?b，易知b<16，

集合P至多有令f(x)=16x16?x(0<x<16)，f'(x)=16(16?x)+16x(16?x)2=假設(shè)存在x1,x2∈P且k≤由f(x)的單調(diào)性可知f(b)=f(x1)≥f(k)>所以P中至多只有[k,f(k))中的一個(gè)整數(shù)，因?yàn)閒(8)=16，所以集合P至多只有[8,16)中的一個(gè)整數(shù)，因?yàn)閒(6)=9.6，所以集合P至多有[6,8)中的一個(gè)整數(shù)，因?yàn)閒(4)=163>5，所以集合P又因?yàn)閒(1)=1615<2，f(2)=167<3，f(3)=4813<4，

綜上，集合P至多有3+1+1+1+1=7個(gè)元素，{1,2,3,4}，{1,2,3,4,6,10,27}符合條件，說(shuō)明集合P的元素個(gè)數(shù)可以是4個(gè)或7個(gè).故答案為：AB.【分析】通過(guò)對(duì)集合P中元素滿足的不等式進(jìn)行變形，分析元素之間的關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)確定集合P中元素個(gè)數(shù)的上限，并通過(guò)舉例驗(yàn)證元素個(gè)數(shù)的可能性.12．【答案】?8【解析】【解答】解：數(shù)列an為等差數(shù)列，若a4+a5故答案為：?8.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.13．【答案】0.42???????【解析】【解答】解：答對(duì)甲?乙?丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立，

至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，包含：甲乙都對(duì)，丙正誤都可；甲錯(cuò)誤，乙丙對(duì)，

則小張獲得額外加分的概率為0.8×0.5+1?0.8故答案為：0.42.【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可.14．【答案】a,b【解析】【解答】解：函數(shù)y=lnx2定義域?yàn)?∞，0設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Ma,b的切線有2條，所以方程2a轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx=2ax+g'當(dāng)a=0時(shí)，gx=ln因?yàn)間?x=ln當(dāng)x>0時(shí)，gx且x→0時(shí)，gx→?∞，x→+畫出函數(shù)gx此時(shí)滿足函數(shù)gx=2ax+若a<0，令g'x>0，得a<x<0或x>0；令g則函數(shù)gx在a,0和0,+∞上單調(diào)遞增，在且ga=ln要使函數(shù)gx=2ax+lnx若a>0，令g'x>0，得x>a；令g'x則函數(shù)gx在?∞,0和0,a且ga=ln要使函數(shù)gx=2ax+lnx綜上所述，點(diǎn)M構(gòu)成的集合為a,ba=0故答案為：a,ba=0【分析】求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為方程2ax0+lnx0215．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)?a3,2a4,a5成等差數(shù)列，所以4a4=4則an（2）解：由（1）可得：

an===2【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意列方程求出公比，即可得數(shù)列a（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解即可.（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q∵4a∴4a即4a即8q解得q=2或q=0（舍），∴（2）an===216．【答案】（1）解：函數(shù)fx=x2+4因?yàn)楹瘮?shù)fx在x=1處取得極值，所以f'1則f'令f'x>0，解得0<x<1或x>2；令f則函數(shù)fx在0,1和2,+∞上單調(diào)遞增，在函數(shù)fx在x=1處取得極值，故a=6當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)fx取得極小值，極小值為f（2）解：由（1）知，函數(shù)fx在1,2上單調(diào)遞減，且f1=?5?m當(dāng)?5?m?8+4ln2?m2≥0，即m≤?13+4當(dāng)?5?m?8+4ln2?m2<0，即m>?13+4則Tm當(dāng)m≤?13+4ln2則Tm當(dāng)m>?13+4ln2則Tm綜上所述，Tm的最小值為3?4【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，由題意可得f'1=0，求得a（2）結(jié)合（1）易得fx（1）由fx=x則f'因?yàn)楹瘮?shù)fx在x=1所以f'1=2+4?a=0此時(shí)fxf'令f'x>0，得0<x<1或x>2；令f所以函數(shù)fx在0,1和2,+∞上單調(diào)遞增，在則函數(shù)fx在x=1處取得極值，即a=6當(dāng)x=2時(shí)，fx取得極小值f（2）由（1）知，函數(shù)fx在1,2且f1=?5?m，當(dāng)?5?m?8+4ln2?m2≥0，即m≤?13+4當(dāng)?5?m?8+4ln2?m2<0，即m>?13+4則Tm當(dāng)m≤?13+4ln2則Tm當(dāng)m>?13+4ln2則Tm綜上所述，Tm的最小值為3?417．【答案】（1）證明：將梯形AEFD沿EF翻折至梯形A1EFD1，使得平面A1EFD1⊥平面BEFC，

因?yàn)槠矫鍭1EFD1∩平面BEFC=EF，且以F為原點(diǎn)，以FE,FC,FD1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)BE=a，E6BF=因?yàn)锽F⊥A1C，所以BF則A1B=0,2,?2,即D1C//（2）解：由（1）可得BE→=0,-a,0（3）解：由（1）知，A1C=?6,3,?2，設(shè)DP=λD1C=設(shè)平面A1BCD則m?A1C=?設(shè)平面EFP的一個(gè)法向量為n=則n?EF=?6x由平面EFP⊥平面A1BCD1，則則P0,32,3設(shè)平面BFP的一個(gè)法向量為p=則p?BP=?6x易得平面BEFC的一個(gè)法向量為q=則cosp則平面BFP與平面BEFC夾角的余弦值為64【解析】【分析】（1）由平面A1EFD1⊥平面BEFC，可得D1F⊥平面BEFC，以F為原點(diǎn)，以FE,FC,FD1所在直線為x,y,z（2）由（1）a=2，得BE→（3）利用空間向量法求解即可.（1）因?yàn)槠矫鍭1EFD1⊥平面BEFC且D1F⊥EF，D1所以D1F⊥平面BEFC，又以F為原點(diǎn)，以FE,FC,FD1所在直線為設(shè)BE=a，易得E6則BF=由BF⊥A1C，則BF?A則A1則D1C=即D1C//（2）由（1）知，BE=a=2.（3）由（1）知，A1C=?6,3,?2，設(shè)DP=λD1C=設(shè)平面A1BCD則m?A1C=?設(shè)平面EFP的一個(gè)法向量為n=則n?EF=?6x由平面EFP⊥平面A1BCD1，則則P0,32,3設(shè)平面BFP的一個(gè)法向量為p=則p?BP=?6x易得平面BEFC的一個(gè)法向量為q=則cosp則平面BFP與平面BEFC夾角的余弦值為6418．【答案】（1）解：因?yàn)殡p曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右頂點(diǎn)為A,B，且AB=2，所以則雙曲線C的方程為x2（2）解：當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，M?1,0,N1,0，

OM+則直線l1的斜率不為0，設(shè)直線l1的方程為x=t聯(lián)立x=t1y+2則2t12?1≠0，由韋達(dá)定理可得y1則x1OM=則OT=即T?122t解得t12=12或t12=14，即t1（3）解：由（2）知，設(shè)直線l1的方程為x=t1y1顯然直線l2的斜率不為0，設(shè)直線l2的方程為x=t同理可得y3由k1?k則t1t2=?3，1<t所以MR?PR?所以MR=36?10+令u=t12因?yàn)楹瘮?shù)y=x+9x在1,3上單調(diào)遞減，在且x=1時(shí)，y=10；x=3時(shí)，y=6；x=4時(shí)，y=25則u∈6,10，所以MR函數(shù)fu在6,10則fumin=f6=???????【解析】【分析】（1）由題意求得a,b，即可求得雙曲線的方程；（2）設(shè)直線l1的方程為x=t1y+2，Mx1,（3）由（2）可得y1y2=62t可得y3y4=62t22?1由k1?k（1）由題意，2a=2ba=2，解得則雙曲線C的方程為x2（2）當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，M此時(shí)OM+ON=0,0，顯然不存在點(diǎn)則直線l1的斜率不為0，設(shè)直線l1的方程為x=t聯(lián)立x=t1y+2則2t12?1≠0，y1則x1又OM=則OT=即T?12得?1解得t12=12或t則直線l1的方程為x=±即2x±y?4=0.（3）由（2）知，設(shè)直線l1的方程為x=t1y1顯然直線l2的斜率不為0，設(shè)直線l2的方程為x=t同理可得y3由k1?k則t1t2=?3，1<t所以MR?PR?所以MR=36?10+令u=t12因?yàn)楹瘮?shù)y=x+9x在1,3上單調(diào)遞減，在且x=1時(shí)，y=10；x=3時(shí)，y=6；x=4時(shí)，y=25則u∈6,10，所以MR函數(shù)fu在6,10則fumin=f6=19．【答案】（1）解：從A點(diǎn)到2,1總共需要3步，向上1步，向右2步，再2,1到B點(diǎn)總共需要3步，向上2步，向右1步，所以觀光車從A點(diǎn)到B點(diǎn)會(huì)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)2,1的路線總數(shù)為C3（2）解；（i）除去起點(diǎn)A與終點(diǎn)B外，巴士一定會(huì)經(jīng)過(guò)7個(gè)格點(diǎn)，若游客恰好游覽了7個(gè)景點(diǎn)，說(shuō)明巴士一定不經(jīng)過(guò)AB對(duì)角線上的格點(diǎn)．所以觀光車第一步必然到達(dá)1,0或0,1格點(diǎn)，且必然從4,3或3,4到達(dá)終點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中既不會(huì)穿過(guò)AB對(duì)角線，也不會(huì)到達(dá)對(duì)角線上的格點(diǎn)，考慮對(duì)稱性，不妨先計(jì)算從格點(diǎn)1,0到達(dá)格點(diǎn)4,3，且不經(jīng)過(guò)1,0與4,3連線上方格點(diǎn)的路線總數(shù)，假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實(shí)際唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)含3個(gè)1與3個(gè)?1的序列a1，a2，…，行駛路線不經(jīng)過(guò)1,0與4,3連線上方格點(diǎn)，等價(jià)于對(duì)任意前k段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即i=1k根據(jù)題意，滿足條件的路線總數(shù)應(yīng)為C6從而從格點(diǎn)0,1到達(dá)格點(diǎn)3,4，且不經(jīng)過(guò)0,1與3,4連線上方格點(diǎn)的路線總數(shù)也為5種，因此游客游覽了7個(gè)景點(diǎn)的路線總數(shù)為10種；（ii）要保證游客能夠分別瀏覽兩個(gè)景區(qū)至少1個(gè)景點(diǎn)，即行駛路線必須穿過(guò)對(duì)角線AB，不妨先考慮只經(jīng)過(guò)AB及其右下方格點(diǎn)的行駛路線，設(shè)總數(shù)為R(n)，假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實(shí)際唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)含n個(gè)1與n個(gè)?1的序列a1，a2，…，行駛路線不經(jīng)過(guò)AB左上方的格點(diǎn)，等價(jià)于對(duì)任意前k段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即i=1k由題意R(n)=C所以行駛路線不經(jīng)過(guò)AB右下方格點(diǎn)的種數(shù)也應(yīng)為C2n則行駛路線穿過(guò)對(duì)角線AB的種數(shù)為C2n故Qn則Qn+1所以Qn+1下面進(jìn)行證明：Qn+1由于n2+n?2=n+要證Qn+1Qn=4又Q5則Qn+1Qn再證明：Qn+1要證：Qn+1Qn即證n2?9n+39≥0，而n2則Qn+1Qn綜上所述，當(dāng)n≥5時(shí)，168×19【解析】【分析】（1）分析易得從A點(diǎn)到2,1總共需要3步，向上1步，向右2步，再2,1到B點(diǎn)總共需要3步，向上2步，向右1步，結(jié)合組合知識(shí)求解即可；（