2024-2025學年安徽省高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題

（人教版）

一、單選題（本大題共8小題）

1.若復數(shù)z滿足0+i）z=i（i是虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知向量之,5的夾角為120。，"=1,BE,則（）

A.3B.7C.^3D.近

3.“0=10”是“直線依+~2=0與直線2x-5i=0互相垂直”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在空間四邊形中，點〃在棱04上，且的=2疝，N為棱8c的中點，則

MN=（）

-OA--OB+-OC--OA+-OB+-OC

A.232B.322

LOA+LOB^LOC-OA+-OB--OC

C.222D.332

5.己知尸（不乂），。（馬，%），定義dp2=）（x「yj+（y「xj為乙。兩點的“鏡像距

離”.若點尸0"）和點°（〃'T）在圓一+必=4上，則P,。兩點的“鏡像距離”是

（）

A.20或1+6B.2或2夜C.2或4D.6或4

丫2

C:—+y2=l,.?

6.已知橢圓2的右焦點為尸，過點尸的直線/與C交于45兩點，若直線

|明=￡1

/的斜率為正數(shù)，且?2，則直線/在N軸上的截距是（）

V2_V|

A.1B.-1C.2D.2

7.若對于任意實數(shù)x,不等式sin4xTsin2x-3<0恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是

（）

(-oo,-2)(-2,+oo)

A.B.

C.(-8,2)D.")

8.己知偶函數(shù)/(X)的定義域為K/(x)+/(f-2)=-2,且"0)=1,則

2025

I()

A.-2023B.-2024c.-2025D.-2026

二、多選題（本大題共3小題）

9.設％eR,對于直線/：x+?+l=0,下列說法中正確的是（）

A./的斜率為一左

B./在'軸上的截距為一1

C./不可能平行于V軸

]

D./與直線》+的+2=°的距離是7^不

10.已知0為坐標原點，deR,圓C:（x_cosey+a-sine）2=l,則（）

A.圓°恒過坐標原點0

B.圓°與圓一+/=4內(nèi)切

C,直線xcosa+Vsinc=0（aeR）與圓°相離

D.圓。的圓心在單位圓龍+?=1上運動

II.在長方體,8。一48c2中，AD=\,AB=2,44=3。為線段/c的中點，E是

DE=-DD—————

棱D2上的點，且「3I,若EO=M2+y3+z/4,則（）

Ac

1

Bx+y=0

C.EOAB=-2

16歷^

D.直線與直線CA的夾角余弦是273

三、填空題(本大題共3小題)

12.設MEW是函數(shù)/3=25X2-30X+9的零點，則tan(;r+e)的值為_

13.現(xiàn)有10名巴黎奧運會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接

連抽取3名(每次取一個)，派往參與高臺跳水項目的志愿者服務.則“恰有一名女志

愿者”的概率是.

14.過點尸(一4一6)引直線/,分別交x,＞軸的負半軸于A、8兩點，則△0/8面積的

最小值是，此時直線/的方程是.

四、解答題(本大題共5小題)

15.阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學家，以他的姓名命名的阿波

羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)的動點軌跡.已知

/(-2,。)，5(4,0),動點尸滿足函F

(1)求動點尸所在的阿波羅尼斯圓的方程；

⑵若點。(T5),求的最小值和最大值.

16.記V/2C內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。，b,c,已知任=同,

sin2A+sin2B-sin2C=亞sinsinB

(1)求角5的大??；

(2)若角B為銳角，且V48C的面積為3+g，求。的邊長.

一+a=1（。＜6＜2）

17.已知橢圓4b2的左、右焦點分別為九,點尸在橢圓上，且直線

尸鳥與x軸垂直.

⑴證明：附=

(2)若/耳質(zhì)的角平分線恰好過點?°,求△尸耳片的面積.

18.如圖，在四棱錐中，底面/BCD為平行四邊形，NDAB=60。,

AB=2AD,PA，底面N2C，

(1)證明：PALBD.

⑵若PD=AD,求二面角/一尸B-C的余弦值.

19.法國數(shù)學家蒙日在研究橢圓時發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在

一個與橢圓同心的圓上.這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，此結論一般稱為蒙日圓定理.

22

6二+匕=1

(1)求橢圓32的蒙日圓方程；

/y2

(2)對于橢圓0/十記一1(">">°),。是橢圓。的中心，點,(x。/。)是橢圓C的蒙日

圓上一點，PM,兩分別切橢圓C于點M,N,且切點弦"N所在的直線方程是

V.JV=1

a2b2

(i)證明：°尸平分切點弦〃乂；

(ii)若延長尸河，PN,分別交橢圓°的蒙日圓于點S,T,證明

答案

1.【正確答案】A

ii(i-i)iL

【詳解】由0+i)z=i得，"l+i-2-5+9.z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限

故選:A.

2.【正確答案】D

,L-ZJI=lai-2a-Z?+|z?|=l-2xlx2xcosl20°+4=7\a-b\-V7

【詳解】II□??,11

故選：D.

3.【正確答案】A

［詳解］當。=1°時，直線1°龍+4了-2=0與直線2x-5y+6=0中，10x2+4x(-5)=0

它們互相垂直，

當直線°x+4y-2=0與直線2x-5y+6=0互相垂直時，2a+4x(-5)=0,。=1。，

所以=10”是“直線"x+4y-2=°與直線2x-5y+6=°互相垂直”的充要條件.

故選：A

4.【正確答案】B

【詳解】解：連接ON,

痂年一病4伊+反＞軻一汐+：礪+冊

故選：B.

5.【正確答案】C

【詳解】由題意得加=±百，〃=±6,

有四種情形：

P(1,V3)2(73,-1)4量(1+埒+他⑹=2.

P(L6)上，T)%="1+1)2+a+6)=4.

pQ,Y)e(V3,-i)dp"(i+q+M一國=4.

一句e(^V3,-1)%=J(l+iy+M+⑸=2

故選：c.

6.【正確答案】D

［詳解］設,：x=@+1,N,必）,3（%，%）,

［x2+2y2=2

聯(lián)立［x=@+l，消去x化簡整理得6+2?2+2如T=0

2k1

所以乂+%=一^條=一一，

/?\AB\=^=&+二|乂一%|=dl+k2飛（%+力》一4ylyz

于是2

=yjl+k2?2kI-4（~1=Jl+k2?

F+2人2+2雪“。)

解得無=也,

故直線/的方程為x-亞y-i=°,

_V2V2

y=------

令無=0,解得.2,所以直線/在〉軸上的截距為2,

故選：D.

【詳解】由原不等式得，fsin2x>sin4x-3,

(1)sinx=0時，0>-3,不等式成立，teR,

?2。

t>sinx----------z—

(2)當sinxwO時，sinx,

f(x)=sin2x-----

則原問題轉化為求函數(shù)sin2%的最大值問題，

.f(x\=h(nT\=m--

令sin7x=m，貝(j加，其中0<mWl,

因為W"一蔡在(QU單調(diào)遞增，所以3晨="1)=-2,因此2,

綜合(1)、(2)可知，實數(shù)’的取值范圍是(一2,+8).

故選：B.

8.【正確答案】C

【詳解】/(X)+/(*2)=-2,又>=/(x)是偶函數(shù)，則"f-2)="x+2),

可得/(x)+"x+2)=-2,令x為x+2,

則/(X+2)+"X+4)=-2,因此/(x)=/(x+4),所以/(x)周期為4.

因為/(°)+/(2)=一2,所以"2)=-3

又因為"T)+/0)=一2,所以“I)一

因為八1)+"3)=-2,所以〃3)=-1.

2025

X/G）=-4X506+/（2025）=-2024+/（1）=-2025

于是/。)+“2)+/(3)+/(4)=-4

左=1

故選：C.

9.【正確答案】BD

【詳解】左NO時，/的斜率為一不，左=。時，直線/的斜率不存在，A錯.

在x+@+l=0中，令y=0,貝|X=_1.B對.

當左=0時，直線/：x+l=0,平行于＞軸，c錯.

1I1

/與直線工+什+2=°的距離是互不Vi丁.D對.

故選：BD.

10.【正確答案】ABD

【詳解】對于A,(0,。)滿足C：(x-cosd)2+G-sine)2=l,所以人對.

對于B,兩圓的圓心距是1,1=2—1=R—r,所以B對.

對于C,圓C的圓心到直線xc°sa+ysin[=°的距離

Icos0cosa+sin0sina\?/

d=J~/2.2I=卜。s—h1

Icosa+sina，所以C錯.

對于D,圓0的圓心(cosasin。)的坐標滿足方程/+/=],所以口對.

故選:ABD.

11.【正確答案】ABD

W=DO-DE=-（I5A+DC'）--AA.=-AB--AD--AA.

【詳解】因為2、/3I2231*

112

x=—y=——z=——

所以2,2,3

因此A、B對.

因為ZB_LAD,AB_LAXA

死刀」;益一而一石

所以C錯.

EOCDX=瓜萍:頒

因為

1—?—?1-21—?—?1—?—?2--22—-—>

=-ABAA,——AB——AD-AA+-ADAB——AAx+-AA-AB

222}233

1--22--212

=——AB——44=一一X4——x9=-8

2323.

1--21--24--211―?—?12—?—?12—?―?

-AB+-AD+-AA-2X-X-AB-AD-2X-X-AB-AA+2X-X-AD-AA

449122231231

1——-21-----24-----221

=-AB+-AD+-AA

4491了,

2-----?2-----、2

R=AB+AAi=13

167273

cos麗,E=—

V21內(nèi)273

------7

所以2

直線E。與直線CD、的夾角余弦是273.所以D對.

故選：ABD.

_3

12.【正確答案】4

3

【詳解】由25/一30x+9=0得，5.

cos佟-e]=sine=：<p&\^-,7t\

即0）5,而（2人

43

cos0=——tan（萬+0）=tan（27=—

所以5.故I”4.

_3

故答案為.4

7

13.【正確答案】15

【詳解】設4,4,4分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件,

7

45,

7777

尸(4+4+4)=------1------+一

因此“恰有一名女志愿者”的概率為45454515

7

故答案為.不

14.【正確答案】483x+2y+24=°

x2.-1

【詳解】設4。，0),其中。，b<0,則直線/的方程為丁+石一

.??P(T-6)在直線/上，-°+占J

又ab\abgp>96,2

所以1L*a)S)=>"8,

-4-6-4-6,

當且僅當ab時取等號，再結合ab解得，。=-8,6=-12,

所以V/BC面積的最小值為48,

此時直線/的方程為-8-12

即3x+2>+24=0

故答案為.48,3x+2y+24=°

15.【正確答案】(i),+/+8x=°

(2)最小值是岳-4,最大值是后+4.

22222

gp4(x+2)+4j=(x-4)+/；整理得，x+y+8x=0

故動點尸所在的阿波羅尼斯圓的方程為/+/+舐=0.

(2)x2+/+8x=0就是(x+4)+^=16,其半徑是4,

圓心是M(-4,0),|°閘=疝?=疝

顯然。(-3,5)在圓外，故|尸。|的最小值是后-4,最大值是A+4.

B=-B=—

16.【正確答案】（1）3或3

（2）2^2

【詳解】（1）設VN8C的外接圓半徑為R,

由sin2A+sin2B-sin2C-y/2sinAsinB得a2+b2-c2=6ab,

72

cosC=

于是2ab2,

CJ

因為）所以sinC=—

C?0/,-4,2

因為岳=揚，且c=2RsinC,b=2RsinB,

sinB=—

所以百sinC=V2sinB2

n_71n_2兀

因為8e（O,n）,故一3或一行

1J——

（2）由題意可知，3,

2

SAABC=—absmC=—■27?sin^4-27?sinB-sinC=27?sin—?sin—■sin—

因為221234,

si*=siQ+士且反+與L蚪立

（）

且124622224

3+百=2屋'也心.克

所以422,解得R=2,

亞

c=2/?sinC=4x—=2A/2

故2

17.【正確答案】（1）證明見解析

3

（2）2

【詳解】（1）由橢圓的定義得附|+|*=24=4,

因為直線尸耳與X軸垂直，所以附「-因「=4。2=4（4-

即（|閡+|明）0即|-|明）=%2=4（4-

故附H叫=4

1

⑵因為尸。平分4也所以|明，即4,如下圖所示:

由附|+|%=4和附卜1%=已解得附上9+2,|*=2-

11.1

I0/7I—He-C2+2—FC

毆11_4_2_____=4_

\PFA~1912-1

I2|c——2——CC——

代入4得24,解得c=l；

故人3心的面積為2一V2J22.

18.【正確答案】(1)證明見解析

2療

⑵7.

【詳解】(1)因為/。/8=60。，AB=2AD,

由余弦定理得BDMAD,從而瓦y+/》=/82,因此

又尸。_L底面/BCD,5Z)u底面ABCD,所以而么小9=0,所以

2。)平面PAD.又P/u平面PAD,故P/18D

(2)如圖，以D為坐標原點，直線DA、DB、DP分別為x軸、V軸、z軸，

建立空間直角坐標系。一統(tǒng).不妨設尸。=。/=1,則41,0,0),'@，魚0),C(-l，73.0),

P(0,0,l).

9=C，G,0)麗=G，技-1)5C=(-1,0,0)

設力=(x/,z)為平面尸的法向量，

-x+=0

<

貝ij￡方=3?而=0,即［百y_z=o,

得到k=(6'1'6).

同理可得平面MC的法向量〃?=(°，-1，-6)

一一n-m-4277

cos~：~~；r=~j=--

于是同?同2e7

由圖形可知，二面角/一尸3-C為鈍角,

277

故二面角N-PB-C的余弦值為一〒.

B"

19.【正確答案】⑴x2+「=5

（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【詳解】（1）考慮邊與橢圓后長軸和短軸分別平行的矩形知，其對角線之半就是蒙日圓

的半徑，即屈^=君，因此橢圓E的蒙日圓方程為x2+,=5

（i）設點。是切點弦"N的中點，叫外乃），、@,必）.

/+K

22

互+及=1

當后。，總都存在時,[a2b2

（石+天）（西一毛）?（必+歹2）（乂一）2）

=0

兩個方程相減得,a2