～學(xué)年度第一學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)考試時(shí)間：分鐘滿分：分注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷（選擇題共分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1.對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線傾斜角為B.直線經(jīng)過第四象限C.直線在軸上的截距為D.直線的一個(gè)方向向量為【答案】D【解析】【分析】由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可判斷A；令，求出直線過點(diǎn)可判斷B和C；根據(jù)直線過兩點(diǎn)，可求得兩點(diǎn)間的向量，判斷所得向量是否與向量共線可判斷D.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，對(duì)于A，直線的斜率為，所以，則，故A錯(cuò)誤；第1頁(yè)/共21頁(yè)對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即直線過點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B知，直線在軸上的截距為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即直線過點(diǎn)，則，所以直線的一個(gè)方向向量為，故D正確.故選：D.2.已知是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，且平面平面，則向量在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判斷，求得，，可得，再根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，且平面平面，所以得，則，得，，所以所以在上的投影向量為，故選：B3.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，直線AF與l交于點(diǎn)B，則（）第2頁(yè)/共21頁(yè)A.1B.C.D.2【答案】A【解析】在CA作lH，l與x軸交于點(diǎn)G，有，所以為中點(diǎn)，可求.【詳解】由在上，有，得，所以，，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)G，則，有，又，所以為中點(diǎn)，有，．故選：A．4.已知圓與直線，若平分圓的面積，則的最小值為（）A.1B.3C.9D.18【答案】C【解析】【分析】由平分圓的面積，所以直線l過圓的圓心，得，再利用不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠椒謭A的面積，所以直線l過圓的圓心，即，第3頁(yè)/共21頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，進(jìn)而可得，代入目標(biāo)式求正切值即可.【詳解】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算．由，故，則，所以．故選：B6.在四面體中，為的重心，在上，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，根據(jù)重心性質(zhì)得到，再根據(jù)為的中點(diǎn)，求出.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，?頁(yè)/共21頁(yè)則，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，故.故選：B7.阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年）提出了許多新的性質(zhì)．其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn)．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，利用雙曲線的定義、勾股定理可得方程，解得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，第5頁(yè)/共21頁(yè)所以，又，所以，解得或所以，則，則.故選：C.8.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)：若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，整理得，根據(jù)二次函數(shù)分析可得，進(jìn)而求出離心率得取值范圍.【詳解】由題意可設(shè)：，則令，則，當(dāng)，則，第6頁(yè)/共21頁(yè)當(dāng)，即時(shí)，可知在上的最小值為，則題意：當(dāng)，即時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為，符合題意；綜上所述：.可得橢圓的離心率.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.C.直線的斜率滿足D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得：，將選項(xiàng)涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判斷即可.【詳解】設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線斜率不為，設(shè)直線方程為，直線與拋物線聯(lián)立有：，整理有：，根據(jù)韋達(dá)定理有：，第7頁(yè)/共21頁(yè)所以；因?yàn)?，根?jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，，所以A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋?，所以，所以，所以C正確；因?yàn)?，，所以，所以D正確.故選：BCD10.在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B.是等方差數(shù)列C.若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D.若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，如，第8頁(yè)/共21頁(yè)則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，，，，，，，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，，，，，，將這k個(gè)式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，屬于中檔題.2的正方體的外接球的球心為OEF分別為棱AB、G在棱BC上，則（）A.對(duì)于任意點(diǎn)G，平面EFGB.存在點(diǎn)G，使得平面EFGC.直線EF被球O截得的弦長(zhǎng)為第9頁(yè)/共21頁(yè)D.過直線EF的平面截球O所得的截面圓面積的最小值為【答案】BCD【解析】AB為平面C出球心到EF的距離，利用垂徑定理求解；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)中的求解得到球心O到截面的距離，從而求出截面面積最小值.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與重合時(shí)，平面，平面，此時(shí)直線與平面相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，則，因平面，平面，則，因?yàn)?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，，因?yàn)?，平面，所以平面，即平面，B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，所以，同理可得，則.因?yàn)槠矫妫矫?，則，所以，，則，第10頁(yè)/共21頁(yè)球的半徑為，所以直線被球截得的弦長(zhǎng)為，C正確；設(shè)截面圓半徑為，球心到截面的距離為，則.因?yàn)?，則，所以截面圓面積，即截面圓面積的最小值為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系確定線面的位置關(guān)系，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)及截面面積的最小值.第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分．12.已知空間中有三點(diǎn)，則A到直線的距離為__．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用向量法求點(diǎn)線距離即可.【詳解】由題設(shè)，則A到直線的距離.故答案為：13.和數(shù)列的公和，設(shè)等和數(shù)列的公和為2，前項(xiàng)和為，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，分組求和，從而可求出.第11頁(yè)/共21頁(yè)，．故答案為：.14.已知橢圓的左焦點(diǎn)為FC交于MN的最小值為，則C的焦距為______．【答案】【解析】的右焦點(diǎn)為橢圓的定義得，即，則利用基本不等式得到的最小值為，根據(jù)已知條件得到，求出的值，利用公式求出的值，由C的焦距為，從而求出焦距的值．【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，即，又，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又的最小值為，則，解得，則，即C的焦距為．故答案為：.第12頁(yè)/共21頁(yè)四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】1而寫出圓的方程；（2l與圓C的距離【小問1詳解】由題意，設(shè)圓心，圓經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切，所以，化簡(jiǎn)得，解得，則圓心，半徑，所以圓的方程為．【小問2詳解】由題意，直線l與圓C的距離，若斜率不存在，即，顯然滿足要求；第13頁(yè)/共21頁(yè)直線l的方程為或．16.對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的首項(xiàng)是1，且滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)及的通項(xiàng)公式直接計(jì)算可得；（2）由題得，進(jìn)而得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問1詳解】依題意，且，所以；【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以．所以，且，故是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.17.已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求的方程；第14頁(yè)/共21頁(yè)（2）過雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)分別作兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：平行四邊形的面積為定值，并求出該定值．【答案】（1）（2）證明見解析，定值1【解析】1）根據(jù)離心率的概念，將點(diǎn)代入雙曲線方程，建立方程組，解之即可求解；（2）由（1）求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和平行四邊形的面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合即可證明.【小問1詳解】由已知可得，所以，又因?yàn)?，得①；將點(diǎn)代入雙曲線方程，得②，聯(lián)立①②得，所以，所以雙曲線方程為：．【小問2詳解】由（1）得雙曲線漸近線方程為，，設(shè)，則，，聯(lián)立和，解得交點(diǎn)，則平行線和之間的距離，則平行四邊形的面積第15頁(yè)/共21頁(yè)由于在雙曲線上，則，所以，所以平行四邊形的面積為定值1.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.（3）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的正弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，為線段的中點(diǎn).【解析】第16頁(yè)/共21頁(yè)（2的一個(gè)法向量為求出t計(jì)算即可得解；（3）求出平面的一個(gè)法向量為，接著求出，假設(shè)存在點(diǎn)使得平面與平面所成角的正弦值為，再利用求出t有符合的解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，所以即；【小問2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，由（1），又直線與平面所成角為所以，所以，又由（1）可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.小問3詳解】第17頁(yè)/共21頁(yè)顯然平面的一個(gè)法向量為，則，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的正弦值為，則（舍去）或，所以存在點(diǎn)使得平面與平面所成角的正弦值為，為線段的中點(diǎn).19.已知橢圓離心率為點(diǎn)在橢圓上，直線與x軸交于點(diǎn)B.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)B的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)（C在DAC，AD分別與直線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AC，AD的斜率記為.①求證：為定值；②點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，若求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】1）根據(jù)離心率的值和橢圓上一點(diǎn)求得，進(jìn)而求得橢圓方程即可.第18頁(yè)/共21