廣東省龍城高級中學2026屆高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.452．若數列等差數列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.3．設函數在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A. B.1C.2 D.45．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.6．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數關系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4007．關于x的方程在內有解，則實數m的取值范圍（）A. B.C. D.8．與的等差中項是（）A. B.C. D.9．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.10．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.11．已知數列的前項和，且，則（）A. B.C. D.12．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集是________.14．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.15．已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是該雙曲線右支上一點，且（O為坐標原點），，則雙曲線C的離心率為__________16．橢圓的焦距為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯盟”統一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數；(每組數據用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，當以為始邊，為終邊的角時，.（1）求的方程（2）過點的直線交于兩點，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點，線段交于點，求的面積與的面積的比值19．（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統計數據如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數據可知，可用線性回歸模型擬合與關系．請用相關系數加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數據：，，20．（12分）設等差數列的前n項和為，已知（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值21．（12分）證明：是無理數．（我們知道任意一個有理數都可以寫成形如（m，n互質，）的形式）22．（10分）在數列中，，，記.（1）求證：數列為等差數列，并求出數列的通項公式；（2）試判斷數列的增減性，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：2、B【解析】令、可得等差數列的首項和第三項，即可求出第五項，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數列的公差為，所以，解得，故選：B.3、C【解析】根據目標式，結合導數的定義即可得結果.【詳解】.故選：C4、C【解析】直接運用正弦定理可得，解得詳解】由正弦定理，得，所以故選：C5、B【解析】根據題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B6、B【解析】對題設函數求導，再求時對應的導數值，即可得答案.【詳解】由題設，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B7、A【解析】當時，顯然不成立，當時，分離變量，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】當時，可得顯然不成立；當時，由于方程可轉化為，令，可得，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實數m的取值范圍.故選：A.8、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選：A9、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C10、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D11、C【解析】由an=Sn-Sn-1,【詳解】解：因為，所以，，兩式相減可得，即，因為，，所以，即，時，也滿足上式，所以，所以，故選：C.12、D【解析】根據給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】把原不等式的右邊移項到左邊，通分計算后，根據分式不等式解法，然后轉化為兩個一元一次不等式組，注意分母不為0的要求，求出不等式組的解集即為原不等式的解集【詳解】不等式得，故，故答案為：.14、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進行轉化，,再將轉化為，以及將轉化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因為，又，所以，，則.故答案為：2.【點睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉化的目標，從而得解.15、【解析】由已知及向量數量積的幾何意義易知，根據雙曲線的性質可得，再由雙曲線的定義及勾股定理構造關于雙曲線參數的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線C的離心率為故答案為：.16、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設焦距為，則，則焦距故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平均值為74.6分，中位數為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數和中位數算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設直線的方程為，聯立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據，求得，設，得到，進而求得，因為為的中點，求得，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，拋物線，可得其準線方程，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，因為時，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：由拋物線，可得，設，因為直線的直線過點，設直線的方程為聯立方程組，整理得，可得，則，因為為的中點，所以，由拋物線的定義得，設圓與直線相切于點，因為交于點，所以且，所以，即，解得，設，則，且，可得，因為，所以點為的中點，所以，又因為為的中點，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.19、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據相關系數公式計算出相關系數可得結果；（2）根據公式求出和可得關于的線性回歸方程，再代入可求出結果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結合參考數據知：因為與的相關系數近似為0.99，所以與的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系（2）∵，∴∴關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設備使用8年的失效費為6.3萬元20、（1）（2）10【解析】（1）由等差數列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據新定義求得，然后分組，結合等差數列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設等差數列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當時，因為，則.當時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以21、詳見解析【解析】利用反證法，即可推得矛盾.【詳解】假設有理數，則，則，為整數，的尾數只能是0,1,4,5,6,9，的尾數只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數是0,2,8，由得，尾數為