2025年高三數(shù)學(xué)期末踵事增華卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三（1）班

2025年高三數(shù)學(xué)期末踵事增華卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z^2=1，則z的模長(zhǎng)為

A.1

B.-1

C.2

D.√2

3.拋擲兩個(gè)公平的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

4.已知函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為

A.3

B.-3

C.2

D.-2

5.不等式|3x-2|<5的解集是

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-1/3,7/3)

D.(-7/3,1/3)

6.已知圓O的方程為x^2+y^2=4，則過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線(xiàn)方程是

A.x+y=2

B.x-y=0

C.x+y=0

D.x-y=2

7.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，則S_5的值為

A.31

B.63

C.127

D.255

8.已知直線(xiàn)l1:ax+2y-1=0與直線(xiàn)l2:x+(a+1)y+4=0平行，則a的值為

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，則向量a與向量b的夾角余弦值為

A.-7/5

B.7/5

C.-5/7

D.5/7

10.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)C在直線(xiàn)x+y=1上，則△ABC面積的最小值是

A.1/2

B.√2/2

C.1

D.√3/2

11.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則a的值為

A.1

B.-1

C.e

D.-e

12.已知橢圓x^2/9+y^2/4=1的焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離是

A.5/3

B.3/5

C.4/3

D.3/4

13.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時(shí)極限存在且為-∞，則a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

14.已知三棱錐A-BCD的底面BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3，則三棱錐A-BCD的體積是

A.3√3/2

B.3√3

C.6√3/2

D.6√3

15.已知函數(shù)f(x)=x^4-4x^2+3，則f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π/4,0)，且周期為π，則φ的值為_(kāi)_________。

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^4的虛部為_(kāi)_________。

3.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有1名女生的選法共有__________種。

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得極值，則a+b的值為_(kāi)_________。

5.不等式|2x-1|>x+1的解集是__________。

6.已知圓O的方程為x^2+y^2=9，則過(guò)點(diǎn)(2,1)的切線(xiàn)方程是__________。

7.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_n=a_{n-1}+3，則S_10的值為_(kāi)_________。

8.已知直線(xiàn)l1:3x+ay-2=0與直線(xiàn)l2:x-2y+4=0垂直，則a的值為_(kāi)_________。

9.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，則向量a與向量b的夾角正弦值為_(kāi)_________。

10.已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(1,-1)，點(diǎn)C在直線(xiàn)y=x上，則△ABC面積的最大值是__________。

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是

A.y=-2x+1

B.y=x^2

C.y=log_2(x)

D.y=e^(-x)

2.下列命題中，正確的是

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a^2>b^2，則a>b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則√a>√b

3.下列曲線(xiàn)中，離心率大于1的是

A.橢圓x^2/9+y^2/4=1

B.雙曲線(xiàn)x^2/4-y^2/9=1

C.拋物線(xiàn)y^2=8x

D.橢圓9x^2+4y^2=36

4.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=e^x

D.y=sin(x)

5.下列關(guān)于三棱錐的敘述中，正確的是

A.三棱錐的體積是底面積乘以高的一半

B.三棱錐的四個(gè)面都是三角形

C.三棱錐的任意三個(gè)頂點(diǎn)不共線(xiàn)

D.三棱錐的對(duì)角線(xiàn)互相垂直

6.下列關(guān)于數(shù)列的敘述中，正確的是

A.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=a_1+(n-1)d

B.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=a_1q^(n-1)

C.數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n可以表示為a_n的函數(shù)

D.數(shù)列的極限存在當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列收斂

7.下列關(guān)于向量的敘述中，正確的是

A.向量的模長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)

B.向量的方向可以表示為角度

C.向量的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律

D.向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量的模長(zhǎng)和它們夾角余弦的乘積

8.下列關(guān)于解析幾何的敘述中，正確的是

A.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

B.橢圓的焦點(diǎn)到中心的距離是c=√(a^2-b^2)

C.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y=±(b/a)x

D.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是p/2

9.下列關(guān)于概率的敘述中，正確的是

A.概率的取值范圍是[0,1]

B.概率是事件發(fā)生的可能性大小

C.概率可以用來(lái)預(yù)測(cè)事件發(fā)生的頻率

D.概率的加法公式是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

10.下列關(guān)于極限的敘述中，正確的是

A.極限是函數(shù)值的變化趨勢(shì)

B.極限存在當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)值無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)

C.極限可以用來(lái)研究函數(shù)的連續(xù)性

D.極限的運(yùn)算是數(shù)學(xué)分析的基本工具

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,2π]上是單調(diào)遞減的。

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z^2=-1，則z是純虛數(shù)。

3.從n個(gè)不同元素中選出k個(gè)元素的組合數(shù)記作C(n,k)，則C(n,k)=C(n,n-k)。

4.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，則f'(c)必為0。

5.不等式|2x-3|<5的解集是(-1,4)。

6.已知圓O的方程為x^2+y^2=r^2，則過(guò)圓心O的任意直線(xiàn)都是圓的切線(xiàn)。

7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n是關(guān)于n的二次函數(shù)。

8.若向量a與向量b共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)k使得a=kb。

9.已知直線(xiàn)l1:ax+by+c=0與直線(xiàn)l2:mx+ny+p=0垂直，則a*m+b*n=0。

10.若函數(shù)f(x)在x→∞時(shí)極限存在且為L(zhǎng)，則f(x)在x→-∞時(shí)極限也存在且為L(zhǎng)。

五、問(wèn)答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，并判斷極值的類(lèi)型（極大值或極小值）。

2.已知橢圓x^2/16+y^2/9=1，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程。

3.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=S_n+1，求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a_n。

試卷答案

一、選擇題

1.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是sin(x)和cos(2x)的最小正周期的最小公倍數(shù)。sin(x)的最小正周期是2π，cos(2x)的最小正周期是π。因此，f(x)的最小正周期是π。

2.A

解析：復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z^2=1，則z可能是1或-1。無(wú)論是1還是-1，其模長(zhǎng)都是1。

3.A

解析：拋擲兩個(gè)公平的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種?？偣灿?×6=36種可能的組合。因此，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是6/36=1/6。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3ax^2-3。因此，3a(1)^2-3=0，解得a=1。

5.C

解析：不等式|3x-2|<5可以轉(zhuǎn)化為-5<3x-2<5。解得-3<3x<7，即-1/3<x<7/3。

6.A

解析：圓O的方程為x^2+y^2=4，圓心在原點(diǎn)(0,0)，半徑為2。過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線(xiàn)方程可以用點(diǎn)斜式，即y-1=k(x-1)。由于是切線(xiàn)，所以判別式Δ=0。代入圓的方程得到(1+k)^2=4，解得k=1或k=-3。因此，切線(xiàn)方程為y-1=(x-1)或y-1=-3(x-1)，即x+y=2或3x+y=4。但只有x+y=2滿(mǎn)足過(guò)點(diǎn)(1,1)。

7.C

解析：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1。可以遞推得到a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31。因此，S_5=1+3+7+15+31=57。

8.B

解析：直線(xiàn)l1:ax+2y-1=0與直線(xiàn)l2:x+(a+1)y+4=0平行，則它們的斜率相等。l1的斜率是-a/2，l2的斜率是-1/(a+1)。因此，-a/2=-1/(a+1)，解得a=2。

9.D

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-1)。向量a與向量b的夾角余弦值為(a·b)/(|a||b|)。a·b=1×3+2×(-1)=1，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-1)^2)=√10。因此，cosθ=1/(√5×√10)=1/(√50)=1/(5√2)=√2/10=5/7。

10.A

解析：點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)C在直線(xiàn)x+y=1上。設(shè)C(x,1-x)。△ABC的面積可以用向量法計(jì)算，即S=1/2|向量AB×向量AC|。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AC=(x-1,1-x-2)=(x-1,-x-1)。向量AB×向量AC=2(-x-1)-(-2)(x-1)=-2x-2+2x-2=-4。因此，S=1/2|-4|=2。但需要最小值，所以需要找到C點(diǎn)使得面積最小。通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C點(diǎn)在直線(xiàn)AB上時(shí)，面積最小，此時(shí)C點(diǎn)為(2,-1)，面積為1/2。

11.A

解析：函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則f'(0)=0。f'(x)=e^x-a。因此，e^0-a=0，解得a=1。

12.C

解析：橢圓x^2/9+y^2/4=1的半長(zhǎng)軸a=3，半短軸b=2。焦點(diǎn)到中心的距離c=√(a^2-b^2)=√(9-4)=√5。右準(zhǔn)線(xiàn)的方程是x=a^2/c=9/√5=9√5/5。焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離是9√5/5-3=6√5/5=4/3。

13.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時(shí)極限存在且為-∞，則a>1。因?yàn)楫?dāng)0<a<1時(shí)，log_a(x+1)在x→-1時(shí)極限為+∞。

14.A

解析：三棱錐A-BCD的底面BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3。底面面積S_BCD=√3/4×2^2=√3。三棱錐A-BCD的體積V=1/3×S_BCD×h=1/3×√3×3=√3/2。

15.C

解析：函數(shù)f(x)=x^4-4x^2+3，f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)。令f'(x)=0，解得x=0，x=√2，x=-√2。f''(x)=12x^2-8。f''(0)=-8<0，f''(√2)=24>0，f''(-√2)=24>0。因此，f(x)在x=0處取得極大值，在x=√2和x=-√2處取得極小值。極值點(diǎn)個(gè)數(shù)是3。

二、填空題

1.-π/2

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π/4,0)，且周期為π，則ω=2。因此，sin(2×π/4+φ)=0，即sin(π/2+φ)=0。解得φ=-π/2。

2.0

解析：復(fù)數(shù)z=1+i，則z^4=(1+i)^4=(1+i)^2^2=(2i)^2=-4。虛部為0。

3.40

解析：從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有1名女生的選法共有C(9,3)-C(5,3)=84-10=74種。但需要至少1名女生，所以是C(9,3)-C(5,3)=84-10=74種。

4.-4

解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1處取得極值，則f'(1)=0，f'(-1)=0。f'(x)=3x^2-2ax+b。因此，3-2a+b=0，3+2a+b=0。解得a=0，b=-3。因此，a+b=-3。

5.(-∞,-1)

解析：不等式|2x-1|>x+1可以轉(zhuǎn)化為兩部分：2x-1>x+1或2x-1<-(x+1)。解得x>2或x<0。因此，解集是(-∞,-1)∪(2,+∞)。但題目要求的是交集，所以是(-∞,-1)。

6.x-y-1=0

解析：圓O的方程為x^2+y^2=9，圓心在原點(diǎn)(0,0)，半徑為3。過(guò)點(diǎn)(2,1)的切線(xiàn)方程可以用點(diǎn)斜式，即y-1=k(x-2)。由于是切線(xiàn)，所以判別式Δ=0。代入圓的方程得到(2+2k)^2+(1+k)^2=9，解得k=-1。因此，切線(xiàn)方程為y-1=-(x-2)，即x+y-3=0。

7.150

解析：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_1=2，a_n=a_{n-1}+3?？梢赃f推得到a_2=5，a_3=8，...，a_10=2+3×(10-1)=29。S_10=(2+29)×10/2=155。

8.-6

解析：已知直線(xiàn)l1:3x+ay-2=0與直線(xiàn)l2:x-2y+4=0垂直，則3×1+a×(-2)=0，解得a=3/2。因此，a=-6。

9.√10/10

解析：向量a=(2,-1)，b=(-1,3)。向量a與向量b的夾角正弦值為|a×b|/(|a||b|)。a×b=2×3-(-1)×(-1)=6-1=5。|a|=√(2^2+(-1)^2)=√5，|b|=√((-1)^2+3^2)=√10。因此，sinθ=5/(√5×√10)=5/(√50)=5/(5√2)=1/√2=√2/2。

10.√2

解析：點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(1,-1)，點(diǎn)C在直線(xiàn)y=x上。設(shè)C(x,x)。△ABC的面積可以用向量法計(jì)算，即S=1/2|向量AB×向量AC|。向量AB=(1-2,-1-3)=(-1,-4)，向量AC=(x-2,x-3)。向量AB×向量AC=-1(x-3)-(-4)(x-2)=-x+3+4x-8=3x-5。因此，S=1/2|3x-5|。需要最大值，所以需要找到C點(diǎn)使得面積最大。通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C點(diǎn)在直線(xiàn)AB上時(shí)，面積最大，此時(shí)C點(diǎn)為(5/3,5/3)，面積為√2。

三、多選題

1.B,C

解析：y=x^2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=log_2(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=-2x+1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=e^(-x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減。

2.C,D

解析：若a>b，則1/a<1/b。若a>b，則√a>√b。

3.B

解析：雙曲線(xiàn)x^2/4-y^2/9=1的離心率e=√(1+9/4)=√(13/4)>1。橢圓x^2/9+y^2/4=1的離心率e=√(1-4/9)=√(5/9)<1。拋物線(xiàn)y^2=8x的離心率e=2>1。橢圓9x^2+4y^2=36的離心率e=√(1-4/9)=√(5/9)<1。

4.B,C,D

解析：y=x^3在x=0處可導(dǎo)。y=e^x在x=0處可導(dǎo)。y=sin(x)在x=0處可導(dǎo)。y=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

5.A,B,C

解析：三棱錐的體積是底面積乘以高的一半。三棱錐的四個(gè)面都是三角形。三棱錐的任意三個(gè)頂點(diǎn)不共線(xiàn)。

6.A,B,C,D

解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=a_1+(n-1)d。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=a_1q^(n-1)。數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n可以表示為a_n的函數(shù)。數(shù)列的極限存在當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列收斂。

7.A,C,D

解析：向量的模長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)。向量的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量的模長(zhǎng)和它們夾角余弦的乘積。

8.A,B,C,D

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。橢圓x^2/16+y^2/9=1的焦點(diǎn)到中心的距離是c=√(16-9)=√7。雙曲線(xiàn)x^2/4-y^2/9=1的漸近線(xiàn)方程是y=±(3/2)x。拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是p/2。

9.A,B,C,D

解析：概率的取值范圍是[0,1]。概率是事件發(fā)生的可能性大小。概率可以用來(lái)預(yù)測(cè)事件發(fā)生的頻率。概率的加法公式是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

10.A,B,C,D

解析：極限是函數(shù)值的變化趨勢(shì)。極限存在當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)值無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)。極限可以用來(lái)研究函數(shù)的連續(xù)性。極限的運(yùn)算是數(shù)學(xué)分析的基本工具。

四、判斷題

1.錯(cuò)誤

解析：函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,π/2]上是單調(diào)遞減的，但在區(qū)間[π/2,3π/2]上是單調(diào)遞增的。

2.正確

解析：復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z^2=-1，則z可能是i或-i。i和-i都是純虛數(shù)。

3.正確

解析：從n個(gè)不同元素中選出k個(gè)元素的組合數(shù)記作C(n,k)，則C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)=(n×(n-1)×...×(n-k+1))/k!=n×(n-1)×...×(n-k+1)×(k-1)!/k!=n!/(k!(n-k)!)=C(n,n-k)。

4.錯(cuò)誤

解析：若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值，則f'(c)可能為0，也可能不存在。例如，f(x)=|x|在x=0處取得極值，但f'(0)不存在。

5.錯(cuò)誤

解析：不等式|2x-3|<5可以轉(zhuǎn)化為-5<2x-3<5。解得-2<2x<8，即-1<x<4。

6.錯(cuò)誤

解析