試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2026通中創(chuàng)新班選拔考試真題——數(shù)學(xué)一、選擇題1．一組不完全相等的數(shù)據(jù)，，，……，其平均數(shù)為，則在數(shù)據(jù)，，，……，，中，方差、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)一定改變的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．42．已知，．則（

）A． B． C． D．3．一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋4次，其中沒有兩次連續(xù)正面向上的概率為（

）A． B． C． D．4．我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)為（

）A．1035 B．369 C．365 D．755．如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知的三條中線長分別為6，8，10，則的面積為（

）A．48 B．36 C．32 D．287．如圖，與軸交于點，，與軸交于點，，點在圓上，且，點為圓上一動點，為弦上一點，且．若點的坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．我們定義：若（其中為整數(shù)），我們把叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作．設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．．10．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．11．若正實數(shù)滿足，則．12．已知實數(shù)，，滿足，，且，則的值為．13．如圖，在扇形中，點，在弧AB上，將弧CD沿弦折疊后恰好與，相切于點，．已知，，則折痕的長為．14．如圖，在中，是的中點，的角平分線交于點，交于點，若，，則的周長為．

15．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與直線交于，兩點，若，，則的值為．16．已知是滿足的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解，且整數(shù)的所有可能的值為．三、解答題17．解下列方程：(1)；(2)．18．兩個運輸小隊分別從兩個倉庫以相同的工作效率調(diào)運一批物資，兩隊同時開始工作．第二小隊工作5天后，由于技術(shù)問題檢修設(shè)備5天，為趕上進(jìn)度，再次開工后他們將工作效率提高到原先的2倍，結(jié)果和第一小隊同時完成任務(wù)．在兩隊調(diào)運物資的過程中，兩個倉庫物資的剩余量yt與第一小隊工作時間x天的函數(shù)圖像如圖所示．（1）①求線段AC所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；②求點F的坐標(biāo)，并解釋點F的實際意義．（2）如果第二小隊沒有檢修設(shè)備，按原來的工作效率正常工作，那么他們完成任務(wù)的天數(shù)是天．19．如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B、C兩點，且與軸交于點，與軸交于點．

(1)若，，求的值；(2)若，①求的值；②求的值．20．如圖，在中，，，點，在邊上，，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的長．21．如圖，是的外接圓，AB為的直徑，在外側(cè)作，過點C作于點D，交AB延長線于點P.（1）求證：PC是的切線；（2）若，，求的半徑；（用含m的代數(shù)式表示）（3）如圖2，在（2）的條件下，作弦CF平分，交AB于點E，連接BF，且，求線段PE的長.22．在平面直角坐標(biāo)系中，記二次函數(shù)的圖象的頂點為，其圖象上存在，兩點，使得，則稱該函數(shù)為“垂動點函數(shù)”，其中一個點叫做另一個點的“垂動點”．已知函數(shù)（m為實數(shù)）．(1)當(dāng)時，隨著的增大而增大，點，都在該函數(shù)圖象上，求的最大值；(2)若，“垂動點函數(shù)”圖象的頂點為，點在“垂動點函數(shù)”的圖象上，點的“垂動點”是點．①求證：直線過定點；②求的外接圓的圓心到直線的距離的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及方差．掌握求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的方法，是解決本題的關(guān)鍵．原數(shù)據(jù)平均數(shù)為m，加入m后新平均數(shù)不變；方差因分母增大而一定減小；眾數(shù)和中位數(shù)可能改變也可能不變，不一定改變．【詳解】解：原數(shù)據(jù)平均數(shù)為m，新數(shù)據(jù)總和為，個數(shù)為．新平均數(shù)，不變．方差分析：原數(shù)據(jù)方差為．由題干“不完全相等的數(shù)據(jù)”可知，．新數(shù)據(jù)方差為因此，方差一定改變．中位數(shù)分析：如數(shù)據(jù)∶1，2，4，5的平均數(shù)，中位數(shù)為3．加入后，新數(shù)據(jù)為∶1，2，3，4，5，中位數(shù)仍為3．眾數(shù)分析：如數(shù)據(jù)∶1，1，2，2，的平均數(shù)，眾數(shù)為1和2．加入后，新數(shù)據(jù)為1，1，，2，2，眾數(shù)仍為1和2．故選∶A．2．A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：，．故選：A．3．C【分析】本題主要考查了列舉法求解概率，當(dāng)?shù)谝淮螔伒慕Y(jié)果是正面向上時，那么第二次拋的結(jié)果一定是反面向上，據(jù)此討論第三次拋的結(jié)果，進(jìn)而確定第四次拋的結(jié)果；當(dāng)?shù)谝淮螔伒慕Y(jié)果是反面向上時，那么第二次拋的結(jié)果可以是反面向上，也可以是正面向上，據(jù)此討論第二次拋的結(jié)果，進(jìn)而確定第三次，第四次拋的結(jié)果；最后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：∵一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋4次，每次拋的結(jié)果都有兩種，∴拋4次一共有種結(jié)果，當(dāng)?shù)谝淮螔伒慕Y(jié)果是正面向上時，那么第二次拋的結(jié)果一定是反面向上，若第三次拋的結(jié)果為正面向上時，則第四次拋的結(jié)果一定是反面向上，若第三次拋的結(jié)果為反面向上時，則第四次拋的結(jié)果可以是反面向上，也可以是正面向上，∴當(dāng)?shù)谝淮螔伒慕Y(jié)果是正面向上，一共有3種結(jié)果；當(dāng)?shù)谝淮螔伒慕Y(jié)果是反面向上時，若第二次拋的結(jié)果是反面向上時，則同理可知此時有3種結(jié)果；若第二次拋的結(jié)果為正面向上時，則第三次拋的結(jié)果一定是反面向上，那么第四次拋的結(jié)果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此時一共有2種結(jié)果；綜上所述，沒有兩次連續(xù)正面向上的結(jié)果數(shù)有種，∴沒有兩次連續(xù)正面向上的概率為，故選：C．4．B【分析】本題考查進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，解題的關(guān)鍵在于理解滿七進(jìn)一的計數(shù)規(guī)則．將結(jié)繩計數(shù)的結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：從右到左，第一位的權(quán)重是1，第二位的權(quán)重是，第三位的權(quán)重是，第四位的權(quán)重是，最右邊第一位有5個結(jié)，其對應(yīng)的數(shù)值為，第二位有個結(jié)，其對應(yīng)的數(shù)值為，第三位有0個結(jié)，其對應(yīng)的數(shù)值為0，第四位有個結(jié)，其對應(yīng)的數(shù)值為，將每一位對應(yīng)的數(shù)值相加，可得孩子自出生后的天數(shù)為．故選：B．5．D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可求，過點作于，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求，，則，可證，已知，則題目可解．即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，∵，∴．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．6．C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，先構(gòu)造圖形，的三條中線，，，三條中線交于點，連接，延長至，使，連接，由中位線得到，，求出，，，，，即可根據(jù)中點和等底等高得到，再證明，得到，即可得到，推得，求出，最后根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的三條中線，，，三條中線交于點，連接，延長至，使，連接，∴是的中位線，∴，，∴，∴，∴，，，，同理可得，，，∴，，，，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．7．B【分析】連接，過點作交于點，證明，利用相似比得到，，，因為，所以，則可求長度，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到（當(dāng)且僅當(dāng)點在上時取等號），從而得到的最小值．【詳解】解：連接，過點作交于點，∵點的坐標(biāo)為，，，，∵，，，的運動軌跡為以為圓心為半徑的圓；連接，作軸，∵，∴，∴，∴，，∴，連接，∵，∴三點共線時，最小，最小值為：．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓的基本知識，直角三角形的性質(zhì)，最值問題，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．8．D【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合運算、帶字母的絕對值化簡，根據(jù)定義，離實數(shù)最近的整數(shù)取決于所在區(qū)間，因此將按的取值分段，計算在各段的最大值，并比較得到整體最大值．【詳解】解：，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，，，即；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；比較各段，的最大值為．9．【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，先進(jìn)行乘方，特殊角的三角函數(shù)值，開方運算，再進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和去絕對值運算，最后進(jìn)行加減運算即可．【詳解】解：原式；故答案為：．10．<a<【分析】本題考查了根的判別式的應(yīng)用，正確理解根的判別式和方程的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．方程有兩個不相等的實數(shù)根，需滿足判別式大于零，列式計算即可．【詳解】解：因為關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得：，故答案為：．11．【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的運算，靈活應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．結(jié)合已知利用完全平方公式進(jìn)行變形求得，進(jìn)而得到的值，然后再次利用完全平方公式進(jìn)行變形，求得，即可得解．【詳解】解：，，，，為正實數(shù)，，．故答案為：．12．【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，代入求值，把三個式子相加得到，即可求出a，b，c的值，然后代入計算即可．【詳解】解：把三個式子相加得到，即，整理得，∴∴，∴，，，解得，，，∴，故答案為：．13．【分析】根據(jù)對稱性作關(guān)于的對稱點，則，連接交于，則點都在以為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．【詳解】作關(guān)于的對稱點，則連接交于∵將沿弦折疊∴點都在以為圓心，半徑為6的圓上∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點．∴∴∵∴四邊形MEOF中即的度數(shù)為；∵，∴（）∴∴∴∴∵∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．

平分，，，，，，∵是的中點，∴設(shè)，則，，，∴，，設(shè)，則，，，，的周長，故答案為：．15．##【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的計算方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．如圖所示，過點作于點，作于點，過點作于點，先證明，根據(jù)面積法或相似三角形或三角函數(shù)求得，表示出，進(jìn)而根據(jù)列出方程，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，作于點，過點作于點，作于點，與交于點，連接，設(shè)，，∴，，，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理可得，，∴，如圖所示，作于點，∵，∴，，∵，∴，∴，設(shè),∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意，舍去），∴，故答案為：．16．2031【分析】本題考查二元一次方程組的整數(shù)解問題，涉及數(shù)的整除性．解題中應(yīng)用了解方程組的消元法得到未知數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合整數(shù)解的條件分析出參數(shù)滿足的條件，通過解方程組得到x和y的表達(dá)式，利用整數(shù)解的條件得出k滿足的條件，再結(jié)合k的范圍求解．【詳解】解：∵，解方程組得，，∵，為整數(shù)，∴和均可以被41整除，設(shè)（m為整數(shù)），則；我們希望能被4整除．我們可以把41和35拆成4的倍數(shù)加余數(shù)：∴；代入上式：；∵等式左邊是4的倍數(shù)，右邊前半部分也是4的倍數(shù)，所以剩下的也必須是4的倍數(shù)．設(shè)（t為整數(shù)），即．把代入：，得．∵，∴，∴，∵為整數(shù)，∴，∴．故答案為：2031．17．(1),(2)，，【分析】本題考查解一元二次方程和分式方程，熟練掌握換元法和整體思想是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，換元后運用公式法解方程，之后再轉(zhuǎn)化為x即可；（2）設(shè)，換元后將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求出的值后，進(jìn)一步解關(guān)于x的方程，檢驗后得出結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為：，其中，，，判別式，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，，∵，∴，；（2）解：設(shè)，則，原方程轉(zhuǎn)化為：，化簡，得，因式分解，得，解得，，，當(dāng)時，，化簡，得，因式分解，得，解得，，；當(dāng)時，，化簡，得，解得，；經(jīng)檢驗，，，都是原方程的解，∴方程的解為，，．18．（1）①y＝－30x＋360．②點F的坐標(biāo)為（8，120）．點F的實際意義是：第一小隊工作8天后，兩個倉庫剩余的物資都為120t．（2）9．【分析】（1）①用待定系數(shù)法求解即可；②根據(jù)第一小隊的工作效率求出第二小隊再次開工后的工作效率，即可得到點F的縱坐標(biāo)，代入①中解析式即可求出點F坐標(biāo)，由題意可知點F的實際意義是：第一小隊工作8天后，兩個倉庫剩余的物資都為120t；（2）根據(jù)工作效率以及點F的縱坐標(biāo)，求出不檢修設(shè)備的情況下還需要多少天完成任務(wù)，相加即可.【詳解】解：（1）解：①設(shè)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b，將（12，0），（0，360）代入y＝kx＋b，可得，即y＝－30x＋360．②第一小隊的工作效率為360÷12＝30（t／天），第二小隊再次開工后的工作效率為30×2＝60（t／天），調(diào)運物資為60×2＝120（t），即點E的坐標(biāo)為（10，120），所以點F的縱坐標(biāo)為120．將y＝120代入y＝－30x＋360，可得x＝8，即點F的坐標(biāo)為（8，120）．點F的實際意義是：第一小隊工作8天后，兩個倉庫剩余的物資都為120t．（2）∵第二小隊工作5天后，倉庫剩余的物資為120t，∴120÷30＝4（天），4+5=9（天），∴如果第二小隊沒有檢修設(shè)備，按原來的工作效率正常工作，那么他們完成任務(wù)的天數(shù)是9天．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別以及一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖像得到必要信息是解題關(guān)鍵.19．(1)(2)①；②【分析】（1）由題意可知，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，則點坐標(biāo)可求，利用勾股定理可求長，則可求；（2）①因為，由（1）可知，；②可證，則，求出，聯(lián)立和得，，所以，則得方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴一次函數(shù)，反比例函數(shù)，將代入，得，，將代入，得，聯(lián)立，解得或，∴，，過作，根據(jù)勾股定理得：，，

，，∴；（2）解：①∵，由（1）可知，；②將代入，得，，聯(lián)立和得：，

，，，，，若，則和僅有一個交點，舍去，∴，則，過作軸，過作軸，

在和中，，∴，，∵，，(經(jīng)檢驗，滿足原方程)，綜上．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，一元二次方程的解法，三角形的面積比，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．20．(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到；（2）過點A作，交的延長線于點G．證明和，推出，根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”即可證明結(jié)論成立；（3）由，可設(shè)，則，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得，過點A作于點H，則，設(shè)，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，∴，∵，∴，∴=，∴；（2）證明：如圖，過點A作，交的延長線于點G．則，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵，∴．由，可設(shè)，則，，，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，如圖，過點A作于點H，則，設(shè)，則，在中，，解得（舍去）或，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．21．：（1）詳見解析；（2）；（3）【分析】（1）連接OC，根據(jù)平行線的判定可得，從而得出，然后根據(jù)切線的判定定理即可證出PC是的切線；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得：∠ACB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等相等可得，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，，根據(jù)勾股定理可得：，結(jié)合已知條件即可求出BC，從而求出AB，即可求出圓的半徑；（3）連接AF，OC，過C作，根據(jù)等腰三角形的判定及性質(zhì)即可求出AB=10，從而求出BC、OC和AC，利用銳角三角函數(shù)即可求出CF，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可求出EF和CE，從而求出CG、OG，根據(jù)射影定理可求出OP，然后根據(jù)勾股定理可求出EG，從而求出OE的長，即可求出線段PE的長.【詳解】解析：（1）如圖，連接OC∵，∴∴∴即PC為的切線；（2）∵AB為直徑∴∠ACB=90°∵∠BCP＋∠ACD=180°－∠ACB=90°∵∠DAC＋∠ACD=90°∴∴則，根據(jù)勾股定理：∴又∵∴，解得：，∴，∴半徑為（3）如圖，連接AF，OC，過C作∵，∴∴又∵∴為等腰直角三角形∵∴，∴，，如下圖，在中過B作∵∴又∵，，∴，∴又∵，∴∴∴即中，，解得：CG=4則在中，，，根據(jù)勾股定理可得：OG=由射影定理，∴又∵，∴，且∴∴【點睛】此題考查的是圓的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，掌握圓的性質(zhì)定理、切線的判定定理、用勾股定理和銳角三角函數(shù)解直角三角形、相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.22．(1)(2)①見解析．【分析】本題是關(guān)于二次函數(shù)的綜合壓軸題，涉及函數(shù)性質(zhì)、幾何圖形（直角三角形、外接圓）、定點問題以及點到直線的距離等知識點。（1）根據(jù)拋物線解析式的對稱軸和點，是關(guān)于拋物線對稱軸的對稱，由此得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)當(dāng)時，隨著的增大而增大，確定，把點代入函數(shù)解析式可得，由此求出，取得最大值.（2）①根據(jù)已知求出拋物線解析式，再