2025年大學(xué)本科二年級(jí)（統(tǒng)計(jì)學(xué)）多元統(tǒng)計(jì)綜合技能測(cè)試試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本卷共6題，每題5分。每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確答案填寫(xiě)在題目后面的括號(hào)內(nèi)。1.主成分分析中，主成分的貢獻(xiàn)率是指（）A.主成分的方差占原始變量總方差的比例B.主成分的均值占原始變量總均值的比例C.主成分的協(xié)方差占原始變量總協(xié)方差的比例D.主成分的相關(guān)系數(shù)占原始變量總相關(guān)系數(shù)的比例（A）2.在聚類(lèi)分析中，當(dāng)采用離差平方和法時(shí)，類(lèi)與類(lèi)之間的距離是通過(guò)（）來(lái)計(jì)算的。A.兩類(lèi)重心之間的距離B.兩類(lèi)樣本之間的最短距離C.兩類(lèi)樣本之間的最長(zhǎng)距離D.兩類(lèi)合并后類(lèi)內(nèi)離差平方和的增加量（D）3.判別分析的主要目的是（）A.對(duì)樣本進(jìn)行分類(lèi)B.尋找變量之間的關(guān)系C.進(jìn)行數(shù)據(jù)降維D.估計(jì)總體參數(shù)（A）4.因子分析中，因子載荷矩陣的元素表示（）A.因子與原始變量的相關(guān)系數(shù)B.因子之間的相關(guān)系數(shù)C.原始變量之間的相關(guān)系數(shù)D.因子的方差貢獻(xiàn)率（A）5.典型相關(guān)分析研究的是（）A.兩組變量之間的線性相關(guān)關(guān)系B.兩組變量之間的非線性相關(guān)關(guān)系C.一組變量?jī)?nèi)部的相關(guān)關(guān)系D.一組變量與另一組變量的因果關(guān)系（A）6.在多元線性回歸模型中，若某個(gè)解釋變量的方差膨脹因子VIF很大，則說(shuō)明（）A.該變量與其他變量之間存在嚴(yán)重的多重共線性B.該變量的觀測(cè)值有異常C.該變量對(duì)被解釋變量的影響不顯著D.模型的擬合優(yōu)度很低（A）第II卷（非選擇題共70分）答題要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，在相應(yīng)位置作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。7.（10分）簡(jiǎn)述主成分分析的基本思想和步驟。主成分分析的基本思想是通過(guò)線性變換，將原始變量組合成若干個(gè)互不相關(guān)的新變量，這些新變量稱(chēng)為主成分，且保留了原始變量的大部分信息。步驟如下：首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；然后計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣；接著求相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量；再根據(jù)特征值的貢獻(xiàn)率確定主成分個(gè)數(shù)并計(jì)算主成分；最后對(duì)主成分進(jìn)行解釋和應(yīng)用。8.（15分）在聚類(lèi)分析中，常用的距離度量方法有哪些？請(qǐng)分別簡(jiǎn)述其定義。常用的距離度量方法有：歐氏距離，它是兩點(diǎn)之間直線距離的平方和開(kāi)方；明氏距離，包括絕對(duì)距離（p=1時(shí)）、歐氏距離（p=2時(shí)）等，是各變量值之差的p次方和的p次方根；切比雪夫距離，是各變量值之差絕對(duì)值的最大值。還有馬氏距離，它考慮了變量之間的協(xié)方差結(jié)構(gòu)，消除了量綱和相關(guān)性的影響。9.（15分）已知一個(gè)多元線性回歸模型：Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+ε，現(xiàn)有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：|Y|X1|X2|X3||---|---|---|---||10|2|3|4||12|3|4|5||14|4|5|6||16|5|6|7||18|6|7|8|請(qǐng)用最小二乘法估計(jì)模型的參數(shù)β0、β1、β2、β3。首先計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)：X1均值=4，X2均值=5，X3均值=6，Y均值=14。L11=∑(X1i-4)^2=10，L12=∑(X1i-4)(X2i-5)=10，L13=∑(X1i-4)(X3i-6)=10，L22=∑(X2i-5)^2=10，L23=∑(X2i-5)(X3i-6)=10，L33=∑(X3i-6)^2=10，L1Y=∑(X1i-4)(Yi-14)=20，L2Y=∑(X2i-5)(Yi-14)=20，L3Y=∑(X3i-6)(Yi-14)=20。然后計(jì)算系數(shù)矩陣的逆矩陣：系數(shù)矩陣=[101010][101010][101010]逆矩陣=[0.15-0.1-0.05][-0.10.2-0.1][-0.05-0.10.15]最后計(jì)算參數(shù)：β1=L1Y0.15+L2Y(-0.1)+L3Y(-0.05)=200.15+20(-0.1)+20(-0.05)=1β2=L1Y(-0.1)+L2Y0.2+L3Y(-0.1)=20(-0.1)+200.2+20(-0.1)=2β3=L1Y(-0.05)+L2Y(-0.1)+L3Y0.15=20(-0.05)+20(-0.1)+200.15=1β0=Y均值-β1X1均值-β2X2均值-β3X3均值=14-14-25-16=2所以β0=2，β1=1，β2=2，β3=1。10.（20分）材料：為研究某地區(qū)居民的消費(fèi)結(jié)構(gòu)，收集了該地區(qū)50戶(hù)居民的食品支出（X1）、衣著支出（X2）、居住支出（X3）、交通通信支出（X4）和教育文化娛樂(lè)支出（X5）的數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)初步分析，發(fā)現(xiàn)這些變量之間可能存在一定的相關(guān)性。問(wèn)題：請(qǐng)你選擇一種合適的多元統(tǒng)計(jì)方法來(lái)分析這些變量之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。如果采用該方法，具體步驟是什么？可以選擇主成分分析方法。理由是主成分分析能夠?qū)⒍鄠€(gè)相關(guān)的原始變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的主成分，在保留原始變量大部分信息的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，便于更清晰地了解變量之間的關(guān)系。步驟如下：先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；接著計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣；然后求相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量；根據(jù)特征值貢獻(xiàn)率確定主成分個(gè)數(shù)并計(jì)算主成分；最后對(duì)主成分進(jìn)行解釋?zhuān)治龈髦鞒煞炙淼暮x以及與原始變量的關(guān)系。11.（10分）在判別分析中，如何判斷判別函數(shù)的有效性？可以通過(guò)以下幾個(gè)方面判斷判別函數(shù)的有效性：首先看判別準(zhǔn)確率，即正確判別的樣本數(shù)占總樣本數(shù)的比例