2025年大學(xué)本科二年級(jí)（統(tǒng)計(jì)學(xué)）回歸分析試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本卷共6題，每題5分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.在一元線性回歸模型中，回歸系數(shù)的估計(jì)方法通常是（）A.最大似然估計(jì)B.最小二乘法C.極大似然估計(jì)D.矩估計(jì)答案：B2.判定系數(shù)R2的取值范圍是（）A.[-1,1]B.[0,1]C.(-1,1)D.(0,1)答案：B3.對(duì)于線性回歸模型y=β?+β?x+ε，若要檢驗(yàn)x對(duì)y是否有顯著影響，應(yīng)檢驗(yàn)的原假設(shè)是（）A.H?：β?=0B.H?：β?=0C.H?：ε=0D.H?：β?=β?=0答案：B4.在回歸分析中，殘差平方和反映了（）A.自變量x對(duì)因變量y的線性影響B(tài).除自變量x以外的其他因素對(duì)因變量y的影響C.自變量x與因變量y之間的線性關(guān)系強(qiáng)度D.因變量y的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差異程度答案：D5.回歸直線方程?=b?+b?x中，b?的計(jì)算公式為（）A.B.C.D.答案：A6.已知回歸方程?=2+3x，當(dāng)x=5時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為（）A.15B.17C.13D.20答案：B第II卷（非選擇題共70分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1.在線性回歸模型中，隨機(jī)誤差項(xiàng)ε滿足的條件是E(ε)=______，Var(ε)=______。答案：0；σ22.回歸分析中，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算公式為______。答案：3.若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)r=0.8，則判定系數(shù)R2=______。答案：0.644.在多元線性回歸模型中，若自變量個(gè)數(shù)為p，樣本容量為n，則回歸平方和的自由度為______，殘差平方和的自由度為______。答案：p；n-p-1三、簡(jiǎn)答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）1.簡(jiǎn)述回歸分析的基本思想。（10分）答案：回歸分析是研究變量之間相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。其基本思想是通過建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述自變量與因變量之間的關(guān)系，利用已知的自變量數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)因變量的值。具體來說，就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用一定的方法估計(jì)模型中的參數(shù)，得到回歸方程，然后通過對(duì)回歸方程的檢驗(yàn)和分析，判斷自變量對(duì)因變量是否有顯著影響，以及模型的擬合效果如何等。2.簡(jiǎn)述判定系數(shù)R2的含義及作用。（10分）答案：判定系數(shù)R2是回歸分析中的一個(gè)重要指標(biāo)。它表示回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度。其含義是回歸平方和占總離差平方和的比例。R2的取值范圍在0到1之間，R2越接近1，說明回歸直線對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越好，即自變量對(duì)因變量的解釋能力越強(qiáng)；R2越接近0，說明回歸直線對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越差，自變量對(duì)因變量的解釋能力較弱。它可以用來比較不同回歸模型的擬合優(yōu)度。四、分析題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）材料：為研究某地區(qū)居民收入（x）與消費(fèi)支出（y）的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10戶家庭，得到如下數(shù)據(jù)：|家庭編號(hào)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||收入x（千元）|8|11|13|15|17|19|20|22|25|28||消費(fèi)支出y（千元）|6|8|10|12|14|16|17|19|21|23|1.建立居民收入與消費(fèi)支出的線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的意義。（15分）答案：首先計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)：\(\bar{x}=\frac{1}{10}(8+11+13+15+17+19+20+22+25+28)=18.8\)\(\bar{y}=\frac{1}{10}(6+8+10+12+14+16+17+19+21+23)=14.6\)\(l_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=(8-18.8)^2+(11-18.8)^2+\cdots+(28-18.8)^2=334.4\)\(l_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(8-18.8)(6-14.6)+(11-18.8)(8-14.6)+\cdots+(28-18..8)(23-14.6)=291.2\)\(b_1=\frac{l_{xy}}{l_{xx}}=\frac{291.2}{334.4}\approx0.871\)\(b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=14.6-0.871×18.8\approx-1.785\)回歸方程為：\(\hat{y}=-1.785+0.871x\)回歸系數(shù)\(b_1=0.871\)表示居民收入每增加1千元，消費(fèi)支出平均增加0.871千元。2.對(duì)建立的回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（α=0.05）。（15分）答案：提出假設(shè)：\(H_0:β_1=0\)，\(H_1:β_1≠0\)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(t=\frac{b_1}{S_{b_1}}\)其中\(zhòng)(S_{b_1}=\sqrt{\frac{\sigma^2}{l_{xx}}}\)，先求\(SSE=\sum_{i=1}^{10}(y_i-\hat{y}_i)^2\)\(\hat{y}_i=-1.785+0.871x_i\)，計(jì)算出\(SSE\)后可得\(\sigma^2=\frac{SSE}{n-2}\)，進(jìn)而求出\(S_{b_1}\)再計(jì)算\(t\)值，這里\(n=10\)，\(p=1\)\(t=\frac{b_1}{S_{b_1}}\)，查\(t\)分布表，\(t_{α/2}(n-2)=t_{0.025}(8)=2.306\)若\(|t|>t_{α/2}(n-2)\)，則拒絕\(H_0\)，說明回歸方程顯著。五、綜合題（本大題共1小題，共10分）材料：在研究某企業(yè)產(chǎn)品銷售額（y）與廣告費(fèi)用（x）的關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：|廣告費(fèi)用x（萬元）|1|2|3|4|5||----|----|----|----|----|----||銷售額y（萬元）|10|15|20|25|30|已知回歸方程為\(\hat{y}=5+5x\)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差\(S=1.58\)。1.當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，預(yù)測(cè)銷售額，并給出預(yù)測(cè)區(qū)間（α=0.05）。（10分）答案：當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(\hat{y}=5+5×6=35\)（萬元）預(yù)測(cè)區(qū)間為：\(\hat{y}\pmt_{α/2}(n-2)S\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{l_{xx}}}\)先計(jì)算\(\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\)\(l_{xx}=\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=10\)\((x_0-\bar{x})^2=(6-3)^2=9\)\(n=5\)，查\(t\)分布表\(t_{α/2}(n-2)=t_{0.025}(3)=3.182\)則預(yù)測(cè)區(qū)間下限為：\