廣東省佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若平面，且平面的一個法向量為，則平面的法向量可以是（

）A． B． C．，2， D．2．不透明的盒子里面裝有五個分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5的乒乓球，這些球除數(shù)字外，其他完全相同，一位學(xué)生隨機(jī)摸出兩個球，兩個球的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率是（

）．A． B． C． D．3．直線，無論取何值，該直線恒過定點（

）A． B． C． D．4．已知為實數(shù)，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知圓與圓外切，則（

）A． B． C． D．6．如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點，，則的長為（

）

A． B． C． D．7．已知是圓C：上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．棱長為的正四面體中，點為平面內(nèi)的動點，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍為（）A． B．C． D．二、多選題9．已知直線，則下列選項中正確的有（

）A．直線的傾斜角為 B．直線的斜率為C．直線不經(jīng)過第三象限 D．直線的一個方向向量為10．已知，為隨機(jī)事件，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，為互斥事件，則 B．若，為互斥事件，則C．若，相互獨(dú)立，則 D．若，相互獨(dú)立，則11．在正方體中，，為正方形內(nèi)（包括邊界）一動點，為的中點，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得C．若，則的最大值為D．滿足的點的軌跡長度為三、填空題12．直線與間的距離為13．在如圖所示的電路圖中，開關(guān)，，正常工作的概率分別為，，，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是14．如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點，是線段上的一點，且滿足平面，則

四、解答題15．如圖，已知正方體的棱長為1，Q為的中點，點P在棱上，．(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．16．已知點，點，直線過點且與直線垂直.(1)求直線的方程；(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程.17．甲、乙兩人參加射擊訓(xùn)練，甲每次擊中目標(biāo)的概率都是，乙每次擊中目標(biāo)的概率都是，假設(shè)每人每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若甲、乙各射擊1次，求甲擊中目標(biāo)次數(shù)等于乙擊中目標(biāo)次數(shù)的概率；(2)若甲、乙各射擊2次，求甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次的概率.18．已知圓與直線相切于點，圓心在軸上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與圓交于兩點，當(dāng)時，求直線的一般式方程；(3)過點且不與軸重合的直線與圓相交于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別與直線相交于兩點，記的面積為，求的最大值.19．如圖，四棱錐中，，．(1)證明：平面；(2)若，且，，三棱錐外接球的球心為，求直線與平面所成角正弦值；(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范圍.

參考答案1．C【詳解】A，，錯誤.B，，錯誤.C，，正確.D，，錯誤.故選：C2．D【詳解】5個球中隨機(jī)摸出2個球，共有：共10種情況，兩個球的數(shù)字之和是奇數(shù)有共6種情況，所以兩個球的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率是.故選：D3．B【詳解】，即，當(dāng)時，解得，故該直線過定點，故選：B.4．B【詳解】若，則有，解得，當(dāng)時，，不重合，符合要求；當(dāng)時，，不重合，符合要求；故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．C【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由圓外切，得，則，所以.故選：C6．C【詳解】依題意，所以，所以，即.故選：C7．B【詳解】設(shè)，變形得，于是的幾何意義為圓上點與定點連線的斜率，圓的圓心為，半徑為，由是圓上任意一點，得圓與直線有公共點，因此圓心到直線的距離不大于圓的半徑，則，解得，所以的最小值為.故選：B8．A【詳解】首先，記在底面內(nèi)的投影為，則底面，因為平面，所以，因為在正四面體中，是等邊三角形，則，是的中心，則，由題意得，則，所以的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)與軸正半軸所成的角為，則，，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，所以，因為，所以.故選：A.9．CD【詳解】因為，可以表示為，所以，傾斜角為，故選項A和B錯誤；因為直線，故斜率，縱截距，所以直線不經(jīng)過第三象限，故選項C正確；取直線上兩點,，所以得到方向向量，得到直線的一個方向向量為，故選項D正確.故選：CD10．ACD【詳解】對于A：若，為互斥事件，所以,故A正確;對于B：若，為互斥事件，則，所以，故B錯誤；對于C：若，相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立，所以，故C正確；對于D：若，相互獨(dú)立，，所以，故D正確.故選：ACD11．AD【詳解】對于A選項，因為平面平面，平面，所以點到平面的距離等于，因為四邊形是邊長為的正方形，故，因此為定值，A對；對于B選項，取的中點，的中點，連接．以為原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、．設(shè)，其中、，則，，，因為，所以，所以，不存在點，使得，B錯；對于C選項，，，所以，即，因為，所以，故當(dāng)時，的最大值為，C錯；對于D選項，，，由得，即，又因為、，所以、，所以點的軌跡為平面內(nèi)的線段，即圖中的線段，由圖知，故滿足的點的軌跡長度為，D正確．故選：AD.12．/【詳解】將直線化為，所以兩平行直線間的距離.故答案為：.13．【詳解】設(shè)“開關(guān)，，閉合”分別為事件，，，則燈亮這一事件為，且，，相互獨(dú)立，互斥，所以，故答案為：.14．【詳解】如圖，由已知，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則,，設(shè)面的一個法向量,則,即，令得，因為平面，所以,即，所以得，,所以，因為，所以．故答案為：．15．(1);(2).【詳解】（1）如圖建系，根據(jù)已知條件可得：，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點到平面的距離；（2）由平面的法向量為，平面的法向量為，所以平面與平面的夾角的余弦值為：.16．(1)(2)【詳解】（1）因為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即.（2）由解得，故的交點坐標(biāo)為，因為在直線上，設(shè)關(guān)于對稱的點為，則解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點，代入兩點式方程得，即，所以直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為.17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)“甲擊中目標(biāo)次”，“乙擊中目標(biāo)次”.設(shè)為“甲擊中目標(biāo)次數(shù)等于乙擊中目標(biāo)次數(shù)”，則，與互斥，所以.（2）設(shè)“甲擊中目標(biāo)2次”，“乙擊中目標(biāo)2次”.法一：設(shè)“甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次”，“甲、乙兩人都未擊中目標(biāo)2次”，與互為對立事件，，所以.法二：設(shè)“甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次”，則兩兩互斥，所以.18．(1)；(2)或；(3).【詳解】（1）由題可知，設(shè)圓的方程為，圓心為，由直線與圓相切于點，得，解得，所以圓的方程為；（2）設(shè)圓心到直線的距離為d，∵，∴，.①當(dāng)直線斜率不存在時，，滿足到直線的距離；②當(dāng)直線斜率存在時：設(shè)方程：，即，，整理得，解得，，即，綜上：直線的一般式方程為或；（3）由題意知，，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由，得，解得或，則點A的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，同理可得：點的坐標(biāo)為，由題可知：，，又，同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最大值為.19．(1)證明見解析(2)(3).【詳解】（1）在平面ABCD中，因為，，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因為平面ABC，平面，所以，，又因為，以A為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為中，，所以外心為AC中點，故三棱錐外接球球心O在過M且垂直于平面ABC的直線上，故設(shè)，又因為，所以，故，所以，所以，又因為，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，于是令，得，，所以平面PBC的一個法向