大二輪專題復習專題二數(shù)列第3講數(shù)列的綜合應用

探究真題明確方向√

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解析2.(2024·北京，T14)漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm，325mm，325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為

mm，升量器的高為

mm.(不計量器的厚度)

2357.5

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證明(2)給定正整數(shù)m，設函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).

解命題熱度：本講是歷年高考命題?？嫉膬?nèi)容，屬于中高檔題目，三種題型都有所考查，分值約為5~10分.考查方向：一是數(shù)列的實際應用，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及運算；二是數(shù)列與其他知識的結(jié)合，主要考查數(shù)列與不等式、函數(shù)導數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計等結(jié)合，特別是與概率統(tǒng)計相結(jié)合，考查概率統(tǒng)計中的遞推關(guān)系.考點二數(shù)列與其他知識的交匯考點一數(shù)列在實際問題中的應用內(nèi)容索引專題強化練考點一數(shù)列在實際問題中的應用

(1)(2025·昆明模擬)天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2025年是乙巳年，請問：在100年后的2125年為A.癸未年B.辛丑年C.乙酉年

D.戊戌年例1√天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，100÷10=10余0，則2125年對應的天干為乙，100÷12=8余4，則2125年對應的地支為酉，所以2125年為乙酉年.解析(2)現(xiàn)將一圓形花壇從圓心向外栽種8圈某種花卉，圓心處栽1株(視為第一圈)，第二圈栽3株花卉，從第二圈起，第n圈栽種花卉比第n-1圈多栽種2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，則第8圈栽種花卉A.57株 B.56株C.55株 D.54株√

解析數(shù)列應用問題首先要仔細審題，抓住數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學模型，再設出數(shù)列，判斷數(shù)列模型，利用數(shù)列的定義、公式和性質(zhì)求解.常見數(shù)列模型：(1)等差模型：后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值.(2)等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù).(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，那么應考慮an與an+1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn+1(或者相鄰三項)之間的遞推關(guān)系.規(guī)律方法

√

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解析返回考點二數(shù)列與其他知識的交匯

例2考向1數(shù)列與不等式√

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(2025·菏澤模擬)對于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，則f(2025)等于A.-1 B.1 C.2025 D.4049例3考向2數(shù)列與函數(shù)√

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例4考向3數(shù)列與幾何√

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例5考向4數(shù)列與概率統(tǒng)計8m-1由題意知，到達A2點共有1種走法，到達A3點共有1+1=2(種)走法(一種是經(jīng)過A2點到達A3，一種是直接到達A3)，到達A4點共有1+2=3(種)走法(一種是經(jīng)過A2，一種是經(jīng)過A3，所以到達A4的走法是將到達A2，A3的走法加起來)，到達A5點共有2+3=5(種)走法(一種是經(jīng)過A2和A4，一種是經(jīng)過A3，所以到達A5的走法是將到達A4，A3的走法加起來)，到達A6點共有3+5=8(種)走法(一種是經(jīng)過A2和A4，一種是經(jīng)過A3和A5，所以到達A6的走法是將到達A4，A5的走法加起來)，故按圖中所示方向到達A6有8種不同的打卡路線.解析

解析數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何、概率統(tǒng)計的綜合問題，是高考命題的一個方向，考查邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解.規(guī)律方法

√

解析(2)(2025·昆明模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+x，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1013<0，則f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)的值A.大于0 B.小于0C.等于0 D.不能確定√函數(shù)y=x3，y=x均為奇函數(shù)且為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)=x3+x為奇函數(shù)且為增函數(shù)，由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得a1+a2

025=2a1

013<0，即a1<-a2

025，于是f(a1)<f(-a2

025)=-f(a2

025)，即f(a1)+f(a2

025)<0，同理f(a2)+f(a2

024)<0，f(a3)+f(a2

023)<0，…，f(a1

012)+f(a1

014)<0，f(a1

013)<0，因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2

024)+f(a2

025)<0.解析

√

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解析返回專題強化練對一對答案123456789101112題號12345678答案BCDDBDABD題號1112答案B答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、單項選擇題1.(2025·上饒模擬)某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本xi(i=1，2，3，…，13)，它們依次成公差d=1的等差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是26，則x13為A.32 B.31 C.19 D.18123456789101112答案√123456789101112答案

解析12345678

9101112答案√123456789101112答案

解析3.如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D(第一段圓弧)，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…，以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為A.44π B.64π C.70π D.80π123456789101112答案√123456789101112答案

解析12345678

9101112答案√123456789101112答案

解析123456789101112答案

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123456789101112答案√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

√√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

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解析123456789101112答案

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解析123456789101112答案

123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

123456789101112答案

解123456789101112答案(2)求{an}的前100項和S100.

解123456789101112答案

123456789101112答案

證明123456789101112答案

123456789101112答案

解123456789101112答案

解123456789101112答案

解123456789101112答案11.(2025·大連模擬)小明同學在如圖所示的“漢諾塔”游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有A，B，C三個木樁，A木樁上套有編號分別為1，2，3，4，5，6的六個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這六個圓環(huán)全部套到B木樁上，則所需的最少的次數(shù)為A.31 B.63 C.127 D.128思維創(chuàng)新√123456789101112答案設圓環(huán)的個數(shù)為n，移動n個圓環(huán)所需的最少的次數(shù)為an，n∈N*.當n=1時，即只有1個圓環(huán)，從一個木樁移動到另一個木樁，只需移動1次，所以a1=1.

當n>1時，要把n個圓環(huán)從A木樁移動到B木樁，我們可以先把上面n-1個圓環(huán)從A木樁借助B木樁移動到C木樁，需要an-1次；然后把最大的第n個圓環(huán)從A木樁移動到B木樁，需要1次；最后再把C木樁上的n-1個圓環(huán)借助A木樁移動到B木樁，又需要an-1次.所以可得遞推公式an=2an-1+1.

解析12