/北京市順義區(qū)第一中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，且，那么（

）A． B． C． D．52．已知過原點的直線與圓相切，切點在第二象限，則該直線的方程為．A． B．C． D．3．甲、乙兩個袋子中分別裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4個球，這些球除標(biāo)號不同外沒有其他差別.分別從兩個袋子中隨機(jī)摸出一個球，則摸出的兩個小球的標(biāo)號相同的概率是（

）A． B． C． D．4．過點且與直線平行的直線與軸、軸分別交于、兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．直線的方程為 B．C．原點到直線的距離為 D．線段的中點在直線上5．與橢圓共焦點且過的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．6．從長度為1，3，6，9，10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的方程為，點，分別在雙曲線的左支和右支上，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則（

）A．兩人都中靶的概率為0.12 B．兩人都不中靶的概率為0.42C．恰有一人中靶的概率為0.46 D．至少一人中靶的概率為0.749．某校組織全體學(xué)生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（

）A．直方圖中x的值為0.004B．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為10C．估計全校學(xué)生的平均成績不低于80分D．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分10．正方體，是線段（不含端點）上的點.記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．二、填空題11．?dāng)?shù)列滿足，，，則.12．樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是，第75百分位數(shù)是．13．為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積．14．如圖，，分別是雙曲線的兩個焦點，以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于、兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．15．在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，曲線的方程是，為上的任意一點.給出下面四個命題：①曲線關(guān)于軸對稱；②曲線上兩點間的最大距離為；③的取值范圍為；④曲線圍成的圖形的面積小于.則以上命題中正確的序號有.三、解答題16．某班倡議假期每位學(xué)生至少閱讀一本名著，為了解學(xué)生的閱讀情況，對該班所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：閱讀名著的本數(shù)12345男生人數(shù)31213女生人數(shù)13312（1）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生閱讀名著的平均本數(shù)；（2）若從閱讀5本名著的學(xué)生中任選2人交流讀書心得，求選到男生和女生各1人的概率；（3）試比較該班男生閱讀名著本數(shù)的方差與女生閱讀名著本數(shù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．17．如圖，在正方體中，正方體的棱長為2，為的中點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求到平面的距離．18．已知直線與圓相交于不同兩點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦若存在，求出的值，并求出此時線段的長；若不存在，請說明理由.19．已知拋物線過點，是拋物線的焦點，直線交拋物線于另一點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程和焦點的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點使，若存在請求出點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.20．已知橢圓經(jīng)過和兩點，點為橢圓C的右頂點，點P為橢圓C上位于第一象限的點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N．（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）比較的面積與的面積的大小，并說明理由．21．定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G為圓“”的“鉆石點”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點”（1）求點P所在曲線的方程.（2）已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點”.（?。┣笾本€的方程.（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點，對于任意的實數(shù)k，在y軸上是否存在一點W，使得y軸平分？若存在，求出點W的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】由向量，，且，得，則，則.故選C2．【答案】D【詳解】設(shè)過原點的切線為：即，又圓的圓心坐標(biāo)為，其半徑為，因為直線與圓相切，故圓心到直線的距離，解得或，因為切點在第二象限，故，所以，切線為：，故選D.3．【答案】B【詳解】分別從兩個袋子中隨機(jī)摸出一個球，共有16種情況，小球標(biāo)號相同的有4種，則摸出的兩個小球的標(biāo)號相同的概率是.故選B.4．【答案】D【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，由直線過點，得，解得，直線，由時，得點，由時，得點.對于A，直線的方程為，A正確；對于B，因，則，B正確；對于C，原點到直線的距離為，C正確；對于D，線段的中點不在直線上，D錯誤.故選D5．【答案】C【詳解】由橢圓方程可知，即焦點坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為.故選C.6．【答案】B【詳解】從長度為1，3，6，9，10的5條線段中任取3條，可能的情況有：共有10種可能，其中，能構(gòu)成三角形的只有共2種可能，故這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為故選:7．【答案】A【詳解】雙曲線的漸近線方程為，斜率為，依題意，點，分別在雙曲線的左支和右支上，所以直線的斜率的取值范圍是.故選A8．【答案】C【詳解】設(shè)甲中靶為事件，乙中靶為事件，則兩人都中靶的概率為，兩人都不中靶的概率為，恰有一人中靶的概率為，至少一人中靶的概率為.故選C9．【答案】C【詳解】由得，A錯；成績在區(qū)間[60，70）的頻率為，人數(shù)為，B錯；平均成績?yōu)椋珻正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分，則，解得，D錯．故選C．10．【答案】A【詳解】不妨設(shè)為的中點，連接交于，做的中點為，連接,經(jīng)過分析，從而可求出，進(jìn)而可比較三個角的大小.【詳解】解：如圖，不妨設(shè)為的中點，連接交于，做的中點為，連接，則面.設(shè)正方體的邊長為.由題意知.，，則；則；.因為，所以.故選:A.11．【答案】20【詳解】由，得，，.12．【答案】57【詳解】樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，從小到大排列為：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是，，第75百分位數(shù)是7．13．【答案】【詳解】拋物線的方程為，，可得，得焦點設(shè),根據(jù)拋物線的定義，得，即，解得，點在拋物線上，得n2=4×3=24,，的面積為．故答案為．14．【答案】【詳解】解：連接，因為是圓的直徑，所以，即，因為是等邊三角形，所以所以所以在中，由雙曲線的定義得即所以雙曲線的離心率為15．【答案】①③【詳解】對于①，在曲線上任取點，則關(guān)于軸的對稱點為，因，即，故曲線上的點關(guān)于軸對稱，即曲線關(guān)于軸對稱，故①正確；對于③，設(shè)，則，因，則，即，即，故，則，故③正確；對于④，設(shè)在曲線上，易得也在曲線上，即曲線上的點關(guān)于軸對稱，故曲線關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，曲線的方程可化為，則曲線與軸正半軸交于點與軸交于點，根據(jù)對稱性可得到曲線的大致圖象：曲線圍成的圖形的面積，故④錯誤；對于②，由③可知，根據(jù)曲線的圖象的對稱性可知，曲線上兩點間的最大距離為，故②錯誤.16．【答案】（1）3；（2）；（3）.【詳解】（1）女生閱讀名著的平均本數(shù)為本．（2）設(shè)事件從閱讀5本名著的學(xué)生中任取2人，其中男生和女生各1人．男生閱讀5本名著的3人分別記為，女生閱讀5本名著的2人分別記為．從閱讀5本名著的5名學(xué)生中任取2人，共有10個結(jié)果，分別是：，，，，，，，，，．其中男生和女生各1人共有6個結(jié)果，分別是：，，，，，．則．（3）男生閱讀名著的平均本數(shù)為，則，所以.17．【答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,（2）因為正方體的棱長為2，∴，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則|＝||＝，故直線與平面所成角的正弦值為．（3）∵，∴由（2）知，平面所的法向量為，∴平面，所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，18．【答案】（1）（2）存在，的長【詳解】（1）圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，∵直線與圓相交于不同兩點，∴，即，解得或.所以實數(shù)的取值范圍為.（2）∵為圓上的點，∴的垂直平分線過圓心，∴直線與直線垂直，又，∴，解得，符合（1）中的取值范圍，∴存在，使得過的直線垂直平分弦，此時直線的方程為，圓心到直線的距離，所以.19．【答案】（1）拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為（2）存在，且【詳解】（1）將代入得，所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.（2）存在，理由如下：直線的方程為，或，即.拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，，即，所以.即存在點使.20．【答案】（1），離心率；（2）相等，理由見詳解【詳解】（1）由題意可知，，，所以橢圓方程為，離心率；（2）設(shè)直線，令，得，直線，令，得，所以，所以

21．【答案】（1）（2）（?。áⅲ┐嬖冢驹斀狻浚?）因為點P為圓A的“黃金點”，所以，即，所以點P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點P所在曲線的方程為（2）（?。┮驗镻為圓B的“黃金點”，則所以，