/2025-2026學年度第一學期棉城中學高三級期中考試數(shù)學科試題（滿分150分）考試時間：120分鐘第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.3.2024年10月30日中國神舟十九號載人飛船成功發(fā)射，為了弘揚航天人頑強拼搏的精神，某校航天課外小組舉行了一次航天知識競賽，隨機抽取獲得了6名同學的分數(shù)（滿分30分）分別為：22，24，26，26，28，30，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）A.極差為8 B.平均數(shù)為26 C.眾數(shù)為26 D.分位數(shù)為274.若角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.5.如圖，平行四邊形是由斜二測畫法得到的水平放置的四邊形的直觀圖，，，則四邊形的面積（）A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，組成一個新的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.7.已知向量滿足，，與的夾角為，則（）A.2 B.4 C. D.8．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列運算正確的是（）A. B. C. D.10.下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的零點所在區(qū)間為C.函數(shù)與互為反函數(shù)D.函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)11.如圖，正方體的棱長為1，是的中點，則（）A.B.三棱錐的體積為C.三棱錐的外接球的表面積為D.由三點確定的平面與正方體相交形成的截面周長為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.已知函數(shù)，則______．13.在的展開式中，含的項的系數(shù)是______．（請用具體數(shù)字作答）14.若動點到定點的距離與它到直線的距離相等，則動點的軌跡是什么？某學生認為：“平面內(nèi)到一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡是拋物線．”并由此判斷動點的軌跡是拋物線．請問該學生的判斷是否正確？______（填“正確”或“錯誤”），點的軌跡方程是：______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角的對邊分別為，且，．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．16.設(shè)函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，且，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18.某強基計劃試點高校為選拔基礎(chǔ)學科拔尖人才，對考生設(shè)置兩項能力測試：學科知識整合能力指標（考察數(shù)學、物理等學科知識的交叉應用）和創(chuàng)新思維能力指標（考察邏輯推理、問題建模等能力）．隨機抽取5名考生的測試結(jié)果如表：6891223456（1）若學科知識整合能力指標的平均值，（?。┣蟮闹?；（ⅱ）求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并估計學科知識整合能力指標為14時的創(chuàng)新思維能力指標；（附：經(jīng)驗回歸方程中和的最小二乘估計分別為），（2）現(xiàn)有甲、乙兩所試點高校的強基計劃筆試環(huán)節(jié)均設(shè)置了三門獨立考試科目，每門科目通過情況相互獨立；甲高校：每門科目通過的概率均為，通過科目數(shù)記為隨機變量；乙高校：第一門科目通過概率為，第二門科目通過概率為，第三門科目通過概率為，通過科目數(shù)記為隨機變量；若以筆試環(huán)節(jié)通過科目數(shù)的期望為決策依據(jù)，分析考生應選擇報考哪所高校．19.已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，、是上的兩點．（1）求的標準方程；（2）若線段的中點為，求直線的方程；（3）若（不在直線上），證明：直線過定點．

2025－2026學年度第一學期棉城中學高三級數(shù)學科期中考試題參考答案與評分標準題號1234567891011答案CBDACBCDACDABCACD1.C【詳解】由，又，．選：C．2.B【詳解】，，．選：B．3.D【詳解】極差為，眾數(shù)為26，A，C正確；平均數(shù)為，B正確；又，分位數(shù)為第5位數(shù)，即為28，D錯誤；選：D．4.A【詳解】由題意得角的終邊經(jīng)過點，結(jié)合任意角三角函數(shù)的定義得，，由二倍角公式得，A正確．∴選：A．5.C【詳解】∵四邊形是平行四邊形，且，，∴平行四邊形面積．根據(jù)直觀圖與原圖面積關(guān)系，．選：C．6.B【詳解】設(shè)公差為，則，，．選：B．7.C【詳解】法一：，即；法二：由向量減法的幾何意義和已知條件易知，如圖，若，，，，，則，，．選：C．8.D【詳解】∵函數(shù)有3個零點，有三個實根，即直線與函數(shù)的圖象有三個交點．作出函數(shù)圖象，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是．∴選：D．9.ACD【詳解】對于A：，A選項正確；對于B：，B選項錯誤；對于C：，C選項正確；對于D：，D選項正確；∴選：ACD．10.ABC【詳解】A選項：函數(shù)，當時，取最小值為1，函數(shù)的值域為，A選項正確；B選項：∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)至多有一個零點，且，，其零點所在區(qū)間為，B選項正確；C選項：，即，可得，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項正確；D選項：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項錯誤；∴選：ABC．11.ACD【詳解】對于A，，，，平面，平面，平面，又平面，，A正確；對于B：三棱錐的體積，B錯誤；對于C，三棱錐的外接球等價于正方體外接球，設(shè)其半徑為，其直徑等于正方體體對角線長：，則所求外接球的表面積為，C正確．對于D，如圖，過三點確定的平面與正方體相交形成的截面為等腰梯形，為的中點（平行則四點共面），∴等腰梯形周長為，D正確．∴選：ACD．12.【詳解】，，．答案為：．13.24【詳解】展開式的通項為，展開式中含的項為，展開式中的系數(shù)為24，∴答案為：24．14.錯誤【詳解】空一：拋物線是指平面內(nèi)與一定點和一定直線（定直線不經(jīng)過定點）的距離相等的點的軌跡，其中定點叫拋物線的焦點，定直線叫拋物線的準線．題設(shè)中“某學生”的解答依據(jù)忽視了“定直線不經(jīng)過定點”這一關(guān)鍵點，因而導致錯誤．空二：法一：設(shè)點，由題意得：，兩邊平方整理得，即：，，∴點的軌跡是一條直線，該直線方程為．法二：作出圖形可知，直線過點，∴可得點的軌跡是一條經(jīng)過且與垂直的一條，直線．的軌跡為，化簡，得．15.【詳解】（1），中，由余弦定理得．，．（2），由正弦定理得．【定理1分＋結(jié)果1分】且，代入得．解得，，．【關(guān)鍵步驟結(jié)果正確，步驟少量缺失不扣分】的面積．【列式1分＋結(jié)果1分】16.【詳解】（1）為奇函數(shù)【不寫要扣分】證明：易知的定義域，關(guān)于原點對稱，【不寫對稱不扣分】且，為奇函數(shù)．（2）證明：任取且，則，．．．∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．17.【詳解】（1）平面，平面，則．，即．，平面，平面，平面．（2）平面，，、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，【不作圖扣分】，，，、、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，取，可得．，取，可得．設(shè)所求夾角為，則．∴平面與平面夾角的余弦值為．18.【詳解】（1）（?。┯杀砀駭?shù)據(jù)可得，解得．（ⅱ），．．．∴所求經(jīng)驗回歸方程為．當時，，∴當學科知識整合能力指標為14時，創(chuàng)新思維能力指標的預測值為7.5；（2）該考生通過甲高校的考試科目數(shù)為，則．則．設(shè)該考生通過乙高校的考試科目數(shù)為，則的所有可能取值為．，，，．【每個概率1分】．∴該考生更應報考乙高校．19.【詳解】（1），．，的標準方