/2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科第三次考試（選擇性必修一、二第四章人教版）命題人：姜磊審核人：姜磊一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分共40分）1．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，則（）A．205 B．410 C．230 D．4602．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A．18 B．21 C．24 D．273．已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知為橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．的面積為，則的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為（

）A． B． C． D．5．已知直線截圓所得的弦長(zhǎng)為4，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．6．已知平面的法向量，且點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．在數(shù)列中，，.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．1325 B．1300 C．1350 D．1375多選題(每小題6分，部分選對(duì)無錯(cuò)選得2分，共18分）9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的有（

）A．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B．若空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．若空間向量滿足，則與夾角為鈍角D．若空間向量，則在上的投影向量為10．已知數(shù)列滿足，記為其前項(xiàng)和，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．為遞減的等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，取得最大值D．使得成立的最小正整數(shù)的值為2311．已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1填空題(每小題5分，共15分）12．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.13．已知向量，向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．在數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式為．解答題（15題13分，16，17題15分，18、19題17分，共77分）15．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.16．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.圓為的外接圓.(1)求圓的方程；(2)若直線，求證：不論為何值，直線與圓相交.17．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．18．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點(diǎn)．(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．19．已知橢圓，分別是的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)均在上，且點(diǎn)是第一象限點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線均經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的離心率；(2)若，直線的方程；(3)求證：為定值．參考答案題號(hào)12345678910答案ABABAAABBDABD題號(hào)11答案ABC1．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)得出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】因?yàn)?，所以，由等差?shù)列的性質(zhì)得，所以．故選：A．2．B【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得，即可得結(jié)果.【詳解】已知數(shù)列是等比數(shù)列，又，則公比，，故選：B3．A【分析】?jī)蓤A方程作差得到公共弦所在直線方程，再利用垂徑定理及勾股定理計(jì)算可得.【詳解】圓，即的圓心，半徑；圓，即的圓心，半徑，而，，則兩圓相交，其公共弦所在方程為，點(diǎn)到的距離，所以.故選：A4．B【分析】結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)及橢圓中三角形的面積確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，設(shè)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為，因?yàn)椋业拿娣e為，則.所以.故選：B.5．A【分析】求出圓心到直線的距離，以及圓的半徑，利用垂徑定理列方程即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得，解得，滿足.故選：A.6．A【分析】利用空間向量法，即公式，求點(diǎn)面距離即可得解.【詳解】由題意得，點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.7．A【分析】易知焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形重心性質(zhì)以及拋物線焦半徑公式可知.【詳解】設(shè)，拋物線，則，焦點(diǎn)恰好是的重心，則，故．故選：A．8．B【分析】按n為奇數(shù)，偶數(shù)分類，然后結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)，由題可得，即數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則；當(dāng)為偶數(shù)，由題可得，即數(shù)列所有相鄰偶數(shù)項(xiàng)和為1，則，從而.故選：B9．BD【分析】根據(jù)條件，可得，根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系，分析即可判斷A的正誤；根據(jù)四點(diǎn)共面的定理，可判斷B的正誤；根據(jù)夾角公式，即可判斷C的正誤；根據(jù)投影向量的求法，代入數(shù)據(jù)，即可判斷D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，則，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；選項(xiàng)C：若，則，所以與夾角為鈍角或平角，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：在上的投影向量為，故D正確.故選：BD10．ABD【分析】設(shè)出首項(xiàng)和公差，并結(jié)合題意得到，進(jìn)而判斷A，利用等差數(shù)列的求和公式并結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷B，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C，結(jié)合題意建立不等式，進(jìn)而得到且，從而判斷D即可.【詳解】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，因?yàn)椋?，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則，解得，對(duì)于A，可得，故A正確，對(duì)于B，由等差數(shù)列性質(zhì)得，則，，可得，而，則為遞減的等差數(shù)列，故B正確，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以為遞減的等差數(shù)列，則的前11項(xiàng)均為正，從第12項(xiàng)起為負(fù)，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，則，而，可得，且，解得，則使得成立的最小正整數(shù)的值為23，故D正確.故選：ABD11．ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對(duì)于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問題里面的應(yīng)用.12．【分析】利用的關(guān)系，作差求出后檢驗(yàn)首項(xiàng)即可求解.【詳解】當(dāng)，故，當(dāng)不符合上式，故，故答案為：.13．【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角得向量數(shù)量積大于0且兩向量不共線，列出不等式組，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，解得；當(dāng)，則，此時(shí)，舍去.綜上，的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】將，代入已知化簡(jiǎn)可得，即可得出為等差數(shù)列，求出.即可求得時(shí)，.代入檢驗(yàn)不滿足，即可得出答案.【詳解】由已知.當(dāng)時(shí)，.由已知可得，整理可得.顯然，所以有，所以，為以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，時(shí)，，不滿足.所以，.故答案為：.15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量運(yùn)算求出，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求得，得證.【詳解】（1）由題意等差數(shù)列中，，，設(shè)公差為，可得，解得，故.（2）由（1）可得，故.因?yàn)?，所以，得證.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)圓的方程為一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）判斷出直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)可得答案.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，因?yàn)樵趫A上，所以，解得，滿足，所以圓的方程為；（2）直線，對(duì)于，可得，解得，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以不論為何值，直線與圓總相交.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目條件列出等式求出公比和首項(xiàng)，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求出其前項(xiàng)和為，即可得證【詳解】（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，整理可得，所以公比.由，可得，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以，則，，上面兩式相減可得，所以.又因?yàn)椋裕?8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG，易得四邊形ADCG為邊長(zhǎng)為1的正方形，得到，再由，從而證得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，易知為平面PAC的一個(gè)法向量，再求得平面EAC的一個(gè)法向量，由，求得，從而得到求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：因?yàn)镻C⊥底面ABCD，AC底面ABCD，所以，又，在中，，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG，則四邊形ADCG為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，且，則，所以，又，所以平面PBC，又平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以平面PAC，則為平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，解得，則，設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為，則，所以直線PA與平面EAC所成的角的正弦值為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求解；（2）設(shè)，得到，由，代入求得，結(jié)合，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（3）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，，同理求得，，結(jié)合