/高三數(shù)學第二次月考試題2026.1一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.3.橢圓上一動點，總滿足關系式，橢圓的離心率為（）A. B. C. D.4.已知甲罐中有四個相同小球，標號為，乙罐中有三個相同的小球，標號為，從甲罐?乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于5”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（）A.事件發(fā)生的概率為B.事件相互獨立C.事件是互斥事件D.事件發(fā)生的概率為5.已知圓，若圓C上有且僅有一點P使，則正實數(shù)a的取值為（）A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或56.的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.7.已知則等于A.2 B.3 C.4 D.68.若關于的不等式恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的是（）A.方差、標準差、極差均能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度B.數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為C.若一組樣本數(shù)據(jù)的樣本點都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為D.若隨機變量，且，則10．在平面四邊形中，點D為動點，的面積是面積的2倍，又數(shù)列滿足，當時，恒有，設的前項和為，則（

）A．為等比數(shù)列B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．11.數(shù)學中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點為，右頂點為，曲線上的點滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點，過作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（）A.曲線由兩條拋物線的一部分組成B.線段的長度與點到直線的距離相等C.若線段的長度為，則直線的斜率為D.若，則直線的斜率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.4名同學到A?B?C三個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，且同學甲安排在A小區(qū)，則共___________有種不同的安排方案.13.已知函數(shù)（）的最小正周期不小于，且恒成立，則的值為____________．14.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都有且只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù).若函數(shù)圖象的對稱中心點為，且不等式對任意恒成立，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足.（1）分別求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足，．（1）求B；（2）若D，E為線段上的兩個動點，且滿足，，求的取值范圍．17.某種量子加密技術(shù)所用光子有兩種指向：“0指向”和“1指向”，光子的發(fā)送和接收都有A?B兩種模式.當發(fā)送和接收模式相同時，檢測器檢測到的光子指向信息與發(fā)送信息一致，否則檢測出相異的指向信息.現(xiàn)發(fā)射器以A模式，從兩個“1指向”?兩個“0指向”的光子中隨機選擇兩個依次發(fā)送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分別為和每次發(fā)送和接收相互獨立.（1）求發(fā)射器第1次發(fā)送“0指向”光子的條件下，第二次發(fā)送“1指向”光子的概率；（2）記發(fā)射器共發(fā)射“0指向”光子個數(shù)為X，求X的分布列.18.在平面直角坐標系xOy中，動點M到點的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點M軌跡W的方程；（2）過點F的兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若且，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．高三數(shù)學第二次月考試題答案1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C2.若復數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的乘方、除法化簡復數(shù)z，結(jié)合共軛復數(shù)的定義寫出，即可得答案.【詳解】由，則，所以.故選：B3.橢圓上一點在運動過程中，總滿足關系式，那么該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義式判斷橢圓的焦點位置，求出的值即可求出離心率.【詳解】由題意，可知橢圓的焦點在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.4.已知甲罐中有四個相同的小球，標號為，乙罐中有三個相同的小球，標號為，從甲罐?乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于5”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（）A.事件發(fā)生的概率為 B.事件相互獨立C.事件是互斥事件 D.事件發(fā)生的概率為【答案】B【解析】【分析】寫出樣本空間以及各個事件所包含的基本事件，結(jié)合古典概型概率計算公式、獨立事件以及互斥事件的概念即可逐一判斷各個選項.【詳解】從甲罐?乙罐中分別隨機抽取1個小球，設甲罐中抽取小球的標號為，乙罐中抽取小球的標號為，則的所有可能為：，共12種可能，事件“抽取的兩個小球標號之和大于5”包含的基本事件有：，共3種可能，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”包含的基本事件有：，共7種可能，對于A，事件發(fā)生的概率為，故A不符合題意；對于BC，，而不可能同時發(fā)生，這意味著事件是互斥事件，即，故，即事件不相互獨立，故B符合題意，C不符合題意；對于D，事件發(fā)生的概率為，故D不符合題意.故選：B.5.已知圓，若圓C上有且僅有一點P使，則正實數(shù)a的取值為（）A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知：點P的軌跡為以的中點為圓心，半徑的圓，結(jié)合兩圓的位置關系分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，且，因為，可知點P的軌跡為以線段的中點為圓心，半徑的圓，又因為點P在圓上，可知圓與圓有且僅有一個公共點，則或，即或，解得或.故選：D6.的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出展開式的通項，再通過令通項中的次數(shù)等于，求出對應的值，最后將值代入通項求出系數(shù).【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為，故選：C.7.已知則等于A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式及同角關系式求得的值，然后利用對數(shù)的運算法則即得.【詳解】，，，，，，.故選：C.8.若關于的不等式恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因式分解可得，利用導數(shù)可得，從而可得恒成立，因為，在上均單調(diào)遞增，結(jié)合已知可得，計算可求得.【詳解】可化為，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以恒成立.令，則的定義域為，令，得或，易知函數(shù)，在上均單調(diào)遞增，則，所以，（點撥：因為恒成立，所以與同正同負，又與的單調(diào)性一樣且都有零點，所以兩函數(shù)的零點相等）則，當且僅當，時，取得最小值.故選：B.9.下列命題中，正確的是（）A.方差、標準差、極差均能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度B.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為C.若一組樣本數(shù)據(jù)的樣本點都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為D.若隨機變量，且，則【答案】AD【解析】【分析】利用方差、極差的意義判斷A；計算百分位數(shù)判斷B；利用相關系數(shù)判斷C；利用正態(tài)分布的概率計算判斷D.【詳解】對于A，方差、標準差、極差均能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，A正確；對于B，計算第百分位數(shù)：數(shù)據(jù)個數(shù)為，，為整數(shù)，則第百分位數(shù)是第個數(shù)與第個數(shù)的平均值，即，B錯誤；對于C，樣本點都在直線上，說明變量呈完全正線性相關，相關系數(shù)，C錯誤；對于D，由知正態(tài)曲線關于對稱，，結(jié)合，代入得，又，解得，則，由對稱性，D正確.故選：AD.10．BD【詳解】如圖，連交于，則，即，所以，所以，所以，設，因為當時，恒有，所以，，所以當時，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因為不是常數(shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；因為，即，所以為遞減數(shù)列，故B正確；因為不是常數(shù)，所以不為等差數(shù)列，故C不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD11.數(shù)學中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點為，右頂點為，曲線上的點滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點，過作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（）A.曲線由兩條拋物線的一部分組成B.線段的長度與點到直線的距離相等C.若線段的長度為，則直線的斜率為D.若，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，根據(jù)題干列出等式即可判斷；對于選項B，利用拋物線的定義即可判斷，對于選項C，利用焦半徑公式列出等式即可判斷，對于選項D，由焦半徑，又因為可得，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A選項，設曲線上任意一點，由定義可知，滿足，移項，平方可得：，即，為兩條拋物線，故A正確；對于B選項，和直線分別為拋物線的焦點和準線，由拋物線定義可知，故B正確對于C選項，設與軸夾角為同時為拋物線和橢圓的焦點，，，解得，則，故C錯誤.對于D選項，易知為拋物線和的焦點，前者，后者分別為兩個拋物線的較短的焦半徑，因此，由于，則，因此，所以，故D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：拋物線的求解，一般利用定義和二級結(jié)論直接能夠列出等式求解.12.4名同學到A?B?C三個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，且同學甲安排在A小區(qū)，則共___________有種不同的安排方案.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意分為兩類：小區(qū)安排2人和小區(qū)只安排同學甲1人，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：（1）小區(qū)安排2人，其中一人為甲同學，共有種不同的安排方法；（2）小區(qū)只安排同學甲1人，共有種不同的安排方法，由分類計數(shù)原理，可得共有種不同的安排方案.故答案為：.13.已知函數(shù)（）的最小正周期不小于，且恒成立，則的值為____________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)的最小正周期不小于，得到，再根據(jù)，恒成立，得到的最大值為，可求出的值.【詳解】因為函數(shù)（）的最小正周期不小于，所以，即，解得：，因為恒成立，故的最大值為，所以，所以，因為，當時，.故答案為：1.14.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都有且只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù).若函數(shù)圖象的對稱中心點為，且不等式對任意恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】首先求得，，而原不等式等價于，可以利用不等式放縮即可求解.【詳解】，因為圖象的對稱中心點為，所以，所以，由，所以，原不等式為，因為，所以，設，則，當時，，當時，，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，即，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，所以其最小值為，故.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到恒成立，結(jié)合切線放縮不等式即可順利得解.15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足.（1）分別求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設數(shù)列的公差、公比，根據(jù)基本量運算列出方程組，求解即得的值，利用等差、等比數(shù)列的通項公式計算即得；（2）利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項和的公式計算即得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，依題意，解得，所以.小問2詳解】設等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，因為，所以數(shù)列的前n項和為.16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足，．（1）求B；（2）若D，E為線段上的兩個動點，且滿足，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面積公式，即可利用三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】∵∴,在中，∴∴，又在中，∴，∴∵，∴【小問2詳解】∵，∴∵，∴或又，所以，故，，由正弦定理可得,故，設，其中，則，在中，由正弦定理可得則在中，由正弦定理可得則．∴的面積∵，則∴，即∴．17.某種量子加密技術(shù)所用光子有兩種指向：“0指向”和“1指向”，光子的發(fā)送和接收都有A?B兩種模式.當發(fā)送和接收模式相同時，檢測器檢測到的光子指向信息與發(fā)送信息一致，否則檢測出相異的指向信息.現(xiàn)發(fā)射器以A模式，從兩個“1指向”?兩個“0指向”的光子中隨機選擇兩個依次發(fā)送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分別為和每次發(fā)送和接收相互獨立.（1）求發(fā)射器第1次發(fā)送“0指向”光子的條件下，第二次發(fā)送“1指向”光子的概率；（2）記發(fā)射器共發(fā)射“0指向”光子個數(shù)為X，求X的分布列.【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）分別求出事件：“發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”的光子”和事件：“發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”的光子且第二次發(fā)送“1指向”的光子”的概率，應用條件概率計算即可.（2）應用古典概型求解事件的概率，即可寫出X的分布列.【小問1詳解】設事件“發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”的光子”，事件“第二次發(fā)送“1指向”的光子”，則，由條件概率公式，；【小問2詳解】由題意：，，所以的分布列為：01218.在平面直角坐標系xOy中，動點M到點的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點M軌跡W的方程；（2）過點F兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）直線PQ過定點．【解析】【分析】（1）設M，由已知得，進行化簡即可.（2）設直線的方程為、，分別與W的方程聯(lián)立得P的坐標為及Q的坐標為，再求出直線PQ的方程，利用，即可