/2025-2026學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)天山中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.α和β是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可判定平面α和β平行的是(

)A.α和β都垂直于同一平面

B.α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等

C.l，m是平面α內(nèi)的直線且l//β，m//β

D.l，m是兩條異面直線且l//α2.已知雙曲線C:x2a2A.y=±22x B.y=±3.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且AnA.2 B.3 C.4 D.54.已知函數(shù)f(x)=|log5(1?A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.對(duì)于復(fù)數(shù)z=i(1?i)(i是虛數(shù)單位)6.已知log2(x?2)≤1，則x的范圍為7.已知正數(shù)a，b滿足ab=2，則2a+8.若二項(xiàng)式(x+39.已知α∈{?2,?1,?12,12,1,2,3}，若冪函數(shù)f(10.某運(yùn)動(dòng)員在某次男子氣手槍射擊比賽中12次的比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)(單位：環(huán))為：9.6，9.9，9.2，9.4，9.9，10.1，10.2，9.7，9.6，9.3，10.0，10.4，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為

.11.函數(shù)f(x)=12.已知函數(shù)y=f(x)的定義域D={1,2,3,4}，值域A={5,6,7}13.已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2，a?14.將棱長(zhǎng)為2的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為

.15.已知函數(shù)f(x)=(x2?3x16.我校南門(mén)有條長(zhǎng)600米，寬6米的道路(如圖1所示的矩形ABCD)，路的一側(cè)劃有120個(gè)長(zhǎng)5米，寬2.5米的停車位(如矩形AEFG)，由于停車位不足，放學(xué)時(shí)段道路擁堵，學(xué)校保安李師傅提出一個(gè)改造方案，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過(guò)壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來(lái)增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度AM=3(米)，停車位相對(duì)道路傾斜的角度∠E′A′M=三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

已知集合A={x|xx?2>2}，B={x|0<2x?a<4}.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求18.(本小題14分)

如圖，是一個(gè)半圓柱與多面體ABB1A1C構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且AC⊥BC，P為弧A1B1上(不與A1，B1重合)的動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：PA1⊥平面19.(本小題16分)

A校高一年級(jí)共有學(xué)生440名，為了解該校高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生，其中女生40名，男生48名，測(cè)量他們的身高.

(1)該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？

(2)現(xiàn)有學(xué)生會(huì)成員20人，其中男生12人女生8人，從中抽取5名學(xué)生，求男生比女生人數(shù)多的概率；

(3)在40名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，錯(cuò)將165cm記錄為156cm，由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)求得這40個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161cm，方差為23.6875，求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差.(平均數(shù)結(jié)果保留精確值，方差結(jié)果精確到0.01)20.(本小題18分)

設(shè)橢圓Γ:x2a2+y2=1(a>1)，Γ的離心率是短軸長(zhǎng)的24倍，直線l交Γ于A、B兩點(diǎn)，C是Γ上異于A、B的一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)若直線l過(guò)Γ的右焦點(diǎn)F，且CO=OB，CF?AB21.(本小題18分)

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)，對(duì)于r>0，定義Sr={x|x2+f2(x)≤r2}.

(1)設(shè)f(x)=2x+1，求S1；

(2)設(shè)f(x)=4x2+a答案和解析1.【答案】D

【解析】解：利用排除法：對(duì)于A：如圖所示

對(duì)于B：α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等，必須是α內(nèi)不共線的三點(diǎn)在β的同側(cè)．

對(duì)于C：l，m是α內(nèi)的兩條直線且l//β，m//β，l和m不是平行直線．

故選：D

2.【答案】A

【解析】解：已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形及雙曲線的對(duì)稱性可得tan30°=bc，

所以c=3b，3.【答案】D

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得：

anbn=2an2bn=a1+a2n?1b14.【答案】A

【解析】解：由基本不等式可得，

x+1x?2≥0或x+1x?2≤?4；

作函數(shù)f(x)=|log5(1?x)|(x<1)?(x?2)2+2(x≥1)的圖象如下，

①當(dāng)a>2時(shí)，x+1x?2<?24或2425<x+1x?2<1，

故方程f(x+1x?2)=a的實(shí)根個(gè)數(shù)為4；

②當(dāng)a=2時(shí)，x+1x?2=?24或x+1x?2=2425或x+1x?2=2，

故方程f(x+1x?2)=a的實(shí)根個(gè)數(shù)為6；

③當(dāng)1<a<2時(shí)，?24<x+1x?2<?4或45<x+15.【答案】1

【解析】解：復(fù)數(shù)z=i(1?i)=1+i，則Imz=1.6.【答案】(2,4]

【解析】解：由題意可得，0<x?2≤2，

解得2<x≤4.

故答案為：(2,4].7.【答案】4

【解析】解：∵正數(shù)a，b滿足ab=2，

∴2a+b≥22ab=4，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=1，b=28.【答案】54

【解析】解：令x=1，有4n=256，

解得n=4，所以展開(kāi)式通項(xiàng)為：Tk+1=3kC4kx4?2k，

令9.【答案】?1

【解析】【分析】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

由冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù)，且在(0,+∞)【解答】

解：∵α∈{?2,?1,?12,12,1,2,3}，

冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù)，且在(0,+∞)上遞減，

∴α<0，

當(dāng)α是整數(shù)時(shí)，α10.【答案】9.6

【解析】解：數(shù)據(jù)從小到大排序，9.2，9.3，9.4，9.6，9.6，9.7，9.9，9.9，10.0，10.1，10.2，10.4，共12個(gè)，

12×30%=3.6，

故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為9.6.

故答案為：9.6.

先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．

本題主要考查百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】[?【解析】解：∵f(x)=sinx?cos(x+π6)

=sinx?12.【答案】112【解析】解：函數(shù)y=f(x)的定義域D={1,2,3,4}，值域A={5,6,7}，

相當(dāng)于把1，2，3，4分成3組，每一組對(duì)應(yīng)5，6，7中的一個(gè)數(shù)，

所以對(duì)應(yīng)關(guān)系一共有C42A33=36種，即這樣的函數(shù)f(x)共有36個(gè)，

其中，若函數(shù)13.【答案】2【解析】解：由a?b=(3,2)，

則|a?b|=5，

即a214.【答案】2π【解析】解：如圖，

正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則△ABC為正三角形，且邊長(zhǎng)為2，

不放繞AB旋轉(zhuǎn)，所得圖形是共底面兩圓錐的組合體，

底面圓的半徑為3，一個(gè)圓錐的高為1.

則幾何體的體積為V=13×π×(15.【答案】(0,5【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x2?3x+1)ex?a恰有三個(gè)零點(diǎn)，

所以(x2?3x+1)ex=a恰有三個(gè)實(shí)根，

令g(x)=(x2?3x+1)ex，

所以g′(x)=(x?2)(x+1)ex，

當(dāng)x<?1或x>2時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)?1<x<2時(shí)，16.【答案】71

【解析】解：停車位相對(duì)道路傾斜的角度∠E′A′M=θ，A′E′=AE=52，E′F′=EF=5，

依題意，∠AE′F′=∠MA′E′=θ，AM=E′E?AE+ME′=E′F′cosθ?AE+A′E′sinθ，

則AM=5cosθ+52sinθ?52，而AM=3，于是3=5cosθ+52sinθ?52，

整理得sinθ=11?10cosθ5，又sin2θ+cos2θ=1，因此17.【答案】(1)A?∩B={x|1<【解析】解：(1)不等式xx?2>2可化為：?x+4x?2>0，

即x?4x?2<0，

等價(jià)于(x?2)(x?4)<0，

解得2<x<4，

所以集合A={x|2<x<4}，

所以A?={x|x≤2或x≥4}，

當(dāng)a=2時(shí)，B={x|0<2x?2<4}={x|1<x<3}，

所以A?∩B={x|1<x≤2}，

又因?yàn)锽?={x|x≤1或x≥3}，

所以A∪B18.【答案】證明：(1)在半圓柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA.

因?yàn)锳1B1是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑，

所以PA1⊥PB1.

因?yàn)镻B1∩BB1=B1，PB1?平面PBB1，BB1?PBB1，

所以PA1⊥平面PBB1.

解：(2)根據(jù)題意以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz如圖所示，

設(shè)CB【解析】(1)推導(dǎo)出BB1⊥PA，PA1⊥PB1，由此能證明PA1⊥19.【答案】(1)男生人數(shù)240人，女生人數(shù)為200人

(2)0.704

(3)23.41

【解析】解：(1)由題意可得男生所占4888=611，可得高一男生人數(shù)為：440×611=240，

女生人數(shù)為440?240=200；

(2)由題意當(dāng)男生為3，4，5人時(shí)，則男生比女生多，

所以男生比女生人數(shù)多的情況為：C125+C124?C81+C123?C81=792+3960+6162=10912，

所有的情況為C205=15504，

所以男生比女生人數(shù)多的概率為1091215504≈0.704；

(3)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的總和為161×40=6440cm，少記了165?156=9cm20.【答案】解：(1)因?yàn)闄E圓Γ的離心率是短軸的長(zhǎng)的24倍，

所以a2?1a=22，

即2(a2?1)=a，

又a>1，

解得a=2，

則橢圓Γ的方程為x22+y2=1；

(2)不妨設(shè)Γ的左焦點(diǎn)為F1，連接CF1，

因?yàn)镃O=OB，

所以B，C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

因?yàn)镃F?AB=0，

所以CF⊥AB，

由橢圓的對(duì)稱性得CF⊥CF1，

且三角形OCF1與三角形OBF全等，

所以S△CBF=S△CF1F=12|CF1|?|CF|，

因?yàn)閨CF1|+|CF|=22|CF1|2+|CF|2=|F1F|2=4，

解得|CF1|?|CF【解析】(1)由題意，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)而可得橢圓的方程；

(2)設(shè)Γ的左焦點(diǎn)為F1，連接CF1，利用向量的運(yùn)算以及橢圓的定義和對(duì)稱性推出|CF1|?|CF|=2，再代入三角形面積公式中即可求解；

(3)設(shè)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算得到x0=?(x1+x21.【答案】解：(1)由題設(shè)S1={x|x2+(2x+1)2≤1}，將x2+(2x+1)2≤1化簡(jiǎn)得5x2+4x≤0，

解得x∈[?45,0]，故S1=[?45,0].x(?∞,??(?0(0,t(g-0+0-0+g↘極小值↗極大值↘極小值↗由此x=0是函數(shù)y=g(x)的極大值點(diǎn)，故當(dāng)g(0)<0時(shí)，S1是一段閉區(qū)間，

因此a∈(?1,?18)，

特別地，當(dāng)a=?1時(shí)，g(t)<0，g(0)=0，g(?t)<0，故S1仍是一段閉區(qū)間，

故a∈[?1,?18).

當(dāng)a≥?18時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g′(x)=0.

同理，x=0是函數(shù)y=g(x)的極小值點(diǎn)，且取得最小值，

當(dāng)g(0)<0時(shí)，S1是一段閉區(qū)間，由此得a∈(?18,1)，

綜上所