甘肅省徽縣三中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則=（）A. B.C. D.3．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.4．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.5．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)6．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：37．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.8．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.9．若直線過(guò)點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線C上，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的傾斜角為_(kāi)_____14．在圓M：中，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)__________.15．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.16．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.18．（12分）已知的展開(kāi)式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求該展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；（2）求該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)且不平行于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）如圖長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.21．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說(shuō)明理由，22．（10分）在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】取AC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線距離為：.故選：D2、D【解析】利用公式計(jì)算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D3、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題4、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D5、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.6、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.7、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A8、C【解析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)A，，為奇函數(shù)；對(duì)B，，為奇函數(shù)；對(duì)C，，為偶函數(shù)；對(duì)D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.9、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A10、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A11、D【解析】依題意得點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，求即為最小值【詳解】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得，所以由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，又所以最小值為故選：D12、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由直線化為，故，又，故，故答案為【點(diǎn)睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是14、【解析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而可得點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得到過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦、最短弦弦長(zhǎng)，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦，又，所以最短弦，所以故答案為：15、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：16、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，結(jié)合，，成等比數(shù)列，列出方程求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)2詳解】解：由數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為.18、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令即可求解；（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即可解得的值，進(jìn)而可得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，要求展開(kāi)式中有理項(xiàng)，只需令，所以所以有理項(xiàng)有5項(xiàng)，（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即，即，解得：，因?yàn)椋曰蛩裕哉归_(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為和.【點(diǎn)睛】解二項(xiàng)式的題關(guān)鍵是求二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，求有理項(xiàng)需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)需要滿足第項(xiàng)的系數(shù)大于等于第項(xiàng)的系數(shù)，第項(xiàng)的系數(shù)大于等于第項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由橢圓所過(guò)點(diǎn)及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)并列出它們滿足的關(guān)系，利用點(diǎn)差法即可作答；（3）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理求得，，再結(jié)合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點(diǎn)，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點(diǎn)P，由(1)知，設(shè)直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點(diǎn)，，因?yàn)榈冗吶切危从?，，因此，，，從而得，整理得，無(wú)解，所以在y軸上不存在點(diǎn)，使得為等邊三角形.20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問(wèn)中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問(wèn)中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問(wèn)中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.21、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)過(guò)的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡(jiǎn)得