彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的EFG方法深度剖析與收斂性探究一、緒論1.1研究背景與意義在現(xiàn)代工程領(lǐng)域中，彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題廣泛存在，對工程結(jié)構(gòu)的性能和可靠性有著關(guān)鍵影響。在機械制造中，零件之間的接觸與摩擦直接關(guān)系到機械設(shè)備的運轉(zhuǎn)精度、能量損耗以及使用壽命。如發(fā)動機內(nèi)部的活塞與氣缸壁之間，在高溫、高壓和高速運動的條件下，它們的接觸狀態(tài)和摩擦特性不僅影響發(fā)動機的動力輸出效率，還決定了發(fā)動機的耐久性和穩(wěn)定性。若接觸分析不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致活塞與氣缸壁過度磨損，甚至引發(fā)故障，造成嚴(yán)重的經(jīng)濟損失。在航空航天領(lǐng)域，飛行器結(jié)構(gòu)部件在復(fù)雜的飛行環(huán)境下，面臨著各種載荷和溫度變化，部件之間的彈-粘塑性接觸行為對于飛行器的結(jié)構(gòu)完整性和安全性至關(guān)重要。機翼與機身連接部位，在飛行過程中承受著巨大的氣動力和振動載荷，其接觸狀態(tài)的微小變化都可能影響整個飛行器的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，進而危及飛行安全。在土木工程方面，橋梁、建筑等結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)與地基之間的接觸問題也涉及彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸。地基土的彈-粘塑性特性以及基礎(chǔ)與地基之間的摩擦作用，對建筑物的沉降、穩(wěn)定性和抗震性能有著深遠影響。若在設(shè)計和分析中未能準(zhǔn)確考慮這些因素，可能導(dǎo)致建筑物出現(xiàn)不均勻沉降，甚至發(fā)生倒塌事故。傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法在處理這類復(fù)雜的接觸問題時，存在一定的局限性。有限元法作為一種常用的數(shù)值方法，在處理接觸問題時，需要對接觸區(qū)域進行精細的網(wǎng)格劃分，這在復(fù)雜幾何形狀和大變形問題中，會導(dǎo)致網(wǎng)格畸變嚴(yán)重，從而影響計算精度和效率。而且有限元法依賴于網(wǎng)格，在網(wǎng)格重劃分過程中，不僅計算成本高昂，還容易引入誤差。相比之下，無網(wǎng)格伽遼金（Element-FreeGalerkin，EFG）方法具有獨特的優(yōu)勢。EFG方法基于移動最小二乘近似，不需要預(yù)先劃分網(wǎng)格，避免了網(wǎng)格畸變和網(wǎng)格重劃分的問題，能夠更靈活地處理復(fù)雜的幾何形狀和大變形問題。它通過在全域內(nèi)布置節(jié)點，利用節(jié)點信息構(gòu)建近似函數(shù)，使得在處理不規(guī)則區(qū)域和動態(tài)變化的接觸問題時具有更高的適應(yīng)性。在模擬物體的大變形過程中，EFG方法可以更準(zhǔn)確地捕捉物體的變形形態(tài)和接觸狀態(tài)的變化，為解決彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題提供了一種更有效的途徑。收斂性是數(shù)值方法的重要性能指標(biāo)之一，對于EFG方法在彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中的應(yīng)用，研究其收斂性具有至關(guān)重要的意義。收斂性分析能夠確保數(shù)值計算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。只有當(dāng)EFG方法在求解過程中具有良好的收斂性，才能保證隨著計算精度的提高（如增加節(jié)點數(shù)量、減小計算步長等），計算結(jié)果能夠逐漸逼近真實解。這對于工程實際應(yīng)用來說是至關(guān)重要的，因為不準(zhǔn)確的計算結(jié)果可能導(dǎo)致錯誤的工程決策，帶來嚴(yán)重的后果。收斂性研究有助于優(yōu)化計算參數(shù)，提高計算效率。通過分析不同參數(shù)（如節(jié)點分布、權(quán)函數(shù)選擇、基函數(shù)階數(shù)等）對收斂性的影響，可以找到最優(yōu)的計算參數(shù)組合，在保證計算精度的前提下，減少計算時間和資源消耗，提高計算效率。對EFG方法收斂性的深入研究，還能夠進一步完善該方法的理論體系，為其在更廣泛的工程領(lǐng)域中的應(yīng)用提供堅實的理論基礎(chǔ)，推動數(shù)值計算方法在解決復(fù)雜工程問題中的發(fā)展。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在彈-粘塑性體接觸問題的研究領(lǐng)域，國外學(xué)者開展了大量富有成效的工作。[學(xué)者姓名1]通過實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方式，對金屬材料的彈-粘塑性接觸行為進行了深入探究，揭示了在不同加載速率和溫度條件下，材料的粘塑性變形機制以及接觸應(yīng)力的分布規(guī)律。其研究成果為后續(xù)學(xué)者在該領(lǐng)域的研究提供了重要的實驗數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)。[學(xué)者姓名2]基于塑性力學(xué)理論，建立了考慮材料硬化和軟化特性的彈-粘塑性本構(gòu)模型，并將其應(yīng)用于接觸問題的求解中，有效提高了對復(fù)雜接觸行為的模擬精度。國內(nèi)方面，[學(xué)者姓名3]針對巖土材料的彈-粘塑性接觸特性，開展了一系列室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬研究，提出了適用于巖土工程的接觸模型，考慮了土體的非線性、非均勻性以及與結(jié)構(gòu)物之間的相互作用，為解決實際巖土工程中的接觸問題提供了有力的工具。[學(xué)者姓名4]在金屬成型過程中的彈-粘塑性接觸問題研究中，綜合考慮了材料的動態(tài)力學(xué)性能、摩擦條件以及模具與工件之間的復(fù)雜接觸關(guān)系，通過改進數(shù)值算法，實現(xiàn)了對金屬成型過程的高精度模擬，為優(yōu)化金屬成型工藝提供了理論支持。在Tresca摩擦模型的研究方面，國外研究起步較早。[學(xué)者姓名5]對Tresca摩擦模型的理論基礎(chǔ)進行了深入剖析，明確了其在描述材料屈服和塑性變形方面的適用條件和局限性。并通過大量的實驗數(shù)據(jù)驗證，完善了模型中的參數(shù)取值方法，使模型能夠更準(zhǔn)確地反映材料在摩擦作用下的力學(xué)行為。[學(xué)者姓名6]將Tresca摩擦模型與其他先進的摩擦理論相結(jié)合，提出了一種適用于多物理場耦合環(huán)境下的摩擦模型，拓展了Tresca摩擦模型的應(yīng)用范圍。國內(nèi)學(xué)者也在不斷探索Tresca摩擦模型的改進和應(yīng)用。[學(xué)者姓名7]針對傳統(tǒng)Tresca摩擦模型在處理復(fù)雜接觸界面時的不足，引入了微觀力學(xué)分析方法，考慮了接觸表面的微觀形貌和材料的微觀結(jié)構(gòu)對摩擦行為的影響，建立了微觀-宏觀相結(jié)合的Tresca摩擦模型，提高了模型對實際工程問題的模擬能力。[學(xué)者姓名8]在機械傳動系統(tǒng)的研究中，將Tresca摩擦模型應(yīng)用于齒輪、軸承等關(guān)鍵部件的接觸分析中，通過對摩擦系數(shù)的精確測定和模型參數(shù)的優(yōu)化，成功預(yù)測了部件在不同工況下的磨損和疲勞壽命，為機械傳動系統(tǒng)的可靠性設(shè)計提供了重要依據(jù)。關(guān)于EFG方法的應(yīng)用研究，國外在該領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位。[學(xué)者姓名9]首次將EFG方法應(yīng)用于固體力學(xué)問題的求解，詳細闡述了EFG方法的基本原理、數(shù)值實現(xiàn)過程以及在處理復(fù)雜邊界條件時的優(yōu)勢，為EFG方法在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。[學(xué)者姓名10]在EFG方法的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展了自適應(yīng)無網(wǎng)格伽遼金方法，能夠根據(jù)計算過程中物理量的變化自動調(diào)整節(jié)點分布和近似函數(shù)的階數(shù)，顯著提高了計算效率和精度，在求解大型復(fù)雜工程問題中展現(xiàn)出了強大的優(yōu)勢。國內(nèi)學(xué)者在EFG方法的應(yīng)用研究方面也取得了豐碩的成果。[學(xué)者姓名11]將EFG方法應(yīng)用于求解熱-結(jié)構(gòu)耦合問題，建立了基于EFG方法的熱-結(jié)構(gòu)耦合有限元模型，成功模擬了在溫度場和機械載荷共同作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為解決航空航天、能源等領(lǐng)域中的熱-結(jié)構(gòu)耦合問題提供了新的途徑。[學(xué)者姓名12]針對EFG方法在處理大變形問題時存在的穩(wěn)定性問題，提出了一種改進的EFG算法，通過引入穩(wěn)定化項和優(yōu)化權(quán)函數(shù)，有效提高了EFG方法在大變形分析中的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，拓寬了EFG方法的應(yīng)用范圍。盡管國內(nèi)外學(xué)者在彈-粘塑性體接觸問題、Tresca摩擦模型以及EFG方法應(yīng)用等方面取得了眾多成果，但仍存在一些不足之處。在彈-粘塑性體接觸問題研究中，對于復(fù)雜材料微觀結(jié)構(gòu)與宏觀力學(xué)行為之間的關(guān)系尚未完全明確，導(dǎo)致在建立高精度的本構(gòu)模型時存在困難。在Tresca摩擦模型方面，雖然已進行了諸多改進，但在考慮多因素耦合作用下的摩擦行為時，模型的準(zhǔn)確性和通用性仍有待提高。而EFG方法在實際應(yīng)用中，節(jié)點的分布方式和權(quán)函數(shù)的選擇等關(guān)鍵參數(shù)對計算結(jié)果的影響規(guī)律尚未完全清晰，缺乏系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化方法，這在一定程度上限制了EFG方法的計算效率和精度的進一步提升。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要聚焦于彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題，深入探究EFG方法在此類問題中的應(yīng)用以及收斂性分析，具體內(nèi)容如下：彈-粘塑性體及Tresca摩擦接觸理論分析：深入剖析彈-粘塑性體的本構(gòu)關(guān)系，明確其在不同應(yīng)力狀態(tài)和加載速率下的力學(xué)行為特點。對Tresca摩擦模型進行詳細的理論推導(dǎo)，闡述其在描述接觸界面摩擦行為時的基本假設(shè)、適用條件以及與實際工程問題的契合度，為后續(xù)的數(shù)值模擬和分析奠定堅實的理論基礎(chǔ)。EFG方法在彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中的應(yīng)用：基于移動最小二乘近似原理，系統(tǒng)闡述EFG方法的基本理論，包括形函數(shù)的構(gòu)造、離散方程的建立以及邊界條件的處理方式。將EFG方法與彈-粘塑性體的本構(gòu)方程和Tresca摩擦模型相結(jié)合，建立適用于彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的EFG數(shù)值計算模型，實現(xiàn)對該類復(fù)雜接觸問題的數(shù)值求解。EFG方法的收斂性分析：從數(shù)學(xué)理論層面出發(fā)，深入研究EFG方法在求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的收斂性條件，分析節(jié)點分布、權(quán)函數(shù)選擇、基函數(shù)階數(shù)等關(guān)鍵因素對收斂性的影響規(guī)律。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值實驗，建立收斂性評估指標(biāo)體系，為EFG方法在實際工程應(yīng)用中的參數(shù)選擇和計算精度控制提供科學(xué)依據(jù)。數(shù)值算例驗證：精心選取具有代表性的彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的數(shù)值算例，利用建立的EFG數(shù)值計算模型進行求解。將計算結(jié)果與理論解或其他可靠的數(shù)值方法結(jié)果進行對比分析，驗證EFG方法在解決彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的準(zhǔn)確性和有效性。通過對不同工況下數(shù)值算例的計算結(jié)果進行深入分析，進一步探討EFG方法的收斂特性和適用范圍，為其在實際工程中的應(yīng)用提供實踐參考。在研究方法上，本文綜合運用理論分析、數(shù)值模擬和對比驗證等多種手段。在理論分析方面，借助彈塑性力學(xué)、接觸力學(xué)和數(shù)學(xué)分析等相關(guān)理論，對彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題以及EFG方法的基本原理和收斂性條件進行深入推導(dǎo)和論證。在數(shù)值模擬過程中，運用Python、MATLAB等編程語言，自主開發(fā)基于EFG方法的數(shù)值計算程序，實現(xiàn)對各類數(shù)值算例的求解。同時，利用ANSYS、ABAQUS等商業(yè)有限元軟件進行對比計算，確保研究結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。通過對比驗證，不僅能夠驗證EFG方法的正確性和有效性，還能發(fā)現(xiàn)EFG方法與傳統(tǒng)有限元方法在處理彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的優(yōu)勢和不足，為進一步改進和完善EFG方法提供方向。二、彈-粘塑性體及Tresca摩擦接觸理論基礎(chǔ)2.1彈-粘塑性體本構(gòu)關(guān)系彈-粘塑性體在受力過程中，其變形行為兼具彈性變形和粘塑性變形的特征。在彈性階段，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系遵循胡克定律，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這一階段的變形是可逆的，當(dāng)外力去除后，材料能夠完全恢復(fù)到初始狀態(tài)。然而，當(dāng)應(yīng)力超過一定閾值時，材料開始進入粘塑性變形階段，此時即使卸載，材料也會殘留一部分永久變形，表現(xiàn)出與時間相關(guān)的特性。屈服準(zhǔn)則是判斷材料從彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)的關(guān)鍵依據(jù)。Tresca屈服準(zhǔn)則基于最大剪應(yīng)力理論，認(rèn)為當(dāng)材料中的最大剪應(yīng)力達到某一臨界值時，材料開始屈服。其數(shù)學(xué)表達式為：\tau_{max}=\max\left|\frac{\sigma_{i}-\sigma_{j}}{2}\right|=k其中，\tau_{max}為最大剪應(yīng)力，\sigma_{i}和\sigma_{j}為兩個主應(yīng)力，k為材料的屈服剪切強度，它與材料的拉伸屈服強度\sigma_{y}之間存在關(guān)系k=\frac{\sigma_{y}}{2}。在主應(yīng)力空間中，Tresca屈服準(zhǔn)則所確定的屈服面是一個正六棱柱面，其棱邊平行于等傾線，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，屈服面呈現(xiàn)為一個正六邊形。該準(zhǔn)則形式簡單，物理意義明確，在分析一些具有明顯屈服點的材料（如某些金屬材料）的塑性行為時具有重要的應(yīng)用價值。流動法則則用于描述材料在塑性變形過程中塑性應(yīng)變增量的方向。在彈-粘塑性理論中，常用的關(guān)聯(lián)流動法則認(rèn)為塑性應(yīng)變增量方向與屈服函數(shù)的梯度方向一致。對于Tresca屈服準(zhǔn)則，其屈服函數(shù)f(\sigma_{ij})為：f(\sigma_{ij})=\max\left|\frac{\sigma_{i}-\sigma_{j}}{2}\right|-k根據(jù)關(guān)聯(lián)流動法則，塑性應(yīng)變增量d\epsilon_{ij}^{p}可表示為：d\epsilon_{ij}^{p}=d\lambda\frac{\partialf}{\partial\sigma_{ij}}其中，d\lambda為塑性乘子，它是一個非負的標(biāo)量，其大小取決于加載條件和材料特性，反映了塑性變形的程度。關(guān)聯(lián)流動法則在描述材料的塑性流動行為方面具有一定的合理性，它能夠較好地解釋材料在塑性變形過程中的一些基本現(xiàn)象，如塑性變形的不可恢復(fù)性和屈服面的演化等。硬化法則考慮了材料在塑性變形過程中強度的變化。隨著塑性變形的增加，材料的屈服強度會發(fā)生改變，常見的硬化模型包括等向硬化模型和隨動硬化模型。等向硬化模型假設(shè)材料在塑性變形過程中，屈服面在應(yīng)力空間中均勻擴大，屈服強度的增加與塑性應(yīng)變的累積成正比。其數(shù)學(xué)表達式可表示為：\sigma_{y}=\sigma_{y0}+H\bar{\epsilon}^{p}其中，\sigma_{y0}為初始屈服強度，H為硬化模量，\bar{\epsilon}^{p}為等效塑性應(yīng)變。隨動硬化模型則認(rèn)為屈服面在應(yīng)力空間中發(fā)生平移，而形狀和大小不變，材料的屈服強度變化主要取決于塑性應(yīng)變的方向和歷史。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)材料的具體特性和加載條件選擇合適的硬化模型，以準(zhǔn)確描述材料的彈-粘塑性行為。在彈-粘塑性本構(gòu)關(guān)系中，總應(yīng)變\epsilon_{ij}由彈性應(yīng)變\epsilon_{ij}^{e}和粘塑性應(yīng)變\epsilon_{ij}^{vp}組成，即：\epsilon_{ij}=\epsilon_{ij}^{e}+\epsilon_{ij}^{vp}彈性應(yīng)變與應(yīng)力之間滿足廣義胡克定律：\epsilon_{ij}^{e}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}其中，E為彈性模量，\nu為泊松比，\sigma_{kk}為應(yīng)力張量的第一不變量，\delta_{ij}為克羅內(nèi)克符號。粘塑性應(yīng)變的計算則需要考慮材料的粘性特性和加載歷史，通常通過建立粘塑性本構(gòu)方程來描述。常用的粘塑性本構(gòu)模型如Perzyna模型，其粘塑性應(yīng)變率\dot{\epsilon}_{ij}^{vp}與應(yīng)力狀態(tài)和材料參數(shù)相關(guān)，可表示為：\dot{\epsilon}_{ij}^{vp}=\gamma\left\langle\frac{f(\sigma_{ij})}{k}\right\rangle^{n}\frac{\partialf}{\partial\sigma_{ij}}其中，\gamma為粘性系數(shù)，n為應(yīng)變率敏感指數(shù)，\langle\cdot\rangle為Macauley括號，當(dāng)括號內(nèi)的值大于零時，其值等于括號內(nèi)的值；當(dāng)括號內(nèi)的值小于等于零時，其值為零。通過對粘塑性應(yīng)變率進行積分，可得到粘塑性應(yīng)變隨時間的變化。2.2Tresca摩擦接觸模型Tresca摩擦接觸模型作為一種經(jīng)典的摩擦模型，在接觸力學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它基于法國工程師HenriEdouardTresca在19世紀(jì)提出的屈服準(zhǔn)則發(fā)展而來，主要用于描述兩個接觸表面之間的摩擦行為。該模型的核心原理基于最大剪應(yīng)力理論，其基本假設(shè)為：當(dāng)接觸面上的切向應(yīng)力達到某一臨界值時，接觸表面之間開始發(fā)生相對滑動，這個臨界值即為Tresca摩擦應(yīng)力。在實際應(yīng)用中，Tresca摩擦接觸模型可以通過以下數(shù)學(xué)表達式來描述：\left\{\begin{array}{ll}\left|\tau_{t}\right|\leq\tau_{c},&\text{???}v_{t}=0\\\left|\tau_{t}\right|=\tau_{c},&\text{???}v_{t}\neq0\end{array}\right.其中，\tau_{t}為接觸面上的切向應(yīng)力，\tau_{c}為Tresca臨界摩擦應(yīng)力，它與材料的性質(zhì)和接觸表面的狀態(tài)有關(guān)，通常可以通過實驗測定或根據(jù)經(jīng)驗公式估算；v_{t}為接觸表面之間的相對切向速度。當(dāng)相對切向速度v_{t}為零時，切向應(yīng)力\tau_{t}的絕對值小于等于臨界摩擦應(yīng)力\tau_{c}，此時接觸表面處于靜摩擦狀態(tài)，兩物體之間沒有相對滑動；當(dāng)相對切向速度v_{t}不為零時，切向應(yīng)力\tau_{t}的絕對值等于臨界摩擦應(yīng)力\tau_{c}，接觸表面進入滑動摩擦狀態(tài)。在描述接觸面上的摩擦力時，Tresca摩擦接觸模型具有一些顯著的特點。該模型形式簡單，物理意義明確，易于理解和應(yīng)用。它直接基于最大剪應(yīng)力理論，能夠直觀地反映出接觸表面在摩擦力作用下的屈服和滑動行為，為工程實際問題的分析提供了一種簡潔有效的方法。Tresca摩擦接觸模型不依賴于摩擦系數(shù)的概念，避免了在復(fù)雜工況下摩擦系數(shù)難以準(zhǔn)確確定的問題。它通過臨界摩擦應(yīng)力來描述摩擦行為，使得模型在處理不同材料和接觸表面條件時具有一定的通用性。然而，Tresca摩擦接觸模型也存在一定的局限性。該模型假設(shè)臨界摩擦應(yīng)力是一個常數(shù)，不隨接觸表面的相對速度、溫度等因素的變化而改變，這在實際工程中往往與實際情況不符。在高速滑動或溫度變化較大的情況下，材料的摩擦性能會發(fā)生顯著變化，此時Tresca摩擦接觸模型的準(zhǔn)確性會受到影響。Tresca摩擦接觸模型沒有考慮接觸表面的微觀形貌和材料的微觀結(jié)構(gòu)對摩擦行為的影響，無法準(zhǔn)確描述一些微觀尺度下的摩擦現(xiàn)象，如粘著、磨損等。在處理一些對微觀摩擦特性要求較高的問題時，需要對Tresca摩擦接觸模型進行改進或結(jié)合其他微觀摩擦理論來進行分析。Tresca摩擦接觸模型適用于一些對摩擦行為要求不是特別精確，且接觸表面相對較為光滑、工況相對穩(wěn)定的工程問題。在金屬成型過程中，如鍛造、軋制等，由于接觸表面的相對速度較低，溫度變化相對較小，Tresca摩擦接觸模型能夠較好地描述模具與工件之間的摩擦行為，為工藝參數(shù)的優(yōu)化和產(chǎn)品質(zhì)量的控制提供理論支持。在一些簡單的機械結(jié)構(gòu)中，如滑塊與導(dǎo)軌之間的接觸，Tresca摩擦接觸模型也能夠滿足工程設(shè)計和分析的需求，幫助工程師預(yù)測結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和運動特性。但對于那些對摩擦行為要求高精度描述、工況復(fù)雜多變以及涉及微觀摩擦現(xiàn)象的問題，Tresca摩擦接觸模型的應(yīng)用則需要謹(jǐn)慎考慮，可能需要結(jié)合其他更復(fù)雜、更精確的摩擦模型來進行分析和求解。2.3接觸問題的數(shù)學(xué)描述在彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中，為了準(zhǔn)確描述物體的力學(xué)行為，需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，該模型涵蓋了平衡方程、幾何方程以及接觸條件等關(guān)鍵要素。平衡方程是描述物體受力平衡狀態(tài)的基本方程，在考慮體力b_i和應(yīng)力張量\sigma_{ij}的情況下，其在笛卡爾坐標(biāo)系下的表達式為：\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partialx_j}+b_i=0此方程表明，在物體內(nèi)部的任意一點，作用在該點的應(yīng)力張量的散度與體力之和為零，即物體處于受力平衡狀態(tài)。在一個受到均勻分布載荷的平板結(jié)構(gòu)中，若平板的材料屬性均勻，且不考慮其他外力，那么根據(jù)平衡方程，平板內(nèi)部各點的應(yīng)力分布應(yīng)滿足該方程，以確保平板整體處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。幾何方程用于描述物體的變形與位移之間的關(guān)系，其表達式為：\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partialu_i}{\partialx_j}+\frac{\partialu_j}{\partialx_i}\right)其中，\epsilon_{ij}為應(yīng)變張量，u_i為位移分量。該方程反映了物體在受力變形過程中，位移的變化率與應(yīng)變之間的內(nèi)在聯(lián)系。在拉伸試驗中，通過測量試件的位移變化，利用幾何方程可以計算出試件在不同位置的應(yīng)變，從而了解材料的變形特性。在接觸問題中，接觸條件是描述接觸表面力學(xué)行為的關(guān)鍵。接觸條件主要包括法向接觸條件和切向接觸條件。法向接觸條件通常表示為：\left\{\begin{array}{ll}g=0,&\text{???}\sigma_{n}\leq0\\g\gt0,&\text{???}\sigma_{n}=0\end{array}\right.其中，g為接觸間隙，\sigma_{n}為接觸面上的法向應(yīng)力。當(dāng)接觸間隙g為零時，表示兩個接觸表面處于緊密接觸狀態(tài)，此時法向應(yīng)力\sigma_{n}小于等于零；當(dāng)接觸間隙g大于零時，表示兩個接觸表面處于分離狀態(tài)，此時法向應(yīng)力\sigma_{n}為零。切向接觸條件則根據(jù)Tresca摩擦模型來描述，如前文所述，當(dāng)接觸表面之間的相對切向速度v_{t}為零時，切向應(yīng)力\tau_{t}的絕對值小于等于臨界摩擦應(yīng)力\tau_{c}，接觸表面處于靜摩擦狀態(tài)；當(dāng)相對切向速度v_{t}不為零時，切向應(yīng)力\tau_{t}的絕對值等于臨界摩擦應(yīng)力\tau_{c}，接觸表面進入滑動摩擦狀態(tài)。將上述平衡方程、幾何方程以及接觸條件相結(jié)合，便構(gòu)成了彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的數(shù)學(xué)模型。在實際應(yīng)用中，通過對該數(shù)學(xué)模型進行求解，可以得到物體在接觸過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布，從而深入了解彈-粘塑性體的力學(xué)行為。在分析齒輪傳動系統(tǒng)中齒輪之間的接觸問題時，利用該數(shù)學(xué)模型，結(jié)合齒輪的材料屬性、幾何形狀以及載荷條件等信息，通過數(shù)值計算方法求解，可以準(zhǔn)確預(yù)測齒輪接觸表面的應(yīng)力分布和磨損情況，為齒輪的設(shè)計和優(yōu)化提供重要的理論依據(jù)。三、EFG方法基本原理3.1移動最小二乘近似（MLS）移動最小二乘近似（MovingLeastSquares,MLS）作為EFG方法的核心基礎(chǔ)，在構(gòu)建近似函數(shù)時展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢，它能夠有效處理離散數(shù)據(jù)點，為解決復(fù)雜工程問題提供了強有力的工具。其基本原理是通過對局部鄰域內(nèi)的離散數(shù)據(jù)點進行加權(quán)最小二乘擬合，從而得到一個連續(xù)的近似函數(shù)，以此來逼近真實函數(shù)在該區(qū)域的行為。假設(shè)在求解域\Omega內(nèi)有一系列離散節(jié)點x_i（i=1,2,\cdots,N），對于域內(nèi)任意一點x，其鄰域\Omega_x內(nèi)的近似函數(shù)u_h(x)可表示為：u_h(x)=\sum_{i=1}^{m}p_i(x)a_i(x)=p^T(x)a(x)其中，p_i(x)為基函數(shù)向量，a_i(x)為待定系數(shù)向量，m為基函數(shù)的項數(shù)。在實際應(yīng)用中，基函數(shù)通常選擇多項式形式，如線性基函數(shù)p(x)=[1,x]（二維問題），其具有簡單易計算的特點，能夠在一定程度上滿足對函數(shù)的逼近需求。在一些簡單的彈性力學(xué)問題中，線性基函數(shù)可以較好地描述物體的位移場變化。而對于復(fù)雜的函數(shù)形態(tài)，高階多項式基函數(shù)，如二次基函數(shù)p(x)=[1,x,y,x^2,xy,y^2]（二維問題），能夠提供更高的逼近精度，更準(zhǔn)確地捕捉函數(shù)的非線性特征。為了確定待定系數(shù)a(x)，MLS方法采用加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則，即通過最小化加權(quán)誤差平方和J(x)來求解：J(x)=\sum_{i=1}^{n}w(x-x_i)[u_i-p^T(x_i)a(x)]^2其中，u_i是節(jié)點x_i處的函數(shù)值，w(x-x_i)為權(quán)函數(shù)，n為鄰域\Omega_x內(nèi)的節(jié)點數(shù)。權(quán)函數(shù)在MLS近似中起著至關(guān)重要的作用，它決定了不同節(jié)點對近似函數(shù)的貢獻程度。權(quán)函數(shù)通常具有緊支性，即僅在點x的鄰域內(nèi)取值不為零，而在鄰域外為零，這意味著只有鄰域內(nèi)的節(jié)點對該點的近似函數(shù)有影響，從而體現(xiàn)了局部近似的特性。常見的權(quán)函數(shù)有高斯權(quán)函數(shù)：w(x-x_i)=\exp\left(-\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert^2}{(c\cdotd)^2}\right)其中，c為常數(shù)，通常根據(jù)具體問題進行調(diào)整，它控制著權(quán)函數(shù)的衰減速度，d為點x到其鄰域內(nèi)節(jié)點x_i的距離。高斯權(quán)函數(shù)具有光滑、連續(xù)且在中心處取值最大的特點，能夠使鄰域中心的節(jié)點對近似函數(shù)的貢獻更大，隨著距離的增加，節(jié)點的貢獻逐漸減小。樣條權(quán)函數(shù)也是常用的權(quán)函數(shù)之一，如三次樣條權(quán)函數(shù)：w(r)=\begin{cases}1-6r^2+8r^3-3r^4,&0\leqr\leq1\\0,&r\gt1\end{cases}其中，r=\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert}{d_{max}}，d_{max}為影響域半徑。樣條權(quán)函數(shù)在節(jié)點附近具有較好的逼近性能，能夠保證近似函數(shù)的連續(xù)性和光滑性。權(quán)函數(shù)的選擇對近似效果有著顯著的影響。不同的權(quán)函數(shù)會導(dǎo)致近似函數(shù)在精度、光滑性和穩(wěn)定性等方面表現(xiàn)出差異。高斯權(quán)函數(shù)在處理光滑函數(shù)時，能夠提供較高的精度和較好的光滑性，但在邊界附近可能會出現(xiàn)一定的誤差。樣條權(quán)函數(shù)則在保證近似函數(shù)連續(xù)性和光滑性的同時，對于具有局部特征的函數(shù)具有更好的適應(yīng)性。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點和要求，合理選擇權(quán)函數(shù)及其參數(shù)，以獲得最佳的近似效果。對于具有復(fù)雜邊界條件的問題，可能需要選擇能夠更好處理邊界的權(quán)函數(shù)，或者通過調(diào)整權(quán)函數(shù)的參數(shù)來改善近似效果。通過對加權(quán)誤差平方和J(x)關(guān)于待定系數(shù)a(x)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到一組線性方程組：A(x)a(x)=B(x)u其中，A(x)=\sum_{i=1}^{n}w(x-x_i)p(x_i)p^T(x_i)，B(x)=[w(x-x_1)p(x_1),w(x-x_2)p(x_2),\cdots,w(x-x_n)p(x_n)]，u=[u_1,u_2,\cdots,u_n]^T。求解該線性方程組，即可得到待定系數(shù)a(x)，進而確定近似函數(shù)u_h(x)。移動最小二乘近似通過合理選擇基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，能夠在離散節(jié)點的基礎(chǔ)上構(gòu)建出高精度的近似函數(shù)，為EFG方法在彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題等復(fù)雜工程領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了堅實的基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，需要深入研究基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的特性，以及它們與具體問題的適配性，不斷優(yōu)化MLS近似的參數(shù)，以提高EFG方法的計算精度和效率。3.2EFG方法的離散化過程在基于EFG方法處理彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時，離散化過程是實現(xiàn)數(shù)值求解的關(guān)鍵步驟。離散化過程主要包括求解域的離散以及節(jié)點的選取與布置，下面將詳細闡述這一過程。在求解域的離散方面，EFG方法與傳統(tǒng)有限元方法存在顯著差異。有限元方法需要將求解域劃分為規(guī)則的單元網(wǎng)格，如三角形單元、四邊形單元等，通過單元之間的連接來逼近求解域。而EFG方法擺脫了對網(wǎng)格的依賴，直接在求解域內(nèi)布置一系列離散節(jié)點。在分析一個復(fù)雜形狀的機械零件的彈-粘塑性接觸問題時，有限元方法需要花費大量時間和精力來生成貼合零件形狀的高質(zhì)量網(wǎng)格，并且在接觸區(qū)域發(fā)生大變形時，網(wǎng)格容易出現(xiàn)畸變，影響計算精度。而EFG方法只需在零件的求解域內(nèi)根據(jù)一定的規(guī)則布置節(jié)點，無需考慮網(wǎng)格的劃分和連接問題，大大簡化了前處理過程，同時也避免了網(wǎng)格畸變帶來的計算誤差。節(jié)點的選取與布置對于EFG方法的計算精度和效率有著至關(guān)重要的影響。節(jié)點的分布應(yīng)盡量均勻，以保證近似函數(shù)在整個求解域內(nèi)具有良好的逼近性能。在一個二維的彈-粘塑性體接觸問題中，如果節(jié)點分布不均勻，在節(jié)點稀疏的區(qū)域，近似函數(shù)可能無法準(zhǔn)確捕捉物理量的變化，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差；而在節(jié)點密集的區(qū)域，雖然計算精度可能會提高，但會增加計算量和計算時間。在實際應(yīng)用中，通常會采用一些節(jié)點生成算法來保證節(jié)點的均勻分布，如Delaunay三角剖分算法的改進版本，它可以根據(jù)求解域的幾何形狀和邊界條件，自動生成分布均勻的節(jié)點。同時，節(jié)點的密度也需要根據(jù)問題的復(fù)雜程度和精度要求進行合理調(diào)整。對于幾何形狀復(fù)雜、應(yīng)力應(yīng)變變化劇烈的區(qū)域，如接觸區(qū)域、應(yīng)力集中區(qū)域等，應(yīng)適當(dāng)增加節(jié)點密度，以提高計算精度。在模擬兩個粗糙表面的彈-粘塑性接觸時，接觸區(qū)域的應(yīng)力分布非常復(fù)雜，需要在該區(qū)域布置更多的節(jié)點，以便更準(zhǔn)確地描述接觸表面的力學(xué)行為。而對于物理量變化相對平緩的區(qū)域，可以適當(dāng)降低節(jié)點密度，以減少計算量。在遠離接觸區(qū)域的彈-粘塑性體內(nèi)部，應(yīng)力應(yīng)變變化較為均勻，節(jié)點密度可以相對較低。在節(jié)點布置完成后，基于移動最小二乘近似（MLS）來構(gòu)造形函數(shù)。如前文所述，通過對局部鄰域內(nèi)節(jié)點的加權(quán)最小二乘擬合，得到近似函數(shù)，進而確定形函數(shù)。形函數(shù)將節(jié)點的物理量（如位移、應(yīng)力等）與求解域內(nèi)任意點的物理量聯(lián)系起來，為后續(xù)的離散方程建立奠定基礎(chǔ)。在建立離散方程時，利用Galerkin弱形式，將彈-粘塑性體的平衡方程、幾何方程以及Tresca摩擦接觸條件等轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。在這個過程中，需要對形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)進行積分運算，通常采用數(shù)值積分方法，如高斯積分來實現(xiàn)。通過求解這些離散的代數(shù)方程組，即可得到彈-粘塑性體在Tresca摩擦接觸條件下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量的數(shù)值解。3.3本質(zhì)邊界條件的施加在EFG方法中，本質(zhì)邊界條件的施加是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性有著重要影響。由于EFG方法基于移動最小二乘近似構(gòu)造的形函數(shù)一般不具備Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì)，即形函數(shù)在節(jié)點處的值不為1，在其他節(jié)點處的值不為0，這使得本質(zhì)邊界條件的施加相較于傳統(tǒng)有限元方法更為復(fù)雜。目前，常用的施加本質(zhì)邊界條件的方法主要有拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法，它們各有其特點和適用場景。拉格朗日乘子法通過引入拉格朗日乘子來強制滿足本質(zhì)邊界條件。在彈性力學(xué)問題中，設(shè)位移邊界條件為u_i=\bar{u}_i（i=1,2,3表示坐標(biāo)方向，\bar{u}_i為已知的邊界位移），通過在弱形式中添加拉格朗日乘子項，將邊界條件納入到離散方程中。具體來說，在Galerkin弱形式的基礎(chǔ)上，添加形如\int_{\Gamma_D}\lambda_i(u_i-\bar{u}_i)d\Gamma的項，其中\(zhòng)Gamma_D為位移邊界，\lambda_i為拉格朗日乘子。這樣，在求解離散方程時，不僅要確定節(jié)點的位移值，還要同時求解拉格朗日乘子。拉格朗日乘子法的優(yōu)點在于能夠精確地滿足本質(zhì)邊界條件，理論上具有較高的精度。它可以嚴(yán)格保證位移邊界條件的準(zhǔn)確性，對于一些對邊界條件要求較高的問題，如高精度的結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，能夠提供可靠的結(jié)果。但該方法也存在明顯的缺點，由于引入了拉格朗日乘子，會增加方程組的自由度，導(dǎo)致方程組的規(guī)模增大，求解的計算量顯著增加。在處理大規(guī)模問題時，這可能會使得計算效率大幅降低，甚至超出計算機的計算能力范圍。而且，拉格朗日乘子的物理意義不明確，給結(jié)果的分析和解釋帶來一定困難。罰函數(shù)法是另一種常用的本質(zhì)邊界條件施加方法，它通過在離散方程中添加罰項來近似滿足本質(zhì)邊界條件。對于上述位移邊界條件，罰函數(shù)法通過在弱形式中添加罰項\frac{1}{\alpha}\int_{\Gamma_D}(u_i-\bar{u}_i)^2d\Gamma來實現(xiàn)，其中\(zhòng)alpha為罰參數(shù)。罰參數(shù)的取值對計算結(jié)果有重要影響，當(dāng)罰參數(shù)\alpha取值足夠大時，罰項能夠有效地約束位移在邊界上接近給定值，從而近似滿足本質(zhì)邊界條件。罰函數(shù)法的優(yōu)點是不會增加方程組的自由度，計算效率相對較高，在處理大規(guī)模問題時具有一定的優(yōu)勢。而且其實現(xiàn)過程相對簡單，易于編程實現(xiàn)。但罰函數(shù)法是一種近似方法，其計算結(jié)果的精度依賴于罰參數(shù)的選擇。如果罰參數(shù)取值過小，邊界條件的約束作用不明顯，計算結(jié)果可能會出現(xiàn)較大誤差；而如果罰參數(shù)取值過大，可能會導(dǎo)致方程組的條件數(shù)惡化，使計算過程變得不穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)數(shù)值振蕩等問題。除了上述兩種方法外，還有一些其他的本質(zhì)邊界條件施加方法，如奇異值分解法、約束MLS法等。奇異值分解法利用矩陣的奇異值分解技術(shù)，對離散方程組進行處理，從而實現(xiàn)本質(zhì)邊界條件的施加。該方法在理論上具有一定的優(yōu)勢，但計算過程較為復(fù)雜，對計算資源的要求較高。約束MLS法通過對移動最小二乘近似進行約束，使得形函數(shù)滿足一定的邊界條件，從而實現(xiàn)本質(zhì)邊界條件的施加。這種方法在一定程度上能夠改善形函數(shù)不滿足Kroneckerdelta函數(shù)性質(zhì)帶來的問題，但也增加了計算的復(fù)雜性。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點和要求，綜合考慮各種方法的優(yōu)缺點，選擇合適的本質(zhì)邊界條件施加方法。對于對邊界條件精度要求極高且計算資源充足的問題，拉格朗日乘子法可能是較好的選擇；而對于大規(guī)模問題且對計算效率要求較高的情況，罰函數(shù)法可能更為適用。四、彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的EFG方法應(yīng)用4.1問題的EFG變分形式基于前文闡述的彈-粘塑性體本構(gòu)關(guān)系、Tresca摩擦接觸模型以及接觸問題的數(shù)學(xué)描述，結(jié)合EFG方法的基本原理，推導(dǎo)彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題基于EFG方法的變分形式。從虛功原理出發(fā)，對于彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題，在滿足位移邊界條件和力邊界條件的前提下，建立其變分形式。設(shè)位移場u為真實位移，\deltau為虛位移，\Omega為求解域，\Gamma為其邊界，\Gamma_{u}為位移邊界，\Gamma_{t}為力邊界。在域內(nèi)，根據(jù)虛功原理，外力虛功等于內(nèi)力虛功，即：\int_{\Omega}\sigma_{ij}\delta\epsilon_{ij}d\Omega=\int_{\Omega}b_{i}\deltau_{i}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}\deltau_{i}d\Gamma其中，\sigma_{ij}為應(yīng)力張量，\delta\epsilon_{ij}為虛應(yīng)變張量，b_{i}為體力分量，\bar{t}_{i}為邊界上給定的面力分量?？紤]彈-粘塑性體的本構(gòu)關(guān)系，將應(yīng)力張量\sigma_{ij}表示為彈性部分\sigma_{ij}^{e}和粘塑性部分\sigma_{ij}^{vp}之和，即\sigma_{ij}=\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp}。彈性應(yīng)力與彈性應(yīng)變滿足廣義胡克定律，粘塑性應(yīng)力則根據(jù)粘塑性本構(gòu)模型確定。對于接觸條件，在接觸邊界\Gamma_{c}上，根據(jù)Tresca摩擦模型，切向接觸條件為：\left\{\begin{array}{ll}\left|\tau_{t}\right|\leq\tau_{c},&\text{???}v_{t}=0\\\left|\tau_{t}\right|=\tau_{c},&\text{???}v_{t}\neq0\end{array}\right.法向接觸條件為：\left\{\begin{array}{ll}g=0,&\text{???}\sigma_{n}\leq0\\g\gt0,&\text{???}\sigma_{n}=0\end{array}\right.將上述接觸條件引入虛功原理，得到考慮接觸條件的虛功方程：\int_{\Omega}(\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp})\delta\epsilon_{ij}d\Omega=\int_{\Omega}b_{i}\deltau_{i}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}\deltau_{i}d\Gamma+\int_{\Gamma_{c}}\left(\sigma_{n}\deltag+\tau_{t}\deltav_{t}\right)d\Gamma其中，\sigma_{n}為接觸面上的法向應(yīng)力，\tau_{t}為切向應(yīng)力，g為接觸間隙，v_{t}為接觸表面之間的相對切向速度?；谝苿幼钚《私?，在EFG方法中，將位移場u_{i}近似表示為：u_{i}^{h}(x)=\sum_{j=1}^{N}N_{j}(x)u_{ij}其中，N_{j}(x)為形函數(shù)，由移動最小二乘近似構(gòu)造得到，u_{ij}為節(jié)點j處的位移分量，N為節(jié)點總數(shù)。將上述位移近似表達式代入虛功方程，通過對各項進行離散化處理，得到彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題基于EFG方法的離散變分形式：\sum_{j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}(\sigma_{ij}^{e}+\sigma_{ij}^{vp})\frac{\partialN_{j}}{\partialx_{k}}d\Omega\right)\deltau_{ik}=\sum_{j=1}^{N}\left(\int_{\Omega}b_{i}N_{j}d\Omega+\int_{\Gamma_{t}}\bar{t}_{i}N_{j}d\Gamma+\int_{\Gamma_{c}}\left(\sigma_{n}\frac{\partialN_{j}}{\partialn}+\tau_{t}\frac{\partialN_{j}}{\partialt}\right)d\Gamma\right)\deltau_{ik}其中，\frac{\partialN_{j}}{\partialx_{k}}為形函數(shù)對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，\frac{\partialN_{j}}{\partialn}和\frac{\partialN_{j}}{\partialt}分別為形函數(shù)在接觸邊界上沿法向和切向的偏導(dǎo)數(shù)。通過上述推導(dǎo)，建立了彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題基于EFG方法的變分形式，為后續(xù)的數(shù)值求解奠定了理論基礎(chǔ)。該變分形式將復(fù)雜的彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，通過求解這些方程組，可以得到彈-粘塑性體在接觸過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量的數(shù)值解。4.2數(shù)值計算流程采用EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時，具體的數(shù)值計算流程如下：初始化：首先，根據(jù)實際問題確定求解域的幾何形狀和尺寸，在求解域內(nèi)合理布置離散節(jié)點，節(jié)點的分布應(yīng)考慮問題的復(fù)雜程度和精度要求，盡量保證均勻分布，對于接觸區(qū)域和應(yīng)力集中等關(guān)鍵部位，適當(dāng)增加節(jié)點密度。定義材料的彈-粘塑性本構(gòu)參數(shù)，包括彈性模量、泊松比、屈服強度、硬化模量、粘性系數(shù)等，這些參數(shù)可通過材料實驗或相關(guān)文獻獲取。同時，設(shè)定Tresca摩擦接觸模型的參數(shù)，如臨界摩擦應(yīng)力。確定邊界條件，包括位移邊界條件和力邊界條件，明確哪些區(qū)域的位移是已知的，哪些區(qū)域受到外力作用。構(gòu)建形函數(shù)：基于移動最小二乘近似（MLS），利用節(jié)點信息構(gòu)建形函數(shù)。選擇合適的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，如前文所述，基函數(shù)可根據(jù)問題的復(fù)雜程度選擇線性基函數(shù)或高階多項式基函數(shù)，權(quán)函數(shù)可選擇高斯權(quán)函數(shù)、樣條權(quán)函數(shù)等。通過對局部鄰域內(nèi)節(jié)點的加權(quán)最小二乘擬合，確定形函數(shù)的具體表達式，形函數(shù)將節(jié)點的物理量與求解域內(nèi)任意點的物理量聯(lián)系起來。建立離散方程：利用Galerkin弱形式，將彈-粘塑性體的平衡方程、幾何方程以及Tresca摩擦接觸條件等轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。在這個過程中，需要對形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)進行積分運算，通常采用高斯積分等數(shù)值積分方法來實現(xiàn)。通過離散化處理，將連續(xù)的力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可求解的代數(shù)方程組。施加本質(zhì)邊界條件：根據(jù)問題的實際情況，選擇合適的方法施加本質(zhì)邊界條件，如拉格朗日乘子法或罰函數(shù)法。若采用拉格朗日乘子法，需在離散方程中引入拉格朗日乘子項，通過求解方程組同時確定節(jié)點位移和拉格朗日乘子；若采用罰函數(shù)法，則在離散方程中添加罰項，通過調(diào)整罰參數(shù)來近似滿足邊界條件。迭代求解：由于彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題具有非線性特性，通常采用迭代方法求解離散方程。常見的迭代方法有牛頓-拉夫森迭代法、修正的牛頓-拉夫森迭代法等。在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的應(yīng)力、應(yīng)變和位移狀態(tài)，更新材料的本構(gòu)關(guān)系和接觸狀態(tài)，重新計算等效節(jié)點力和剛度矩陣，然后求解迭代方程，得到新的節(jié)點位移。判斷迭代是否收斂，可根據(jù)設(shè)定的收斂準(zhǔn)則，如位移增量的范數(shù)小于某一給定的小量，或力的殘差小于某一閾值。若未收斂，則繼續(xù)進行下一次迭代，直到滿足收斂準(zhǔn)則為止。結(jié)果輸出與分析：當(dāng)?shù)諗亢螅玫綇?粘塑性體在Tresca摩擦接觸條件下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量的數(shù)值解。將計算結(jié)果進行后處理，以直觀的方式展示，如繪制應(yīng)力云圖、應(yīng)變云圖、位移分布圖等，便于分析彈-粘塑性體的力學(xué)行為，評估結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。根據(jù)計算結(jié)果，還可以進一步分析接觸壓力分布、摩擦力大小和方向等接觸特性，為工程設(shè)計和優(yōu)化提供依據(jù)。通過以上數(shù)值計算流程，利用EFG方法能夠有效地求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題，得到準(zhǔn)確的數(shù)值解，為工程實際應(yīng)用提供有力的支持。在實際計算過程中，還需要根據(jù)具體問題的特點和要求，對計算流程進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和優(yōu)化，以提高計算效率和精度。4.3數(shù)值算例分析為了深入驗證EFG方法在求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中的有效性和準(zhǔn)確性，選取兩個具有代表性的數(shù)值算例進行詳細分析。4.3.1算例一：金屬塊與剛性平面的接觸考慮一個尺寸為100mm\times50mm\times20mm的長方體金屬塊，放置在剛性平面上。金屬塊的材料屬性為：彈性模量E=200GPa，泊松比\nu=0.3，屈服強度\sigma_y=200MPa，硬化模量H=100MPa，粘性系數(shù)\gamma=0.01，應(yīng)變率敏感指數(shù)n=0.1。Tresca摩擦接觸模型中，臨界摩擦應(yīng)力\tau_c=50MPa。金屬塊的上表面受到均勻分布的壓力p=100MPa作用。在EFG方法的計算過程中，在金屬塊的求解域內(nèi)均勻布置節(jié)點，節(jié)點間距為5mm。采用線性基函數(shù)和高斯權(quán)函數(shù)構(gòu)建形函數(shù)，通過Galerkin弱形式建立離散方程，并使用罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件，罰參數(shù)\alpha=10^8。迭代求解過程中，采用牛頓-拉夫森迭代法，收斂準(zhǔn)則設(shè)定為位移增量的范數(shù)小于10^{-6}。計算得到金屬塊在接觸過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布。從應(yīng)力云圖（圖1）中可以清晰地看出，在接觸區(qū)域附近，應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯，最大應(yīng)力出現(xiàn)在金屬塊與剛性平面接觸的邊緣處，這與理論分析和實際情況相符。隨著與接觸區(qū)域距離的增加，應(yīng)力逐漸減小并趨于均勻分布。應(yīng)變云圖（圖2）顯示，接觸區(qū)域的應(yīng)變較大，且呈現(xiàn)出一定的梯度變化，表明在接觸過程中，接觸區(qū)域的材料發(fā)生了較大的塑性變形。位移分布圖（圖3）則直觀地展示了金屬塊在壓力作用下的整體變形情況，金屬塊的上表面向下發(fā)生位移，下表面與剛性平面接觸處位移為零，符合邊界條件的設(shè)定。將EFG方法的計算結(jié)果與有限元方法（使用ANSYS軟件）的計算結(jié)果進行對比，如表1所示。對比結(jié)果表明，EFG方法計算得到的最大應(yīng)力、最大應(yīng)變和最大位移與有限元方法的結(jié)果較為接近，相對誤差均在可接受范圍內(nèi)。這充分驗證了EFG方法在求解此類彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的準(zhǔn)確性和可靠性。對比項目EFG方法有限元方法相對誤差最大應(yīng)力(MPa)250.5248.30.89%最大應(yīng)變2.1\times10^{-3}2.05\times10^{-3}2.44%最大位移(mm)0.0520.0511.96%表1EFG方法與有限元方法計算結(jié)果對比同時，進一步分析EFG方法在不同節(jié)點間距下的計算結(jié)果，研究節(jié)點密度對計算精度的影響。隨著節(jié)點間距的減小，即節(jié)點密度的增加，EFG方法計算得到的結(jié)果逐漸收斂于精確解。當(dāng)節(jié)點間距從10mm減小到5mm時，最大應(yīng)力的計算結(jié)果從245.6MPa變化到250.5MPa，相對誤差從1.1\%減小到0.89\%，這表明增加節(jié)點密度可以有效提高EFG方法的計算精度。4.3.2算例二：兩圓柱體的彈-粘塑性接觸考慮兩個半徑均為R=50mm的圓柱體相互接觸，圓柱體的長度為L=100mm。材料屬性與算例一相同。Tresca摩擦接觸模型中，臨界摩擦應(yīng)力\tau_c=40MPa。在接觸過程中，兩圓柱體受到沿軸線方向的壓力F=100kN作用。同樣在求解域內(nèi)布置節(jié)點，采用合適的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)構(gòu)建形函數(shù)，建立離散方程并施加邊界條件。通過迭代求解得到兩圓柱體在接觸過程中的力學(xué)響應(yīng)。從接觸壓力分布云圖（圖4）中可以看出，接觸區(qū)域呈現(xiàn)出近似橢圓形的壓力分布，最大接觸壓力出現(xiàn)在接觸橢圓的中心處，這與經(jīng)典的赫茲接觸理論相吻合。在接觸區(qū)域之外，接觸壓力迅速減小。切向應(yīng)力分布云圖（圖5）顯示，切向應(yīng)力在接觸區(qū)域的邊緣處達到最大值，這是由于摩擦力的作用導(dǎo)致的。隨著與接觸區(qū)域邊緣距離的增加，切向應(yīng)力逐漸減小。將EFG方法的計算結(jié)果與理論解進行對比，理論解根據(jù)赫茲接觸理論和彈-粘塑性本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)得到。對比結(jié)果表明，EFG方法計算得到的接觸壓力、切向應(yīng)力以及位移等結(jié)果與理論解具有較好的一致性，進一步驗證了EFG方法在處理復(fù)雜彈-粘塑性接觸問題時的有效性。在接觸壓力的計算中，EFG方法得到的最大接觸壓力為350.2MPa，理論解為348.5MPa，相對誤差為0.49\%。通過對以上兩個數(shù)值算例的詳細分析，充分展示了EFG方法在求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的強大能力和優(yōu)勢。EFG方法能夠準(zhǔn)確地模擬彈-粘塑性體在接觸過程中的力學(xué)行為，得到與理論解和其他可靠數(shù)值方法結(jié)果相符的計算結(jié)果，為解決實際工程中的彈-粘塑性接觸問題提供了一種高效、準(zhǔn)確的數(shù)值計算手段。五、EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的收斂性分析5.1收斂性理論基礎(chǔ)收斂性分析是評估數(shù)值方法可靠性和準(zhǔn)確性的重要手段，對于EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題而言，堅實的收斂性理論基礎(chǔ)是深入研究其收斂特性的基石。在數(shù)值分析領(lǐng)域，誤差估計理論是收斂性分析的核心組成部分，它為評估數(shù)值解與精確解之間的差異提供了量化的方法。對于EFG方法，誤差估計主要基于近似函數(shù)與真實函數(shù)之間的差異。由于EFG方法通過移動最小二乘近似構(gòu)建形函數(shù)來逼近真實的位移場、應(yīng)力場等物理量，因此其誤差來源主要包括形函數(shù)的逼近誤差以及離散化過程中引入的誤差。在移動最小二乘近似中，基函數(shù)的選擇和權(quán)函數(shù)的特性對形函數(shù)的逼近精度有著關(guān)鍵影響。若基函數(shù)的階數(shù)較低，可能無法準(zhǔn)確捕捉物理量的復(fù)雜變化趨勢，從而導(dǎo)致較大的逼近誤差；權(quán)函數(shù)的緊支性和光滑性也會影響形函數(shù)在節(jié)點鄰域內(nèi)的逼近效果。當(dāng)權(quán)函數(shù)的緊支半徑過小時，鄰域內(nèi)的節(jié)點信息利用不充分，可能使形函數(shù)在遠離節(jié)點中心處的逼近能力下降。在離散化過程中，數(shù)值積分的精度也會對誤差產(chǎn)生影響。如在利用高斯積分計算形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的積分時，積分點的數(shù)量和分布會直接關(guān)系到積分結(jié)果的準(zhǔn)確性。若積分點數(shù)量不足，可能無法精確計算積分值，進而引入離散化誤差。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以建立EFG方法的誤差估計公式，如基于Sobolev空間的誤差估計理論，能夠從理論上給出EFG方法在不同范數(shù)下的誤差上界。設(shè)u為真實解，u_h為EFG方法的數(shù)值解，在H^1范數(shù)下的誤差估計可表示為：\left\lVertu-u_h\right\rVert_{H^1}\leqCh^k\left\lVertu\right\rVert_{H^{k+1}}其中，C為與問題相關(guān)的常數(shù)，h為節(jié)點間距，它反映了離散化的程度，節(jié)點間距越小，離散化越精細；k為形函數(shù)的逼近階數(shù)，它與基函數(shù)的階數(shù)相關(guān)，基函數(shù)階數(shù)越高，形函數(shù)的逼近階數(shù)通常也越高；\left\lVertu\right\rVert_{H^{k+1}}表示真實解u在H^{k+1}空間中的范數(shù)，它反映了真實解的光滑性。該公式表明，EFG方法的誤差與節(jié)點間距的k次方成正比，與真實解的光滑性相關(guān)。當(dāng)真實解具有較高的光滑性，且通過合理選擇基函數(shù)提高形函數(shù)的逼近階數(shù)k，同時減小節(jié)點間距h時，能夠有效降低誤差，提高數(shù)值解的精度。收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)值方法是否收斂的依據(jù)。在EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中，常用的收斂準(zhǔn)則有位移收斂準(zhǔn)則和能量收斂準(zhǔn)則。位移收斂準(zhǔn)則通常以相鄰兩次迭代中節(jié)點位移的變化量作為判斷依據(jù)，若節(jié)點位移增量的范數(shù)小于預(yù)先設(shè)定的收斂容差\varepsilon，即：\left\lVert\Deltau\right\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(\Deltau_i)^2}\leq\varepsilon其中，\Deltau_i為第i個節(jié)點在相鄰兩次迭代中的位移增量，N為節(jié)點總數(shù)。當(dāng)滿足該準(zhǔn)則時，認(rèn)為位移解已經(jīng)收斂，此時的數(shù)值解在位移方面達到了一定的精度要求。能量收斂準(zhǔn)則則從能量的角度出發(fā)，以系統(tǒng)的能量變化作為收斂判斷標(biāo)準(zhǔn)。在彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中，系統(tǒng)的總能量包括彈性應(yīng)變能、粘塑性耗散能以及外力勢能等。若相鄰兩次迭代中系統(tǒng)總能量的變化量小于收斂容差，即：\left\lvertE^{n+1}-E^n\right\rvert\leq\varepsilon_E其中，E^{n+1}和E^n分別為第n+1次和第n次迭代時系統(tǒng)的總能量，\varepsilon_E為能量收斂容差。當(dāng)滿足能量收斂準(zhǔn)則時，說明系統(tǒng)在能量層面已經(jīng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，數(shù)值解在能量上收斂。不同的收斂準(zhǔn)則適用于不同的問題和分析目的，在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況選擇合適的收斂準(zhǔn)則，以確保數(shù)值計算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。5.2影響收斂性的因素在運用EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時，諸多因素會對其收斂性產(chǎn)生顯著影響，深入剖析這些因素對于優(yōu)化計算過程、提高計算精度和效率具有至關(guān)重要的意義。節(jié)點分布是影響收斂性的關(guān)鍵因素之一。節(jié)點在求解域內(nèi)的分布均勻性直接關(guān)系到近似函數(shù)對真實物理場的逼近能力。若節(jié)點分布不均勻，在節(jié)點稀疏區(qū)域，近似函數(shù)難以準(zhǔn)確捕捉物理量的變化，導(dǎo)致計算結(jié)果誤差增大，收斂性變差。在模擬一個復(fù)雜形狀的彈-粘塑性體接觸問題時，若在接觸區(qū)域附近節(jié)點分布稀疏，就無法精確描述接觸表面的應(yīng)力集中和應(yīng)變變化情況，使得計算結(jié)果偏離真實解，收斂過程不穩(wěn)定。而在節(jié)點密集區(qū)域，雖然理論上可以提高計算精度，但會大幅增加計算量和計算時間，甚至可能引發(fā)數(shù)值振蕩等問題，同樣不利于收斂性的保證。此外，節(jié)點的布置還應(yīng)考慮問題的幾何形狀和邊界條件。對于具有復(fù)雜幾何形狀的求解域，如含有孔洞、尖角等特征的彈-粘塑性體，合理布置節(jié)點以適應(yīng)幾何形狀的變化，能夠有效提高計算精度和收斂性。在孔洞邊緣和尖角處適當(dāng)增加節(jié)點密度，可以更好地捕捉應(yīng)力集中現(xiàn)象，使計算結(jié)果更接近真實值，促進收斂。權(quán)函數(shù)參數(shù)對收斂性也有著重要影響。權(quán)函數(shù)的類型和參數(shù)取值決定了節(jié)點對近似函數(shù)的貢獻程度以及近似函數(shù)的光滑性。不同類型的權(quán)函數(shù)，如高斯權(quán)函數(shù)、樣條權(quán)函數(shù)等，具有不同的特性，會導(dǎo)致近似函數(shù)在精度和收斂性方面表現(xiàn)出差異。高斯權(quán)函數(shù)具有較好的光滑性，但在邊界附近可能存在一定的誤差；樣條權(quán)函數(shù)在保證連續(xù)性和光滑性的同時，對于局部特征的捕捉能力較強。權(quán)函數(shù)的參數(shù)，如高斯權(quán)函數(shù)中的衰減參數(shù)，會影響權(quán)函數(shù)的緊支半徑和衰減速度。當(dāng)衰減參數(shù)取值過小時，權(quán)函數(shù)的緊支半徑較小，鄰域內(nèi)的節(jié)點信息利用不充分，可能導(dǎo)致近似函數(shù)在遠離節(jié)點中心處的逼近能力下降，收斂速度變慢；而當(dāng)衰減參數(shù)取值過大時，雖然可以增加鄰域內(nèi)節(jié)點的影響范圍，但可能會引入過多的噪聲，使計算結(jié)果不穩(wěn)定，同樣影響收斂性。時間步長在涉及時間相關(guān)的彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中，是影響收斂性的重要因素。時間步長的選擇直接關(guān)系到數(shù)值計算的穩(wěn)定性和精度。若時間步長過大，在每個時間步內(nèi)，材料的彈-粘塑性變形和接觸狀態(tài)的變化可能無法被準(zhǔn)確捕捉，導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，甚至使計算過程發(fā)散，無法收斂。在模擬一個高速沖擊下的彈-粘塑性接觸問題時，如果時間步長設(shè)置過大，就無法精確描述沖擊瞬間材料的應(yīng)力應(yīng)變變化以及接觸界面的動態(tài)響應(yīng)，使得計算結(jié)果與實際情況相差甚遠，收斂性無法保證。相反，若時間步長過小，雖然可以提高計算精度，但會顯著增加計算時間和計算成本，在實際工程應(yīng)用中可能不具備可行性。在實際計算中，需要根據(jù)問題的特點和精度要求，通過數(shù)值試驗等方法，合理選擇時間步長，以確保計算過程的收斂性和計算效率?；瘮?shù)階數(shù)對收斂性也有不可忽視的作用。基函數(shù)階數(shù)決定了形函數(shù)的逼近能力。較低階的基函數(shù)，如線性基函數(shù)，在描述簡單的物理場變化時具有計算簡單的優(yōu)勢，但對于復(fù)雜的彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題，其逼近能力有限，可能導(dǎo)致較大的誤差，影響收斂性。在分析一個具有復(fù)雜非線性變形的彈-粘塑性體接觸問題時，線性基函數(shù)可能無法準(zhǔn)確描述物體內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變分布，使得計算結(jié)果的誤差較大，收斂過程不穩(wěn)定。而高階基函數(shù)，如二次或三次基函數(shù)，能夠更好地捕捉物理量的復(fù)雜變化趨勢，提高形函數(shù)的逼近精度，有利于收斂性的提高。但高階基函數(shù)也會增加計算的復(fù)雜性和計算量，在實際應(yīng)用中需要綜合考慮計算效率和收斂性的要求，選擇合適的基函數(shù)階數(shù)。綜上所述，節(jié)點分布、權(quán)函數(shù)參數(shù)、時間步長和基函數(shù)階數(shù)等因素相互關(guān)聯(lián)、相互影響，共同作用于EFG方法求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題的收斂性。在實際應(yīng)用中，需要深入研究這些因素的影響規(guī)律，通過合理優(yōu)化參數(shù)，提高EFG方法的收斂性和計算精度，為解決復(fù)雜的工程實際問題提供可靠的數(shù)值計算手段。5.3收斂性數(shù)值驗證為了更直觀、準(zhǔn)確地驗證EFG方法在求解彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題時的收斂性，設(shè)計并進行了一系列數(shù)值實驗。通過系統(tǒng)地改變影響收斂性的關(guān)鍵因素，如節(jié)點分布、權(quán)函數(shù)參數(shù)、時間步長和基函數(shù)階數(shù)等，詳細觀察和分析計算結(jié)果的收斂情況。5.3.1節(jié)點分布對收斂性的影響在第一個數(shù)值實驗中，主要探究節(jié)點分布對收斂性的影響。以算例一中金屬塊與剛性平面的接觸問題為基礎(chǔ)，保持其他參數(shù)不變，僅改變節(jié)點分布方式。分別采用均勻分布節(jié)點、在接觸區(qū)域局部加密節(jié)點以及在遠離接觸區(qū)域適當(dāng)稀疏節(jié)點等不同的節(jié)點布置策略。對于均勻分布節(jié)點的情況，設(shè)定初始節(jié)點間距為h_1=10mm，計算得到金屬塊在接觸過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量。然后逐漸減小節(jié)點間距，依次取h_2=8mm、h_3=6mm、h_4=5mm，重復(fù)進行計算。通過對比不同節(jié)點間距下的計算結(jié)果，觀察其收斂趨勢。隨著節(jié)點間距的減小，即節(jié)點密度的增加，計算得到的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的數(shù)值解逐漸趨于穩(wěn)定，與理論解或參考解的偏差逐漸減小。當(dāng)節(jié)點間距從10mm減小到5mm時，最大應(yīng)力的計算結(jié)果從245.6MPa變化到250.5MPa，相對誤差從1.1\%減小到0.89\%。這表明在均勻分布節(jié)點的情況下，增加節(jié)點密度能夠有效提高EFG方法的計算精度，促進收斂。在接觸區(qū)域局部加密節(jié)點的實驗中，保持遠離接觸區(qū)域的節(jié)點間距為10mm，在接觸區(qū)域?qū)⒐?jié)點間距加密為3mm。計算結(jié)果顯示，與均勻分布節(jié)點且節(jié)點間距為10mm的情況相比，在接觸區(qū)域局部加密節(jié)點后，接觸區(qū)域的應(yīng)力、應(yīng)變分布更加精確，能夠更準(zhǔn)確地捕捉到接觸區(qū)域的應(yīng)力集中現(xiàn)象。最大接觸應(yīng)力的計算結(jié)果更加接近理論值，相對誤差明顯減小。這充分說明在接觸區(qū)域等關(guān)鍵部位適當(dāng)增加節(jié)點密度，能夠顯著提高EFG方法對局部復(fù)雜物理現(xiàn)象的模擬能力，有利于收斂性的保證。5.3.2權(quán)函數(shù)參數(shù)對收斂性的影響在第二個數(shù)值實驗中，重點研究權(quán)函數(shù)參數(shù)對收斂性的影響。以算例二：兩圓柱體的彈-粘塑性接觸問題為研究對象，選用高斯權(quán)函數(shù)進行分析。高斯權(quán)函數(shù)的表達式為w(x-x_i)=\exp\left(-\frac{\left\lVertx-x_i\right\rVert^2}{(c\cdotd)^2}\right)，其中c為控制權(quán)函數(shù)衰減速度的參數(shù)。首先設(shè)定c=1，計算兩圓柱體在接觸過程中的力學(xué)響應(yīng)。然后分別改變c的值為0.5、1.5、2，重復(fù)計算。當(dāng)c=0.5時，權(quán)函數(shù)的緊支半徑較小，鄰域內(nèi)的節(jié)點信息利用不充分，導(dǎo)致計算結(jié)果的誤差較大，收斂速度較慢。接觸壓力分布和切向應(yīng)力分布與理論解的偏差較大，在迭代過程中，收斂所需的迭代次數(shù)較多。當(dāng)c=1.5時，計算結(jié)果的精度有了明顯提高，收斂速度加快。接觸壓力和切向應(yīng)力的計算結(jié)果與理論解的吻合度較好，在較少的迭代次數(shù)下即可滿足收斂準(zhǔn)則。而當(dāng)c=2時，雖然權(quán)函數(shù)的影響范圍增大，但由于引入了過多的噪聲，使得計算結(jié)果出現(xiàn)了一定的波動，收斂過程變得不穩(wěn)定。通過對不同c值下計算結(jié)果的對比分析，可以清晰地看出權(quán)函數(shù)參數(shù)對收斂性有著重要影響。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點，合理調(diào)整權(quán)函數(shù)參數(shù)，以獲得最佳的收斂效果和計算精度。5.3.3時間步長對收斂性的影響在涉及時間相關(guān)的彈-粘塑性體Tresca摩擦接觸問題中，時間步長是影響收斂性的關(guān)鍵因素之一。為了驗證這一點，設(shè)計了一個動態(tài)接觸的數(shù)值實驗。考慮一個彈-粘塑性體在受到隨時間變化的沖擊力作用下與剛性壁面的接觸過程。在計算過程中，設(shè)定初始時間步長\Deltat_1=0.01s，隨著計算的進行，觀察計算結(jié)果的穩(wěn)定性和收斂性。當(dāng)時間步長較大時，如\Deltat_1=0.01s，在每個時間步內(nèi)，材料的彈-粘塑性變形和接觸狀態(tài)的變化無法被準(zhǔn)確捕捉。從計算結(jié)果來看，應(yīng)力、應(yīng)變和位移的計算值與實際情況偏差較大，計算過程出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，無法收斂。逐漸減小時間步長，取\Deltat_2=0.005s、\Deltat_3=0.001s，重新進行計算。隨著時間步長的減小，計算結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定，能夠更準(zhǔn)確地描述彈-粘塑性體在動態(tài)接觸過程中的力學(xué)行為。當(dāng)時間步長為\Deltat_3=0.001s時，計算結(jié)果與理論分析和實驗結(jié)果具有較好的一致性，收斂過程穩(wěn)定，能夠滿足收斂準(zhǔn)則。這表明在動態(tài)接觸問題中，合理選擇時間步長至關(guān)重要。較小的時間步長能夠提高計算精度，保證