第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

方差及其性質(zhì)

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

契比雪夫不等式

常見的重要分布的數(shù)字特征/sundae_meng

分布函數(shù)能完全描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但求分布函數(shù)常常是困難的，且在很多實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的某些特征，而不必求分布函數(shù)。

由于這些隨機(jī)變量的特征通常是與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)值，故稱它們?yōu)殡S機(jī)變量的數(shù)字特征。

本章介紹常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)和矩。數(shù)學(xué)期望是最重要的一種，其余都可以由它來定義。引言/sundae_meng§1、數(shù)學(xué)期望【引例】槍手進(jìn)行射擊，規(guī)定擊中區(qū)域I內(nèi)得2分，擊中區(qū)域II內(nèi)得1分，脫靶（擊中區(qū)域III）得0分。IIIIII

槍手每次射擊的得分X是一個隨機(jī)變量，其分布律為

現(xiàn)射擊N次,其中得0分的有次,得1分的有次,得2分的有次,于是,射擊N次的總分為/sundae_meng從而,每次射擊的平均分為

在第五章大數(shù)定律中可證明:當(dāng)N無限增大時(shí),頻率接近于概率,故當(dāng)N很大時(shí),這表明:隨著試驗(yàn)次數(shù)增大,隨機(jī)變量X的觀察值的算術(shù)平均接近于稱后者為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(均值)./sundae_meng

定義1

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望記為E(X),定義為其中無窮級數(shù)或廣義積分均絕對收斂，分別為離散型隨機(jī)變量X的分布律或連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度。

(1)一、概念/sundae_meng試評定甲乙成績的優(yōu)劣?！冀狻竭@是離散型隨機(jī)變量。由數(shù)學(xué)期望定義得：由知：甲的成績遠(yuǎn)勝過乙的成績?！?/p>

【例1】甲乙兩人進(jìn)行射擊所得分?jǐn)?shù)分別為X1，X2，其分布律分別為/sundae_meng求E(X)。〖解〗這是連續(xù)型隨機(jī)變量。由數(shù)學(xué)期望定義得：□分段函數(shù)的積分

【例2】(設(shè)在某一規(guī)定時(shí)間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X(分鐘)是一個隨機(jī)變量,其概率密度為/sundae_meng

定理1

設(shè)Y=g(X)是隨機(jī)變量X的連續(xù)函數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為(2)

利用隨機(jī)變量函數(shù)的分布可以證明下列兩定理:二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望其中無窮級數(shù)或廣義積分均絕對收斂，分別為離散型隨機(jī)變量X的分布律或連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度。

/sundae_meng其中無窮級數(shù)或廣義積分均絕對收斂,分別為離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律和連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度。

定理2

Z=g(X,Y)是隨機(jī)變量(X,Y)的連續(xù)函數(shù)，則Z也是隨機(jī)變量，且其數(shù)學(xué)期望為(3)/sundae_meng其中k,m為自然數(shù)。

可見,方差是二階中心矩,協(xié)方差是二階混合中心矩，它們都是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?！猉與Y的協(xié)方差（§4）/sundae_meng【例3】

〖解〗設(shè)X為隨機(jī)取一球的標(biāo)號,則r.v.X等可能地取值1,2,3,4,5,6;

又Y=g(X),且

g(1)=g(2)=g(3)=1;g(4)=g(5)=2,g(6)=5.故隨機(jī)摸一球得分的期望為□/sundae_meng

【例4】一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為〖解〗這是求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。工廠規(guī)定出售的設(shè)備在售出一年內(nèi)損壞予以調(diào)換.若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.

設(shè)售出一臺設(shè)備的凈贏利為/sundae_meng□故售出一臺設(shè)備的凈贏利的數(shù)學(xué)期望為/sundae_mengD〖解〗這是二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。聯(lián)合概率密度函數(shù)非零區(qū)域?yàn)楣视啥ɡ?得:【例5】□/sundae_meng□例5-續(xù)

在計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字?jǐn)?shù)字特征時(shí),需要計(jì)算廣義二重積分，當(dāng)概率密度在有界區(qū)域D上非零時(shí)，實(shí)際上是計(jì)算普通二重積分./sundae_meng三.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì):設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則

E(c)=c;

E(cX)=cE(X);

E(X+Y)=E(X)+E(Y);

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),E(XY)=E(X)E(Y);【證】由隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望知:

此時(shí),為退化分布:P{X=C}=1,故由定義得:E(c)=E(X)=cP{X=c}=c.

由定義得:/sundae_meng現(xiàn)就連續(xù)型證下面兩條：

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度、邊緣概率密度分別為

由隨機(jī)變量函數(shù)的期望得:

由X,Y相互獨(dú)立得:/sundae_meng□

利用期望的性質(zhì)可以簡化某些期望的計(jì)算以及推出其它數(shù)字特征的一些性質(zhì)./sundae_meng〖解〗方法1(表格法)由X的分布列得:X-202P0.40.30.3X204Pk0.30.73X2+5517Pk0.30.7【例6】已知隨機(jī)變量X的分布列為求X,X2,3X2+5的數(shù)學(xué)期望.E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;于是,/sundae_mengE(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8;E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.方法2(定義+性質(zhì)法)

因?yàn)镋(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8;所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4.□例6-續(xù)

/sundae_mengE(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8;E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.方法2(定義+性質(zhì)法)

因?yàn)镋(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8;所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4.□例6-續(xù)

/sundae_meng一、概念

定義2

隨機(jī)變量X的方差記為D(X),或Var(X),定義為其中數(shù)學(xué)期望存在.

(4)

在應(yīng)用上還用到與X具有相同量綱的量

稱之為隨機(jī)變量X的均方差(標(biāo)準(zhǔn)差).

方差D(X)是反映X取值分散程度的量,當(dāng)X取值比較集中時(shí),方差較小;當(dāng)X取值比較分散時(shí),方差較大.

/sundae_meng

由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)與方差定義可得:(6)這也是計(jì)算方差的常用公式.

顯然,方差D(X)就是隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.因此,當(dāng)X的分布律或概率密度已知時(shí),有(5)/sundae_meng【例8】[P.122:eg3]〖解〗

【例8】設(shè)X服從參數(shù)為p的幾何分布,其分布律為又求其期望與方差./sundae_meng故□/sundae_meng【例9】

【例9】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為〖解〗期望為求其期望與方差./sundae_meng二.性質(zhì)

方差具有如下性質(zhì):設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則

D(c)=0;

D(cX)=c2D(X);

D(X+c)=D(X);

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),D(X±Y)=D(X)+D(Y);【證】只證4。D(aX+b)=a2D(X)

D(X)=0的充要條件P{X=C}=1,其中C=E(X)./sundae_meng

由于X,Y相互獨(dú)立,故可以證明X-E(X),Y-E(Y)也相互獨(dú)立。于是，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得：從而，有□/sundae_meng

【例10】設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且服從同一個(0-1)分布,其分布律為〖解〗X的所有可能取的值為0,1,2,……,n.證明并求E(X),D(X).

事件{X=k}是個互斥基本事件的和事件,且其中每個基本事件為“從n個格子中取出k個放入1,其余放入0”.由獨(dú)立性易知:每個基本事件的概率為故從而,/sundae_meng

因?yàn)閇0-1分布],所以

由期望與方差性質(zhì)得:□/sundae_meng

契比雪夫不等式給出了在未知X分布的情況下,估計(jì)事件{|X-μ|<ε}概率的方法.在上式中分別取ε=3σ,4σ得

由對立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一形式:/sundae_meng§3.常見重要分布的期望與方差一、二項(xiàng)分布

設(shè)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布B(n,p),則其分布律為在§2例10中已經(jīng)求得

設(shè)X服從參數(shù)為λ的二項(xiàng)分布P(λ),則其分布律為二、泊松分布/sundae_meng

由冪級數(shù)展開式與期望、方差定義得故/sundae_meng

設(shè)X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布N(μ,σ2),則其概率密度為其中

數(shù)學(xué)期望為：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零換元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度性質(zhì)三、正態(tài)分布/sundae_meng/sundae_meng

設(shè)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,其概率密度為則X的數(shù)學(xué)期望為:故X的方差為:四、均勻分布/sundae_meng五、指數(shù)分布計(jì)算過程自學(xué)。/sundae_meng§4、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、概念

定義3

隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差記為Cov(X,Y),定義為其中數(shù)學(xué)期望存在,而

稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù).

相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的量.

/sundae_meng

對于任意隨機(jī)變量X與Y,總有

由協(xié)方差定義得這是計(jì)算協(xié)方差的常用公式./sundae_meng二.性質(zhì)

協(xié)方差具有下列性質(zhì):

相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì):

對稱性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X);

線性性:Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)(a為常數(shù)),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).

|ρXY|≤1;

若Y=aX+b(a,b為常數(shù),且a≠0),則X與Y正相關(guān)X與Y負(fù)相關(guān)

|ρXY|=1的充要條件是存在常數(shù)a,b,使P{Y=aX+b}=1./sundae_meng

相關(guān)系數(shù)ρXY是一個反映X和Y之間線性關(guān)系緊密程度的量.當(dāng)ρXY較大時(shí),表明X與Y線性相關(guān)程度較好,特別當(dāng)ρXY=1時(shí),X與Y之間以概率1存在線性關(guān)系;當(dāng)ρXY較小時(shí),表明X與Y線性相關(guān)程度較差.

定義4

若相關(guān)系數(shù)ρXY=0,則稱隨機(jī)變量X與Y不相關(guān).

當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí),由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)與協(xié)