數(shù)學(xué)三歷年真題及答案

一、單項選擇題，(總共10題，每題2分)。1.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f(x0)=0，f′(x0)=2，則當(dāng)x→x0時，f(x)等價于（）。A.xB.2xC.x^2D.2x^2答案：B2.函數(shù)f(x)=|x-1|在點x=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.-1B.0C.1D.不存在答案：D3.若級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則下列級數(shù)中一定收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)an^2B.∑(n=1to∞)(-1)^nanC.∑(n=1to∞)(1+an)^2D.∑(n=1to∞)(an)^3答案：B4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值是（）。A.e-1B.eC.1D.1/e答案：A5.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得（）。A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f′(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=0D.f′(ξ)=0答案：A6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上（）。A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.無法確定答案：A7.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f′(x0)存在，則f′(x0)等于（）。A.0B.1C.-1D.任意實數(shù)答案：A8.若函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f′(x0)不存在，則（）。A.x0必為f(x)的極值點B.x0必不是f(x)的極值點C.無法確定x0是否為f(x)的極值點D.f(x)在x0處不可導(dǎo)答案：C9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且f(x)>0，則∫(atob)f(x)dx的幾何意義是（）。A.曲線y=f(x)與x軸圍成的面積B.曲線y=f(x)與y軸圍成的面積C.曲線y=f(x)與x軸、y軸及直線x=a、x=b圍成的面積D.曲線y=f(x)與x軸、y軸及直線y=a、y=b圍成的面積答案：C10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且∫(atob)f(x)dx=0，則（）。A.f(x)在區(qū)間I上恒等于0B.f(x)在區(qū)間I上至少存在一點使得f(x)=0C.f(x)在區(qū)間I上恒小于0D.f(x)在區(qū)間I上恒大于0答案：B二、多項選擇題，(總共10題，每題2分)。1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=tan(x)答案：BC2.下列級數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)D.∑(n=1to∞)(1/n^3)答案：BCD3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=log(x)D.f(x)=sin(x)答案：BCD4.下列說法中，正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有最大值和最小值C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且f(x)在區(qū)間I上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間I上必有反函數(shù)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必可積答案：CD5.下列說法中，正確的是（）。A.若級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)an^2收斂B.若級數(shù)∑(n=1to∞)an發(fā)散，則級數(shù)∑(n=1to∞)an^2發(fā)散C.若級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^nan收斂D.若級數(shù)∑(n=1to∞)an發(fā)散，則級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^nan發(fā)散答案：C6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=|x-1|B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：BCD7.下列級數(shù)中，條件收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：D8.下列說法中，正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有最大值和最小值C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且f(x)在區(qū)間I上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間I上必有反函數(shù)D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必可積答案：CD9.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=e^xD.f(x)=tan(x)答案：BC10.下列級數(shù)中，絕對收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)答案：BC三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，則f(x)在點x0處必連續(xù)。（）答案：正確2.若級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)an^2收斂。（）答案：錯誤3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界。（）答案：正確4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且f(x)在區(qū)間I上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間I上必有反函數(shù)。（）答案：正確5.若級數(shù)∑(n=1to∞)an發(fā)散，則級數(shù)∑(n=1to∞)an^2發(fā)散。（）答案：錯誤6.若函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f′(x0)存在，則f′(x0)等于0。（）答案：正確7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必可積。（）答案：正確8.若級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^nan收斂。（）答案：錯誤9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且f(x)在區(qū)間I上單調(diào)，則f(x)在區(qū)間I上必有反函數(shù)。（）答案：正確10.若函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f′(x0)不存在，則x0必不是f(x)的極值點。（）答案：錯誤四、簡答題，(總共4題，每題5分)。1.簡述函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的定義。答案：函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的定義是，極限lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)存在。這個極限值就是f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)。2.簡述級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂的定義。答案：級數(shù)∑(n=1to∞)an收斂的定義是，部分和數(shù)列S_n=a_1+a_2+...+a_n的極限存在。這個極限值就是級數(shù)的和，記作S。3.簡述函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)的定義。答案：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)的定義是，對于區(qū)間I上的任意一點x0，當(dāng)x→x0時，f(x)的極限存在且等于f(x0)。4.簡述函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的必要條件。答案：函數(shù)f(x)在點x0處取得極值的必要條件是，f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f′(x0)=0。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.討論級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)的收斂性。答案：級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，若數(shù)列(1/n)單調(diào)遞減且極限為0，則級數(shù)收斂。因此，級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n(1/n)收斂。2.討論函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(-1,1)上的可導(dǎo)性。答案：函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(-1,1)上除x=0外處處可導(dǎo)，但在x=0處不可導(dǎo)。因為當(dāng)x→0時，左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)不相等。3.討論函數(shù)