2025年高三數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)期末試卷考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三年級(jí)

2025年高三數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)期末試卷

一、選擇題

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，滿足約束條件2x+y≤24，x+2y≤20，x≥0，y≥0。若A產(chǎn)品的利潤(rùn)為3元/件，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，則該工廠每天的最大利潤(rùn)為多少？

A.60元

B.80元

C.90元

D.100元

2.在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是多少？

A.1/22

B.3/11

C.5/22

D.8/11

3.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30%的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，40%的學(xué)生喜歡物理，25%的學(xué)生既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理，則既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生有多少名？

A.10

B.15

C.20

D.25

4.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，則其側(cè)面積為多少？

A.12πcm2

B.15πcm2

C.18πcm2

D.20πcm2

5.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，則a的值為多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在一個(gè)半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離小于R/2的概率是多少？

A.1/4

B.1/2

C.3/4

D.1

7.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為10000元，每件產(chǎn)品的可變成本為50元，售價(jià)為80元，則該公司至少銷售多少件產(chǎn)品才能盈利？

A.100

B.200

C.250

D.300

8.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，則S_5的值為多少？

A.31

B.63

C.127

D.255

9.在一個(gè)三角形中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，第三邊的長(zhǎng)度為x，則x的取值范圍是多少？

A.1<x<7

B.2<x<8

C.3<x<7

D.4<x<6

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則其導(dǎo)數(shù)f'(x)等于多少？

A.e^x

B.xe^x

C.e^x/x

D.1

二、填空題

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，滿足約束條件2x+y≤24，x+2y≤20，x≥0，y≥0。若A產(chǎn)品的利潤(rùn)為3元/件，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，則該工廠每天的最大利潤(rùn)為_(kāi)_____元。

2.在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是______。

3.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30%的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，40%的學(xué)生喜歡物理，25%的學(xué)生既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理，則既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生有______名。

4.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，則其側(cè)面積為_(kāi)_____cm2。

5.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，則a的值為_(kāi)_____。

6.在一個(gè)半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離小于R/2的概率是______。

7.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為10000元，每件產(chǎn)品的可變成本為50元，售價(jià)為80元，則該公司至少銷售______件產(chǎn)品才能盈利。

8.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，則S_5的值為_(kāi)_____。

9.在一個(gè)三角形中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，第三邊的長(zhǎng)度為x，則x的取值范圍是______。

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則其導(dǎo)數(shù)f'(x)等于______。

三、多選題

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，滿足約束條件2x+y≤24，x+2y≤20，x≥0，y≥0。若A產(chǎn)品的利潤(rùn)為3元/件，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，則以下哪些情況下工廠的利潤(rùn)最大？

A.x=8，y=8

B.x=10，y=5

C.x=6，y=9

D.x=4，y=10

2.在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則以下哪些情況下抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球？

A.抽到1個(gè)紅球，2個(gè)白球

B.抽到2個(gè)紅球，1個(gè)白球

C.抽到3個(gè)紅球

D.抽到1個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黑球

3.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30%的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，40%的學(xué)生喜歡物理，25%的學(xué)生既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理，則以下哪些情況下可以計(jì)算出既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生人數(shù)？

A.50-(30%+40%-25%)

B.50-(30%+40%)

C.50-25%

D.50-(30%+25%)

4.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，則以下哪些情況下可以計(jì)算出其側(cè)面積？

A.π×3×√(32+42)

B.π×3×4

C.π×3×√(42-32)

D.π×3×5

5.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，則以下哪些情況下可以計(jì)算出a的值？

A.(f(2)-f(1))/(2-1)

B.(f(3)-f(2))/(3-2)

C.(f(3)-f(1))/(3-1)

D.(f(2)-f(1))/(3-1)

四、判斷題

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，滿足約束條件2x+y≤24，x+2y≤20，x≥0，y≥0。若A產(chǎn)品的利潤(rùn)為3元/件，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，則該工廠每天的最大利潤(rùn)一定在約束條件的邊界上取得。

2.在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，則抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率等于抽到3個(gè)球中全是白球的概率。

3.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中30%的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，40%的學(xué)生喜歡物理，25%的學(xué)生既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理，則至少有15名學(xué)生既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理。

4.一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，則其側(cè)面積等于其底面積乘以高。

5.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，則可以確定a的值為2。

6.在一個(gè)半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離小于R/2的概率等于該點(diǎn)到圓心的距離大于R/2的概率。

7.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為10000元，每件產(chǎn)品的可變成本為50元，售價(jià)為80元，則該公司至少銷售200件產(chǎn)品才能盈利。

8.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，則S_5的值等于31。

9.在一個(gè)三角形中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，第三邊的長(zhǎng)度為x，則x的取值范圍一定是1<x<7。

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則其導(dǎo)數(shù)f'(x)等于e^x。

五、問(wèn)答題

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，滿足約束條件2x+y≤24，x+2y≤20，x≥0，y≥0。若A產(chǎn)品的利潤(rùn)為3元/件，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為5元/件，請(qǐng)列出該問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。

2.在一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，請(qǐng)計(jì)算抽到的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率，并說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。

3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，若f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，請(qǐng)列出三個(gè)關(guān)于a和b的方程，并說(shuō)明如何求解a和b的值。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：將約束條件繪制成可行域，目標(biāo)函數(shù)為Z=3x+5y。通過(guò)計(jì)算可知，在點(diǎn)(6,9)處取得最大值，Z_max=3*6+5*9=57，故最大利潤(rùn)為90元。

2.D

解析：至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件是全是白球或全是黑球。全是白球的概率為C(4,3)/C(12,3)=4/220=1/55。全是黑球的概率為C(3,3)/C(12,3)=1/220。故至少有一個(gè)紅球的概率為1-(1/55+1/220)=1-3/110=107/110=8/11。

3.B

解析：既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理的學(xué)生占25%，則只喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生占30%-25%=5%，只喜歡物理的學(xué)生占40%-25%=15%。故既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生有50-(5%+15%+25%)*50=50-25=15名。

4.A

解析：圓錐的母線長(zhǎng)l=√(r2+h2)=√(32+42)=5cm。側(cè)面積S=πrl=π*3*5=15πcm2。

5.B

解析：由f(1)=a+b+c=3，f(2)=4a+2b+c=5，f(3)=9a+3b+c=7。解得a=2，b=-1，c=2。

6.A

解析：圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，到圓心的距離小于R/2的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為R/2的小圓。其概率為π(R/2)2/πR2=1/4。

7.B

解析：設(shè)銷售量為x件，則利潤(rùn)為P=80x-(50x+10000)=30x-10000。令P≥0，解得x≥1000/30=100/3，即x≥33.33。故至少銷售34件產(chǎn)品才能盈利。

8.A

解析：a_1=1，a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=31。S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+7+15+31=57。但根據(jù)等比數(shù)列求和公式，S_n=a_1(2^n-1)=1(2^5-1)=31。故S_5的值為31。

9.A

解析：由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得4-3<x<4+3，即1<x<7。

10.A

解析：f'(x)=d/dx(e^x)=e^x。

二、填空題答案及解析

1.90

解析：同選擇題第1題解析，最大利潤(rùn)為90元。

2.8/11

解析：同選擇題第2題解析，至少有一個(gè)紅球的概率為8/11。

3.15

解析：同選擇題第3題解析，既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生有15名。

4.15π

解析：同選擇題第4題解析，側(cè)面積為15πcm2。

5.2

解析：同選擇題第5題解析，a的值為2。

6.1/4

解析：同選擇題第6題解析，概率為1/4。

7.34

解析：同選擇題第7題解析，至少銷售34件產(chǎn)品才能盈利。

8.31

解析：同選擇題第8題解析，S_5的值為31。

9.1<x<7

解析：同選擇題第9題解析，x的取值范圍是1<x<7。

10.e^x

解析：同選擇題第10題解析，導(dǎo)數(shù)f'(x)等于e^x。

三、多選題答案及解析

1.A,B,C,D

解析：目標(biāo)函數(shù)Z=3x+5y在可行域的頂點(diǎn)處取得最大值。頂點(diǎn)分別為(0,0),(10,0),(0,12),(8,8),(4,10),(6,9)。計(jì)算各頂點(diǎn)的Z值：Z(0,0)=0,Z(10,0)=30,Z(0,12)=60,Z(8,8)=64,Z(4,10)=62,Z(6,9)=69。最大值為69，出現(xiàn)在點(diǎn)(6,9)。因此所有選項(xiàng)都正確。

2.A,B,C,D

解析：至少有一個(gè)紅球包括：1紅2白、2紅1白、3紅。計(jì)算各概率：C(5,1)C(4,2)/C(12,3)=10/220=1/22；C(5,2)C(4,1)/C(12,3)=40/220=2/11；C(5,3)/C(12,3)=10/220=1/22。故P(至少1紅)=1-P(全白或全黑)=1-(C(4,3)/C(12,3)+C(3,3)/C(12,3))=1-(4/220+1/220)=1-5/220=215/220=1/44。驗(yàn)證各選項(xiàng)：A.1/22+2/11=6/22=3/11。B.2/11+1/22=5/22。C.1/22+5/22=6/22=3/11。D.1/22+2/11+1/22=6/22=3/11。所有選項(xiàng)的概率都小于或等于1/44，且選項(xiàng)C和D的概率為3/11，大于1/44，故所有選項(xiàng)都正確。

3.A,B,C,D

解析：既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生人數(shù)為50-50*(30%+40%-25%)=50-50*45%=50-22.5=27.5。但人數(shù)應(yīng)為整數(shù)，題目數(shù)據(jù)可能存在問(wèn)題。若按集合公式計(jì)算，既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理的人數(shù)M=50*(30%+40%-1)=50*15%=7.5。同樣人數(shù)應(yīng)為整數(shù)。若假設(shè)題目數(shù)據(jù)為近似值，則選項(xiàng)A,B,C,D的計(jì)算結(jié)果分別為：A.50-(30+40-25)=50-45=5。B.50-(30+40)=50-70=-20。C.50-25=25。D.50-(30+25)=50-55=-5。題目要求計(jì)算人數(shù)，結(jié)果應(yīng)為非負(fù)整數(shù)。選項(xiàng)A為唯一符合邏輯的答案，但無(wú)法保證題目數(shù)據(jù)精確。

4.A

解析：圓錐側(cè)面積S=πrl=π*3*√(32+42)=3π√(9+16)=3π√25=15πcm2。選項(xiàng)B為底面積乘以高，不正確。選項(xiàng)C為底面半徑乘以斜高（這里l=5不是斜高），不正確。選項(xiàng)D為底面半徑乘以一個(gè)不相關(guān)的數(shù)，不正確。

5.A,B,C

解析：由f(1)=a+b+c=3，f(2)=4a+2b+c=5，f(3)=9a+3b+c=7。A.(f(2)-f(1))/(2-1)=(5-3)/(2-1)=2/1=2。B.(f(3)-f(2))/(3-2)=(7-5)/(3-2)=2/1=2。C.(f(3)-f(1))/(3-1)=(7-3)/(3-1)=4/2=2。D.(f(2)-f(1))/(3-1)=(5-3)/(3-1)=2/2=1。故a=2。

6.A,B,C

解析：概率為π(R/2)2/πR2=(R/2)2/R2=R2/4/R2=1/4。A.P(距離<R/2)=1/4。B.P(距離>R/2)=1-P(距離<R/2)=1-1/4=3/4。C.P(距離=R/2)=0。D.P(距離<R)=1。故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。題目選項(xiàng)設(shè)置有誤。

7.A,B,C,D

解析：同選擇題第7題解析，至少銷售34件產(chǎn)品才能盈利。A.34<100。B.34<200。C.34<250。D.34<300。故都正確。

8.A,B,C,D

解析：同選擇題第8題解析，S_5的值為31。A.S_5=1+3+7+15+31=57。B.S_5=1*(2^5-1)=31。C.S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=57。D.S_5=S_4+a_5=31+31=62。故A、B、C正確，D錯(cuò)誤。題目選項(xiàng)設(shè)置有誤。

9.A,B,C,D

解析：同選擇題第9題解析，x的取值范圍是1<x<7。A.1<x<7。B.2<x<8。C.3<x<7。D.4<x<6。這些不等式都滿足x的取值范圍，故都正確。

10.A,B,C,D

解析：同選擇題第10題解析，導(dǎo)數(shù)f'(x)等于e^x。A.f'(x)=e^x。B.f'(x)=xe^x。C.f'(x)=e^x/x。D.f'(x)=1。故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。題目選項(xiàng)設(shè)置有誤。

四、判斷題答案及解析

1.√

解析：線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得。畫(huà)出約束條件的可行域，發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)(6,9)處取得最大利潤(rùn)，位于邊界上。

2.×

解析：至少有一個(gè)紅球的概率為1-(4/220+1/220)=215/220=43/44。抽到3個(gè)球中全是白球的概率為4/220=1/55。1/55≠43/44。

3.×

解析：既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡物理的學(xué)生占25%，則只喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生占30%-25%=5%，只喜歡物理的學(xué)生占40%-25%=15%。故既不喜歡數(shù)學(xué)也不喜歡物理的學(xué)生有50-(5%+15%+25%)*50=50-22.5=27.5。人數(shù)應(yīng)為整數(shù)，題目數(shù)據(jù)可能存在問(wèn)題。

4.×

解析：圓錐側(cè)面積公式為S=πrl，其中r是底面半徑，l是母線長(zhǎng)。l=√(r2+h2)=√(32+42)=5cm。側(cè)面積S=π*3*5=15πcm2。底面積乘以高是S_底*h=π*32*4=36πcm2，不等于側(cè)面積。

5.√

解析：由f(1)=a+b+c=3，f(2)=4a+2b+c=