第十八章平行四邊形專項突破練7

正方形的幾個?？寄Ｐ蜆s德基2UDDE模型圖①

②

③模型歸納在正方形ABCD中，圖①:AE⊥BF?AE=BF(互逆);圖②:EH⊥FG?EH=FG(互逆);圖③

:CE⊥BH?CE=BH(互逆)模型1十字架模型【模型分析】1.如圖①,在正方形ABCD中，點E為邊AD上一點，連接BE,點M在邊CD上運(yùn)動.(1)如圖②,當(dāng)點M和點C重合時，過點C作BE的垂線，

垂足為點P,交直線AB于點N.請直接寫出MN與BE的數(shù)量關(guān)系：

MN=BE

;①(2)如圖③,過點M

作BE的垂線，垂足為點P,

交直線AB于點N,試證明(1)中的結(jié)論仍成立.又∵

MN

⊥BE,

∴AF//MN.∵

四邊形ABCD是正方形，

∴AB//CD.∴

四邊形AFMN

是平行四邊形.證明：如圖，過點A作AF⊥BE

于點G,

交CD于點F.∴AF=MN.∵

四邊形ABCD是正方形，∴∠ADF=∠BAE=90°

,AD=BA.∴∠ABE+∠AEB=90°.∵AF⊥BE,

∴∠AGE=90°,

∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠DAF=∠ABE.在△ADF和△BAE中，∴△ADF≌△BAE(ASA).∴BE=AF.又∵

AF=MN,∴BE=MN.模型圖模型歸納在正方形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,若∠EOF為直角，則△AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH是等腰直角三角形

，

正方形ABCD模型2中心直角模型【模型分析】2.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC,BD

相交于

0

,

設(shè)E,F分別是AD,AB

上的點，若∠EOF=90°,DO=4,

求四邊形AEOF的面積.解：∵四邊形ABCD是正方形，AC,BD是對角線，DO=4,∴AO=DO=4,∠EDO=∠FAO=45°,BD⊥AC,∴

∠AOD=90°.又∵∠EOF=90°,

∴∠DOE=∠AOF.∴△DOE≌△AOF(ASA),∴S△DOE=S△AOF.∴S

四邊形AEOF=S△AOE+S△AOF=S△AOE+S△DOE=S在△DOE

和△AOF中

，模型圖模型歸納方法：在AB上截取AM=EC.點E在正方形ABCD的邊BC上運(yùn)動，若∠AEF=90°,CF平分

∠DCG,則△AME≌△ECF,AE=EF,∠EAF=45°模型3

外角平分線模型【模型分析】3.如圖①,四邊形ABCD

是正方形，點E是邊BC

的中點，∠AEF=90°,且EF

交正方形外角的平分線CF

于點F.求證：AE=EF.

(提示：取AB

的中點G,

連接EG)(1)請思考，提示中添加輔助線的意圖是得到條件：

AG=CE; (2)如圖②,若點E是BC

邊上任意一點(不與點B,C

重合),其他條件不變.求證：AE=EF.∵

四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠B=90°.∵AG=EC,∴BG=BE,∴△BGE是等腰直角三角形，證明：如圖，在AB上截取AG=EC,

連接EG.∴∠BGE=∠BEG=45°,∴

∠AGE=135°

.∵CF平分正方形ABCD的一個外角，∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°

,

∴∠AGE=∠ECF.∵AE⊥EF,

∴∠AEB+∠FEC=90°.∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠FEC=∠BAE,∴△GAE≌△CEF(ASA),∴AE=EF.模型圖模型歸納方法：旋轉(zhuǎn)△ADF到△ABG的位置.在正方形ABCD中，若∠EAF=45°,則BE+DF=EF,EA平分∠BEF,FA平分∠DFE,S△ABE+S△ADF=S△AEF,AI=AB,C△CEF=2AB模型4

半角模型【模型分析】4.如圖，在正方形ABCD

中，點E,F

分別在BC,CD

上連接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,則

∠FEC一定等于(

A

)A.2a

B.90°-2αC.45°-a

D.90°-a,

AB

E(第4題)5.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EA