試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁材料題重慶中考16題的整除類材料題是高頻考向之一，屬于新定義材料題的核心細(xì)分題型，以“新定義整除規(guī)則/數(shù)的特征”為載體，考查數(shù)的整除性質(zhì)、代數(shù)式變形、規(guī)律探究和分類討論能力，解題關(guān)鍵是吃透自定義整除規(guī)則、轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式、結(jié)合數(shù)的特征分析求解。以下是貼合重慶考情的專屬技巧，含核心解題流程、題型細(xì)分技巧、避坑要點(diǎn)，直擊該類題型得分點(diǎn)。一、題型核心特征（重慶考情專屬）題干形式：先給出全新的整除定義（區(qū)別于課本上的2、3、5、9的整除規(guī)則），如“若一個數(shù)的末兩位數(shù)字之和能被4整除，則稱這個數(shù)為‘4友好數(shù)’”“若一個三位數(shù)abc滿足a+c?2b能被7整除，則稱這個數(shù)為‘7倍數(shù)’”，再結(jié)合定義提出問題（求符合條件的數(shù)、參數(shù)值、最大/最小值等）；考查載體：多以兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)（用ab、abc表示數(shù)位）為載體，偶見代數(shù)式形式的數(shù)；核心考點(diǎn)：數(shù)位的代數(shù)表示、整式變形、數(shù)的取值范圍（正整數(shù)、數(shù)位數(shù)字0-9的限制）、分類討論、簡單規(guī)律推導(dǎo)；計(jì)算特點(diǎn)：思維量大、計(jì)算量小，易因數(shù)位表示錯誤、忽略數(shù)字限制、漏解丟分。二、解題核心流程（固定步驟，破解所有整除類材料題）讀定義圈關(guān)鍵→數(shù)位轉(zhuǎn)代數(shù)→列整除等式→定取值范圍→分類討論求解→驗(yàn)證答案讀定義圈關(guān)鍵：圈出自定義的整除規(guī)則（如“誰能被誰整除”“整除的代數(shù)式特征”）、數(shù)的形式（如三位數(shù)、兩位數(shù)）、問題要求（如求最大的數(shù)、求參數(shù)的整數(shù)值）；數(shù)位轉(zhuǎn)代數(shù)：將帶橫線的數(shù)位表示轉(zhuǎn)化為整式形式（核心步驟），如100a+10b+c、10x+y（為首位數(shù)字，不能為0，其余數(shù)位數(shù)字0-9）；列整除等式：根據(jù)自定義規(guī)則，列出整除的代數(shù)表達(dá)式——若A能被k整除，則設(shè)A=kt（t為整數(shù)），這是將整除問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的核心；定取值范圍：根據(jù)數(shù)位特征確定每個數(shù)字的取值范圍（如首位數(shù)字：1≤a≤9，其余：0≤b,c≤9；參數(shù)若為數(shù)位數(shù)字，同樣遵循此規(guī)則）；分類討論求解：結(jié)合整除等式和取值范圍，按整數(shù)t的可能值/數(shù)位數(shù)字的可能值分類討論，逐一驗(yàn)證；驗(yàn)證答案：將求出的數(shù)代入自定義整除規(guī)則驗(yàn)證，同時檢查是否符合數(shù)位取值范圍，避免錯解、漏解。1．對于任意的一個三位數(shù)．如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且均不為0，那么稱這個數(shù)為“新年快樂數(shù)”．將一個“新年快樂數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字交換后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為．例如，因?yàn)?56為“新年快樂數(shù)”，交換后得到三個不同的新三位數(shù)為465，654，546，所以，若M為最大的“新年快樂數(shù)”，則F(M)的值為；若“新年快樂數(shù)”（其中，且x，y均為整數(shù)），均為整數(shù)，則滿足條件的M的值是．2．若一個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，且滿足十位和個位數(shù)字的和的平方等于由千位和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)，則稱這個四位數(shù)為“開心數(shù)”，例如：四位數(shù)2541，因?yàn)?，所?541是“開心數(shù)”；又如，四位數(shù)6745，，所以6745不是“開心數(shù)”．則最大的“開心數(shù)”為；已知是“開心數(shù)”，將去掉個位數(shù)字后所得的三位數(shù)記為，記，若能夠被9整除，則滿足條件的最大值與最小值的和為．3．如果一個五位數(shù)的萬位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于其百位數(shù)字，千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于其百位數(shù)字的2倍，則稱這個五位數(shù)為“對稱數(shù)”，則最小的“對稱數(shù)”為；一個五位數(shù)A，規(guī)定其末三位數(shù)字組成的數(shù)與其前兩位數(shù)字組成的數(shù)的和為，其末三位數(shù)字組成的數(shù)與其前兩位數(shù)字組成的數(shù)的差為，若為“對稱數(shù)”（其中，，，，且a，b，c，d為整數(shù)），且，均為整數(shù)，則滿足條件的A的值為．4．若一個四位自然數(shù)滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，的千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則稱為“跳躍數(shù)”，最小的“跳躍數(shù)”為，將的千位數(shù)字和十位數(shù)字交換，百位數(shù)字和個位數(shù)字交換后得到的新數(shù)記為，規(guī)定：，若為整數(shù)，是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)為．5．如果一個四位自然數(shù)P各數(shù)位上的數(shù)字不完全相同且均不為零，將這個四位自然數(shù)P的千位數(shù)字和百位數(shù)字互換，十位數(shù)字和個位數(shù)字互換，得到一個新的四位自然數(shù)Q，規(guī)定；將這個四位數(shù)P的個位數(shù)字放到千位數(shù)字的左邊，組成一個新的四位數(shù)R，再將R的左邊兩位數(shù)字不交換順序一起放到個位的右邊，組成一個新的四位數(shù)S，規(guī)定．若四位數(shù)，則．若四位數(shù)（，，x，y為整數(shù)），滿足，則滿足條件的所有B的和為．6．若一個四位數(shù)的千位數(shù)字比個位數(shù)字大，百位數(shù)字和十位數(shù)字之和為，則稱這個數(shù)為“湊十?dāng)?shù)”．（1）已知一個能夠被整除的“湊十?dāng)?shù)”各個數(shù)位上的數(shù)字有個都是相同的，則這個“湊十?dāng)?shù)”是；（2）若兩個“湊十?dāng)?shù)”、，其中的千位和百位數(shù)字分別為，其中均為整數(shù)，且，若為整數(shù)，且的各數(shù)位上的數(shù)字之和與的各數(shù)位上的數(shù)字之和的比值為，則滿足條件的的最大值與最小值之和為．7．對于任意一個四位正整數(shù)，若滿足百位數(shù)字比千位數(shù)字大2，個位數(shù)字比十位數(shù)字大2．且各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零且互不相等，我們就把這個數(shù)叫作“繁花數(shù)”．將“繁花數(shù)”的千位、個位上的數(shù)字交換位置，百位、十位上的數(shù)字也交換位置，得到一個新的數(shù)，記．則最大的“繁花數(shù)”是；已知都是“繁花數(shù)”，其中，（、、、、，且均為整數(shù)），若，且滿足是12的倍數(shù)，則的值為．8．如果一個四位自然數(shù)M各數(shù)位上的數(shù)字不全相同，將這個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字和十位數(shù)字互換，百位數(shù)字和個位數(shù)字互換，得到一個新的四位自然數(shù)N，規(guī)定；將這個四位自然數(shù)M的千位數(shù)字放到個位數(shù)字的右邊，組成一個新的四位數(shù)A，再將A的千位數(shù)字放到個位數(shù)字的右邊，組成一個新的四位數(shù)B，規(guī)定．若，則．若（，，x，y為整數(shù)），滿足，則滿足條件的所有的和為．9．若一個四位自然數(shù)的百位數(shù)字比千位數(shù)字大，個位數(shù)字是十位數(shù)字的倍，且各個數(shù)位上的數(shù)字均不為，則稱這個四位數(shù)為“加數(shù)”．若一個四位自然數(shù)的百位數(shù)字是千位數(shù)字的倍，個位數(shù)字比十位數(shù)字大，且各個數(shù)位上的數(shù)字均不為，則稱這個四位數(shù)為“倍數(shù)”．例如是“加數(shù)”，是“倍數(shù)”．則最小的“加數(shù)”與最大的“倍數(shù)”之和是．若為“加數(shù)”，為“倍數(shù)”，與的千位數(shù)字均為，的十位數(shù)字為，的十位數(shù)字為，且各數(shù)位上的數(shù)字之和分別記為、，當(dāng)為整數(shù)時，的最小值為10．我們規(guī)定：若一個六位正整數(shù)，其前三位數(shù)與后三位數(shù)之和為999，則稱M為“團(tuán)圓數(shù)”，記；若一個四位正整數(shù)，其前兩位數(shù)與后兩位數(shù)之和為99，則稱為“歡喜數(shù)”，記．請按以上規(guī)定，寫出；若是某個自然數(shù)的平方，且是10的整數(shù)倍，則滿足條件的正整數(shù)M的最大值為．11．一個四位正整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，并且滿足（k為正整數(shù)且），則稱這個四位數(shù)為“奇方數(shù)”．例如：四位正整數(shù)2341，因?yàn)?，且，所?341是“奇方數(shù)”．若是“奇方數(shù)”且，則最小的N為；若也是一個“奇方數(shù)”，令，記，若除以11余數(shù)為5，則符合條件的所有A的最大值與最小值的差為．12．若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字之和、個位數(shù)字之和都為8，則稱為“能量數(shù)”，并將分解成的過程稱為“能量分解”．例如，，，所以968是“能量數(shù)”，968分解成的過程就是“能量分解”．按照這個規(guī)定，最小的“能量數(shù)”是．把一個“能量數(shù)”進(jìn)行“能量分解”，即，將放在的左邊組成一個四位數(shù)，將放在的右邊組成一個四位數(shù)，若能被8整除，且（為整數(shù)），則滿足條件的整數(shù)的值是．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．24217【分析】本題主要考查新定義下實(shí)數(shù)的運(yùn)算、二元一次方程的解、數(shù)字類規(guī)律探索，掌握數(shù)位變換后的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．首先求解的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其是數(shù)字的和，從而通過最大的“新年快樂數(shù)”是987，其數(shù)字之和為，故F(M)=24；再通過，判斷M的百位數(shù)是x，十位數(shù)是，個位數(shù)是7，再通過為整數(shù)列舉求得滿足條件的數(shù)字，最終結(jié)合整除和數(shù)字互不相同的約束的條件，求解得出滿足條件的數(shù)字即可．【詳解】解：設(shè)，∴對調(diào)后的三個新三位數(shù)分別為，，，∴，即為數(shù)字之和，∵最大的“新年快樂數(shù)”是987，∴；∵，∴，即M的百位數(shù)是x，十位數(shù)是，個位數(shù)是7，∵為整數(shù)，∴為整數(shù)，列舉解得：，或，或，，∴當(dāng)，時，，此時，成立；當(dāng)，時，，不滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同；當(dāng)，時，，不滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同；∴滿足條件的M的值是217；故答案為：24，217．2．81720【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算，分式化簡，解題的關(guān)鍵是理解新定義．根據(jù)“開心數(shù)”的定義，即四位數(shù)滿足十位與個位數(shù)字和的平方等于千位與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)，且各位數(shù)字互不相等且均不為零，首先尋找最大的“開心數(shù)”，需千位數(shù)字盡可能大，且滿足條件的平方數(shù)；通過化簡的表達(dá)式，并利用整除條件確定的值，進(jìn)而計(jì)算的所有可能值，求其最大值與最小值的和即可．【詳解】解：設(shè)四位數(shù)，則“開心數(shù)”滿足，且a，b，c，d互不相等且均不為零，∵為兩位數(shù)，∴，要使得M最大，則需千位數(shù)字a最大，∴a最大可能值為8，此時，故，此時，∵數(shù)字互不相等，∴c和d不能為8或1，可能組合中，，時十位數(shù)字最大，故，且數(shù)字8，1，7，2互不相等，滿足條件，為最大“開心數(shù)”；由定義，，代入得：，根據(jù)題意得：，∴，設(shè)，∵，∴，則，∵能夠被9整除，∴能被9整除，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；∴或，當(dāng)時，，故，，，且數(shù)字互不相等，∴或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，，，且數(shù)字互不相等，∴或或或或或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴可能值為1，，，，，，，，∴最大值為1，最小值為，最大值與最小值的和為．故答案為：8172；0．3．1012039633【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，不定方程，設(shè)這個“對稱數(shù)”為，根據(jù)“對稱數(shù)”的定義，得到，進(jìn)而求出最小的“對稱數(shù)”是10120；根據(jù)為“對稱數(shù)”，得到，得到，，根據(jù)，均為整數(shù)，得到，均為整數(shù)，設(shè)，，由，得，，得，得，得，得，得，分類討論進(jìn)行求解即可．【詳解】解：第一填空：設(shè)“對稱數(shù)”為，根據(jù)題意有，，為使五位數(shù)最小，萬位應(yīng)取最小值1，千位應(yīng)取最小值0，則，，為使百位最小，且滿足與，則的最小整數(shù)值為1，此時，，∴最小的“對稱數(shù)”是10120．第二填空：∵為“對稱數(shù)”，，，，，且a，b，c，d為整數(shù)，∴，（，），即，∴，∴，∵，．∴，，∵，均為整數(shù)，∴，均為整數(shù)，設(shè)，（m、n均為整數(shù)），則，∵，，，，且，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴,即,∴，當(dāng)時，，，整數(shù)，∴符合；當(dāng)時，，，分?jǐn)?shù)，∴不符合，∴，，，，∴，∴滿足條件的A的值為39633.故答案為：10120；39633．4．或【分析】本題考查的是數(shù)的整除，整式加減運(yùn)算的應(yīng)用，二元一次方程組的解法，根據(jù)新定義的含義可得最小的“跳躍數(shù)”的千位為，再進(jìn)一步可得最小的“跳躍數(shù)”，分別求解，，可得，求解，結(jié)合整除的性質(zhì)建立方程組解題即可．【詳解】解：∵一個四位自然數(shù)滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，的千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則稱為“跳躍數(shù)”，∴，，則當(dāng)時，M最小，∴最小的“跳躍數(shù)”為，∵將的千位數(shù)字和十位數(shù)字交換，百位數(shù)字和個位數(shù)字交換后得到的新數(shù)記為，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵為整數(shù)，∴是的倍數(shù)，∵為至的正整數(shù)且互不相同，而，∴或或或，∵是整數(shù)，∴是整數(shù)，∴是的倍數(shù)，而，∴或，當(dāng)，解得：，∴，，∴，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，當(dāng)，解得：，∴，，不符合題意舍去，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，當(dāng)，沒有正整數(shù)解舍去，綜上：為．故答案為：；．5．15048【分析】本題考查了整式的加減的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用、解二元一次方程組，理解題意，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．對于，根據(jù)定義計(jì)算和，然后求差．對于，通過數(shù)字關(guān)系得到B的各位數(shù)字表達(dá)式，代入給定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和．【詳解】解：若四位數(shù)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，∵四位數(shù)（，，x，y為整數(shù)），∴，∴B的各位數(shù)字為，∵數(shù)位上的數(shù)字均不為零，∴，解得：，∴Q的各位數(shù)字為，∴，∴，∴R的各位數(shù)字為，S的各位數(shù)字為，∴，，∴，代入方程，，得，化簡得，∵，，，且均為正整數(shù)，∴，，且均為整數(shù)，∴或，解得：或．則B值為6633和8415，和為．故答案為：，15048．6．【分析】本題考查定義新運(yùn)算，整式的加減，解不等式組，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；（1）由“湊十?dāng)?shù)”定義發(fā)現(xiàn)千位數(shù)字和個位數(shù)字不可能相等，即可根據(jù)“湊十?dāng)?shù)”各個數(shù)位上的數(shù)字有個都是相同得到百位數(shù)字和十位數(shù)字必定是相同的，為，千位數(shù)字和個位數(shù)字其中一個也為，最后根據(jù)能夠被整除的“湊十?dāng)?shù)”確定結(jié)果即可；（2）先求出，再設(shè)的千位和百位數(shù)字分別為，，由為整數(shù)，得到或者，解不等式組得到，或者，再由的各數(shù)位上的數(shù)字之和與的各數(shù)位上的數(shù)字之和的比值為，整理得，求出或，再根據(jù)為偶數(shù)，得到的千位數(shù)字是，個位數(shù)字為，或或或或者，據(jù)此求出的最大值與最小值之和即可．【詳解】解：（1）∵“湊十?dāng)?shù)”千位數(shù)字比個位數(shù)字大，百位數(shù)字和十位數(shù)字之和為，各個數(shù)位上的數(shù)字有個都是相同的，∴百位數(shù)字和十位數(shù)字必定是相同的，為，千位數(shù)字和個位數(shù)字其中一個也為，當(dāng)千位數(shù)字為4時，則個位數(shù)字為，此時四位數(shù)為，各個數(shù)位之和為，不能夠被整除，即不能夠被整除，不合題意；當(dāng)個位數(shù)字為4時，則千位數(shù)字為，此時四位數(shù)為，各個數(shù)位之和為，能夠被整除，即能夠被整除，符合題意；故答案為：．（2）∵“湊十?dāng)?shù)”的千位和百位數(shù)字分別為，∴個位數(shù)字為，十位數(shù)字為，，∴，設(shè)的千位和百位數(shù)字分別為，∴個位數(shù)字為，十位數(shù)字為，，∴，∴∵為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴為13的倍數(shù)，∵，∴，∴，或者，∴，或者，當(dāng)時，，解得，∴，當(dāng)時，的百位數(shù)字為，的百位數(shù)字為，那么，∵的各數(shù)位上的數(shù)字之和與的各數(shù)位上的數(shù)字之和的比值為，∴，整理得，∵，，，，且和都為正整數(shù)，∴或，∴的千位數(shù)字是，個位數(shù)字為或千位數(shù)字是，個位數(shù)字為，∵，為偶數(shù)，∴的千位數(shù)字是，個位數(shù)字為，∵的百位數(shù)字是，，或者，∴或或或或，∵必定是的倍數(shù)，而個位數(shù)字為，，∴，解得；∴，∵，∴十位數(shù)字為，或或或或，或者或或者或者∴或者或者或者（舍去）或者，∴當(dāng)時，取最大值，最大值為；當(dāng)時，取最小值，最小值為；∴滿足條件的的最大值與最小值之和為，故答案為：．7．79683524【分析】本題考查了新定義，整式加減的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，列出二元一次方程求解．根據(jù)“繁花數(shù)”的定義即可求出最大的“繁花數(shù)”；根據(jù)求出和，再根據(jù)是12的倍數(shù)，求出t的值，根據(jù)求出s的值即可．【詳解】解：根據(jù)“繁花數(shù)”的定義可知千位上的數(shù)最大為7，則百位上的數(shù)為9，∵各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零且互不相等，∴十位上的數(shù)最大只能為6，則個位上的數(shù)為8，最大的繁花數(shù)是7968；∵s是“繁花數(shù)”，∴，，；∵t是“繁花數(shù)”，，∴，；∵是12的倍數(shù)，，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴．故答案為：7968，3524．8．18481【分析】根據(jù)題意求出，，即可求出的值，由題意可得，從而求出，，代入得出，整理得出，結(jié)合題意可得或，再分情況求解即可．【詳解】解：，，∴，，，，∴，，∵（，，x，y為整數(shù)），∴，∵，，∴，，∴，∴，；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，x，y為整數(shù)∴，，∴或，當(dāng)，即時，此時，當(dāng)，即時，此時，∴滿足條件的所有的和為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用、解二元一次方程組，理解題意，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)定義可得最小“加數(shù)”為，最大“倍數(shù)”為，據(jù)此即可求解；根據(jù)題意可得，，，，進(jìn)而得到，，再代入代數(shù)式可得，進(jìn)而根據(jù)為整數(shù)即可求解；本題考查了列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，理解新定義解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①由題意可得，當(dāng)四位自然數(shù)的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為時，所得“加數(shù)”最小，最小為；當(dāng)四位自然數(shù)的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為時，所得“倍數(shù)”最大，最大為，∴最小的“加數(shù)”與最大的“倍數(shù)”之和是，故答案為：；②由題意得，，，∴，又∵，，∴，∴，∵為整數(shù)，，，取最小值，，，∴的最小值為，故答案為：．10．106809190【分析】本題主要考查了因式分解以及完全平方數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干的定義進(jìn)行計(jì)算即可；化簡以及，根據(jù)與的比值求出c的值，然后根據(jù)是完全平方數(shù)求出M的最大值即可．【詳解】解：；根據(jù)定義可知，，∵一位數(shù)一位數(shù)，∴上面兩個加法每個數(shù)位都沒有進(jìn)位，∴，∴∴，∴∴，設(shè)，，∴，∴，∴，∵是完全平方數(shù)，∴是完全平方數(shù)，∴是完全平方數(shù)的10倍，∵后三位以及后兩位存在，∴，∴m最大取8，∴最大可以為，此時，，∴，∴．故答案為：106，809190．11．23593500【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律探索，整式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，用分類討論的思想，解決問題．對于第一部分，由和，代入條件公式得，