/上海市奉賢區(qū)2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)科質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．設(shè)全集為，集合，則．2．已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的體積是（結(jié)果保留π）．3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為.4．的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為．5．雙曲線的漸近線方程是．6．已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值是．7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則.8．從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為．9．已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當(dāng)、取遍所有正整數(shù)時(shí)，的值中不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為．10．某海濱浴場(chǎng)平面圖是如圖所示的半圓，其中O是圓心，直徑MN為400米，P是弧MN的中點(diǎn)．一個(gè)急救中心A在棧橋OP中點(diǎn)上，計(jì)劃在弧NP上設(shè)置一個(gè)瞭望臺(tái)B，并在AB間修建浮橋．已知越大，瞭望臺(tái)B處的視線范圍越大，則B處的視線范圍最大時(shí)，AB的長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到1米）11．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A與事件B是獨(dú)立的，則n的值為．12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到向量．若，則的最大值為．二、單選題13．已知復(fù)數(shù)z和，則下列說法正確的是（

）A．一定是實(shí)數(shù) B．一定是虛數(shù)C．若，則是純虛數(shù) D．若，則是純虛數(shù)14．已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件15．設(shè)，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等，且側(cè)棱兩兩垂直．設(shè)P為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，記．若集合D中有且只有2個(gè)元素，則符合條件的點(diǎn)P有（

）個(gè)．A．3 B．6 C．7 D．10三、解答題17．如圖所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．

（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18．在中，已知點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，.（1）若，且，求AD的長(zhǎng)；（2）若，，求AD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01）.19．為加強(qiáng)學(xué)生睡眠監(jiān)測(cè)督導(dǎo)，學(xué)校對(duì)高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機(jī)抽樣法，學(xué)校在高一?高二和高三年級(jí)中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時(shí)間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級(jí)一共512人.（1）學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有多少個(gè)學(xué)生？（2）若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如下表所示（其中是正整數(shù)）日均睡眠時(shí)間（小時(shí)）8.599.510學(xué)生數(shù)量3213114求該樣本的第40百分位數(shù).（3）從這100名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間，求其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率.20．已知圓，雙曲線，直線，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線的離心率；（2）若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)、，與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、，四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為、、、．當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．對(duì)于函數(shù)圖象上不同的三點(diǎn)（其中），記點(diǎn)M處的切線為l，若，則稱M為函數(shù)在區(qū)間上的“T點(diǎn)”．特別地，當(dāng)，則稱M為函數(shù)在區(qū)間上的“和諧T點(diǎn)”．（1）設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上的“T點(diǎn)”，若，求實(shí)數(shù)n的值；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)“T點(diǎn)”，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)a的值組成的集合；（3）設(shè)，試探究函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在一個(gè)包含“和諧T點(diǎn)”的區(qū)間，若存在，求出該區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】【詳解】由，則．2．【正確答案】【詳解】如下圖做出軸截面：代入圓錐體積公式.3．【正確答案】【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為.4．【正確答案】35【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為.5．【正確答案】【詳解】令可得，即.6．【正確答案】100【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即的最大值為.7．【正確答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以.8．【正確答案】144【詳解】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.9．【正確答案】6【詳解】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個(gè).10．【正確答案】【詳解】令，，且，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，取最小值，此時(shí)最大.11．【正確答案】3【詳解】由題意可知：，，，因?yàn)楠?dú)立，所以，即，結(jié)合均隨n的增大而增大，故.12．【正確答案】【詳解】設(shè)，則，故，所以，則，故，由，即到原點(diǎn)距離與到的距離之和為8，易知的軌跡為一個(gè)橢圓，且，，如下圖，若為橢圓的右頂點(diǎn)，則，且直線，易知，即，由，令①，所以，要使最大，只需的截距最大，即最大，結(jié)合圖知，該直線過點(diǎn)即可，將代入①，有.13．【正確答案】A【詳解】設(shè),則故為實(shí)數(shù)，故A正確，對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為實(shí)數(shù)，C錯(cuò)誤，對(duì)于D,，則，則是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選A14．【正確答案】B【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.而“垂直于內(nèi)的兩條直線”，沒有滿足相交，所以不一定能推出直線與平面垂直，但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，即可得：“垂直于內(nèi)的兩條直線”是“”的必要不充分條件.故選B.15．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，則，A不是；對(duì)于B，當(dāng)為第二象限時(shí)，，，取，，則，B不是；對(duì)于C，當(dāng)為第三象限時(shí)，，取，，，C不是；對(duì)于D，當(dāng)為第四象限時(shí)，，，則，當(dāng)為第四象限時(shí)，，D正確.故選D16．【正確答案】D【詳解】設(shè)，情況如下：①到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離一樣，到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離一樣，且，由具有對(duì)稱性，不妨討論，，滿足題意的應(yīng)同時(shí)在線段的中垂線面和三棱錐表面上，即為其中垂面交線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖兩點(diǎn)，同理，，和，也各有2個(gè)滿足題意的點(diǎn)，故共6個(gè)；②到其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離一樣，到另一個(gè)頂點(diǎn)的距離為，且，若到的距離一樣，即，則為過外心的垂線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖和（舍）；若到和中的兩個(gè)距離一樣，由具有對(duì)稱性，不妨討論，則為過外心的垂線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖，同理，和也各有1個(gè)滿足題意的點(diǎn)，共4個(gè)；綜上，共有10個(gè)滿足題意的點(diǎn).故選D17．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）因?yàn)槭钦叫危裕?/p>

因?yàn)榈酌?，所以，又?在平面內(nèi)，所以平面,在平面內(nèi)，所以，由底面，可得，所以，即有，因?yàn)?，所以，和在平面?nèi)，且，所以平面．（2）方法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題可知,,.所以．

得直線與平面所成角的正弦值.方法2：（建系）

以為原點(diǎn)，射線為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．可得則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，直線與平面所成角的正弦值等于向量與平面法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值.18．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)椋?，，又，所以即，解?（2）在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得.19．【正確答案】（1）1600（2）（3）【詳解】（1）設(shè)學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有個(gè)學(xué)生,因?yàn)椴捎梅謱映闃臃ǔ槿∫粋€(gè)容量為100的樣本，在高一年級(jí)抽取了35人，高二年級(jí)抽取了33人，所以高三抽取的人數(shù)為：人，又因?yàn)楦呷昙?jí)一共512人，所以有：，解得.所以學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有1600個(gè)學(xué)生.（2）因?yàn)槌槿?00名學(xué)生的樣本極差為2，所以又因?yàn)?，所以樣本的?0百分位數(shù)為：（3）因?yàn)?00名學(xué)生的樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)學(xué)生的總情況數(shù)為：其中至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的情況為：所以至少有1個(gè)數(shù)據(jù)來自高三學(xué)生的概率為：20．【正確答案】（1）（2）見詳解（3）【詳解】（1）由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）由直線與圓相切，得，即，聯(lián)立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為，因此兩根一正一負(fù)，即與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn).（3）設(shè)，聯(lián)立，得，得，由可得.聯(lián)立得，得且分別交于左右兩支可得，又，又、、、四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，，，還可得，，即，化簡(jiǎn)后可得:，代入后化簡(jiǎn)可得:，解得，由，得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)與兩支分別有交點(diǎn)，為唯一滿足條件的實(shí)數(shù).21．【正確答案】（1）（2）（3）不存在，理由見詳解【詳解】（1），由可得，而因?yàn)闉楹瘮?shù)在區(qū)間上的“T點(diǎn)”，故.（2），因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)“T點(diǎn)”，所以在上有三個(gè)不同的解，故在上有三個(gè)不同的解，設(shè)，則，則在上有兩