/四川省瀘州市三校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線在軸上的截距為（

）A． B．8 C． D．2．設(shè)，則（

）A． B． C．10 D．3．已知雙曲線的焦距為12，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．已知是空間的一個(gè)基底，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．兩兩共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底5．某學(xué)校對(duì)班級(jí)管理實(shí)行量化打分，每周一總結(jié)，若一個(gè)班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級(jí).下列能斷定該班為優(yōu)秀班級(jí)的是（

）A．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，中位數(shù)為81B．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差大于0C．某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81，眾數(shù)為83D．某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83，方差為16．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，則的面積等于（

）A．24 B．26 C． D．7．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（

）

A． B． C． D．8．過雙曲線(，)的左焦點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn)，且，若，則的離心率為（）A．2 B． C．3 D．二、多選題9．連續(xù)拋擲兩次一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄下每次拋擲的結(jié)果，記事件“正面向上的次數(shù)大于反面向上的次數(shù)”，事件“第i次拋擲的結(jié)果為正面向上”（其中），則有（

）A．事件A與事件是互斥事件 B．事件與事件是相互獨(dú)立事件C． D．10．如圖，棱長均為2的正三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．C．直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為11．1694年瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線，我們將其稱為伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)是時(shí)的雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．雙紐線的方程為B．C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有2個(gè)D．的最大值為三、填空題12．已知向量，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為.13．王老師為了了解本班學(xué)生每周購買零食的支出情況，利用分層抽樣抽取了一個(gè)10人的樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：人數(shù)平均支出（元）方差男生6356女生4404則該班學(xué)生每周購買零食的支出的總方差為．14．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.已知點(diǎn)F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，從點(diǎn)F出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：相切，則p的值是.四、解答題15．為豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，某高中開設(shè)了“校本課程”．為了解學(xué)生對(duì)“校本課程”工作的認(rèn)可程度，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生．根據(jù)這600名學(xué)生對(duì)“校本課程”工作認(rèn)可程度給出的評(píng)分，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求直方圖中的值和第60百分位數(shù)；（2）為了解部分學(xué)生給“校本課程”工作評(píng)分較低的原因，學(xué)校從評(píng)分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取30人進(jìn)行座談，求應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)；（3）若學(xué)生認(rèn)可系數(shù)不低于0.85，“校本課程”工作按原方案繼續(xù)實(shí)施，否則需進(jìn)一步整改．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)．結(jié)合認(rèn)可系數(shù)，判斷“校本課程”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說明理由．16．已知過點(diǎn)的拋物線方程為，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；（2）求所在的直線方程．17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知．（1）求角的大?。唬?）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，點(diǎn)在棱上，且平面．(1)求證：為中點(diǎn)；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，說明理由．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若以軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個(gè)半平面（如圖所示），則稱此時(shí)點(diǎn)，在空間中的距離為“點(diǎn)，關(guān)于軸的折疊空間距離”，記為.

(1)若點(diǎn)，，在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，求，的值；(2)若點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，已知點(diǎn)滿足，求點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡方程；(3)若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，其斜率滿足.證明：當(dāng)時(shí)，為定值，并求出該定值.

答案1．【正確答案】A【詳解】對(duì)方程，令，解得；故直線在軸上的截距為.故選A.2．【正確答案】A【詳解】由，則.故選A3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，所以，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選C.4．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，若不全為0，則共面，與題意矛盾，故A正確；對(duì)于B，是空間的一個(gè)基底,則兩兩共面，但不共面，故B正確；對(duì)于C，不共面，則不存在實(shí)數(shù)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若共面，，無解，故

不共面，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確故選∶C．5．【正確答案】D【詳解】若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足的條件，但第5周的打分低于80分，故A，B錯(cuò)誤；若連續(xù)5周的量化打分?jǐn)?shù)據(jù)為，滿足C的條件，但第5周的打分低于80分，C錯(cuò)誤；根據(jù)方差公式，因?yàn)榉讲顬椋匀舸嬖谝恢艿牧炕蚍值陀?0分，則方差一定大于1，故能斷定該班為優(yōu)秀班級(jí)，D正確.故選D.6．【正確答案】A【詳解】由定義可得，結(jié)合條件求出即可求出面積.【詳解】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，，，，由橢圓定義可得，又，則可解得，，滿足，則，.故選A.7．【正確答案】C【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，即該球的直徑為長方體體對(duì)角線的長，因?yàn)?，所以，所以該球的半徑?，體積為.

故選C8．【正確答案】B【分析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接；根據(jù)已知可知為線段的垂直平分線，得到；結(jié)合雙曲線定義可求出，從而得到的長度，根據(jù)勾股定理求得a,c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由可知：，又為中點(diǎn)，可知，所以，所以為線段的垂直平分線，所以，設(shè)，由雙曲線定義可知：，，則，解得.在中，，所以，在中，，所以.故選B.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】通過雙曲線定義及長度關(guān)系求得各線段的長度，從而能夠在直角三角形中利用勾股定理構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，使問題得以求解.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A，事件與事件不是互斥事件，它們有可能同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，每一次拋鄭硬幣都是相互獨(dú)立的，所以第一次拋擲結(jié)果是正面向上與第二次拋擲結(jié)果是正面向上是相互獨(dú)立的，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C正確；對(duì)于D，，，故D錯(cuò)誤；故選BC10．【正確答案】BCD【詳解】A：由題意，而平面，即平面不成立，錯(cuò)；B：由、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，則，易得，由底平面為等邊三角形，則，而，都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，都在平面內(nèi)，所以平面，平面，，對(duì)；C：為中點(diǎn)，連接，則，故直線與所成角，即為直線與所成角，由題設(shè)易知：，，則，對(duì)；D：由，若到平面的距離為，且，則，即，對(duì).故選BCD11．【正確答案】ABD【詳解】解：由到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，當(dāng)時(shí)，則雙紐線的方程為，化簡可得，故A正確；由等面積法得，則，所以，故B正確；因?yàn)椋?，所以在線段的中垂線即上，令，得，解得，所以雙曲線上滿足的點(diǎn)有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵诰€段的中點(diǎn)，所以，所以，由余弦定理得，即，，所以，所以的最大值為，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】根據(jù)投影向量的公式，在方向上的投影向量為.13．【正確答案】//【詳解】該班學(xué)生每周購買零食的支出的總均值為,該班學(xué)生每周購買零食的支出的總方差為.14．【正確答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求解入射光線的方程，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故入射光線經(jīng)過和，，故入射光線的方程為，化簡得，圓心為，半徑，所以，而，故，，解得.故答案為.15．【正確答案】（1），85（2）10（3）“校本課程”工作需要進(jìn)一步整改，理由見詳解【詳解】（1）由圖可知：，解得.

因?yàn)閮?nèi)的頻率為，內(nèi)的頻率為，所以第百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，所以，解得，所以第百分位數(shù)為85.（2）低于分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例為，則應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)為：（人）；（3）由圖可知，認(rèn)可程度平均分為：，所以“校本課程”工作需要進(jìn)一步整改.16．【正確答案】（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：；（2）或【詳解】（1）因點(diǎn)在拋物線方程上，則，所以，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：；（2）顯然，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為：，由消去x得：，設(shè)，則有，因?yàn)?，則，解得，即直線AB：，所以所在的直線方程：或.17．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)椋?（2）選①：由余弦定理可得，.即，此時(shí)，無解，不合題意.選②：由余弦定理可得，整理得，解得或（舍），即.滿足存在且唯一確定，則的面積為.選③：，由正弦定理可得.由余弦定理可得，，即.解得，當(dāng)時(shí)，，不合題意；所以，滿足存在且唯一確定，則的面積為18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)存在；【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連結(jié)，證明為中點(diǎn)并結(jié)合線面平行性質(zhì)定理證明即可得證；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出兩個(gè)平面的法向量即可根據(jù)二面角的向量法直接計(jì)算即可得解.（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，則求出結(jié)合線面角的空間向量法直接計(jì)算即可求解.【詳解】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)榈酌媸蔷匦危詾橹悬c(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，平面平?所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn).（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，,所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，，，，，則，，，由上可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，由（2），，設(shè)，則，，設(shè)與平面所成角為，則，解得或，因?yàn)椋?，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí).19．【正確答案】(1)；(2)或(3)定值為，證明見解析.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)分別為，，，∴；.

（2）由題意可知，點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)為，對(duì)點(diǎn)分類討論，①當(dāng)點(diǎn)在軸的上半平面