/天津市薊州中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期第二次學(xué)科競賽數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．若傾斜角為的直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．32．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．在等差數(shù)列中，，則公差（

）A． B． C．1 D．24．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A．140 B．120 C．40 D．505．已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．6．方程表示實(shí)軸在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知直線：與：，若與互相平行，則它們之間的距離是（

）A． B．1 C． D．8．已知數(shù)列中，且且，則（

）A． B． C． D．99．已知橢圓方程為，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大值為3，最小值為1，則橢圓方程是（

）A． B． C． D．10．若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線方程為（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．912．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且，若，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、填空題13．橢圓的離心率為，則.14．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.15．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是．16．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式＝．17．等差數(shù)列中，若，則的值為．18．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí)，的值為.19．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的漸近線上一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為.20．記拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一點(diǎn)，，直線與拋物線另一交點(diǎn)為B，則．三、解答題21．已知數(shù)列滿足：，.（1）數(shù)列是否為等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由；（2）求；（3）判斷是不是數(shù)列中的項(xiàng)，若是數(shù)列中的項(xiàng)是第幾項(xiàng)，若不是說明理由.22．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．①求m的取值范圍；②若，求的值．23．已知橢圓的離心率為，長軸長為4．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l交C于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若的面積為，求．

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意得，解得.故選A2．【正確答案】D【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由得，由得，故，所以該橢圓的方程為．故選D．3．【正確答案】D【詳解】由題知公差.故選:D.4．【正確答案】C【詳解】由可得，故選C5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，可得拋物線，即，可知，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選D.6．【正確答案】A【詳解】由方程表示實(shí)軸在軸上的雙曲線，則，解得，故選A.7．【正確答案】C【詳解】若與互相平行，則需滿足，解得，故直線：與：，故兩直線間距離為，故選C8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，可知?shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則，所以.故選C.9．【正確答案】D【詳解】橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大值為，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最小值為，聯(lián)立，解得，，根據(jù)，得，則橢圓方程是.故選D.10．【正確答案】B【詳解】采用點(diǎn)差法，設(shè)，聯(lián)立方程即可求解【詳解】設(shè)，則滿足，兩式作差得，又被點(diǎn)平分，故，且直線的斜率存在，所以，化簡得，則所在直線方程為，化簡得故選B11．【正確答案】C【詳解】因?yàn)榈扔邳c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，作垂直于準(zhǔn)線于,根據(jù)拋物線的定義可知，所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時(shí)交準(zhǔn)線于,，有最小值，,最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)在與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào).故選C.12．【正確答案】D【詳解】不妨設(shè)，橢圓長半軸長為，雙曲線實(shí)軸長為，如下圖所示：

根據(jù)橢圓定義可知，由離心率定義可得，解得；又，可得，解得；由易知，可得；又，可得，因此可得雙曲線的方程為.故選D13．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其離心率為，解得.14．【正確答案】4【詳解】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是p，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.15．【正確答案】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為一條漸近線方程為該雙曲線的離心率16．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,顯然不符合,故通項(xiàng)公式.17．【正確答案】20【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，又因?yàn)?，即，則.18．【正確答案】或5【詳解】由題意得，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)或5時(shí)，取最小值.19．【正確答案】【詳解】由P為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，，又，設(shè)，則，由，即，解得又在中，為斜邊中線，因此，在中，由余弦定理可求得，則為銳角，則，即其中一條漸近線的斜率，即，而離心率.20．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，由拋物線定義可知到準(zhǔn)線距離為，即，解得，即拋物線方程為，不妨取，又，則直線的斜率,所以，聯(lián)立，消去整理得，解得，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.21．【正確答案】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由見詳解.（2）（3）是數(shù)列中的項(xiàng)，是第5項(xiàng)，理由見詳解.【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由：因?yàn)閿?shù)列滿足：，，所以.所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為3，所以，所以.所以.（3）若是數(shù)列中的項(xiàng)，則是數(shù)列中的項(xiàng)，令，則，解得.所以是數(shù)列中的第5項(xiàng).22．【正確答案】（1）（2）①；②．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以．橢圓C的離心率為，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)