/天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．22．若直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．拋物線(xiàn)方程為，則此拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為（）A． B． C． D．4．過(guò)直線(xiàn)和的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是（

）．A． B． C． D．5．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切6．已知直線(xiàn)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知空間中三點(diǎn)則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)是B．在上的投影向量的坐標(biāo)是C．與夾角的余弦值是D．A?B兩點(diǎn)間距離為8．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．23 C．24 D．289．已知在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，若其中為實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C．－2 D．210．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為（

）A． B． C． D．11．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則的值為（

）.A． B． C． D．12．圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)共有A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)13．設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為60°的直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率的值是（

）A． B． C． D．14．圖1為一種衛(wèi)星接收天線(xiàn)，其曲面與軸截面的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線(xiàn)的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題15．已知橢圓的焦距是4，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．16．等差數(shù)列中，若，則的值為．17．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則.18．，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與交于C、D兩點(diǎn)，，則．19．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則．20．設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積為，內(nèi)切圓半徑為.21．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式.22．直線(xiàn)，則直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，與曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的的取值范圍是．三、解答題23．已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上.（1）求圓的方程；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程.24．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面(2)求直線(xiàn)和平面所成的角的正弦值．(3)求平面與平面夾角的余弦值．25．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．26．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（不與軸重合）與交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為，記直線(xiàn)的斜率分別為，證明：為定值．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，則，即，有，所以，所以，則故選D2．【正確答案】C【詳解】依題意，是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的傾斜角為．故選C．3．【正確答案】D【詳解】拋物線(xiàn)方程為，則，可得，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為.故選D．4．【正確答案】D【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程得：所求直線(xiàn)方程為，即；故選D5．【正確答案】C【詳解】圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，,所以圓心距，所以?xún)蓤A相外切.故選C6．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，即，又代入易知兩直線(xiàn)不重合，∴，滿(mǎn)足充分性；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，顯然，∴，即，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，，兩直線(xiàn)重合，舍去.∴，滿(mǎn)足必要性.∴“”是“”的充要條件.故選C.7．【正確答案】C【詳解】，由單位向量的定義可知與方向相同的單位向量的坐標(biāo)是，故A正確.在上的投影向量的坐標(biāo)是，故B正確；，故C錯(cuò)誤；兩點(diǎn)間的距離即，故D正確.故選C8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又，所以公差為，，故選D.9．【正確答案】B【詳解】利用向量運(yùn)算得到得到答案.【詳解】故故選10．【正確答案】B【詳解】利用雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，求出，即可求出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為.故選B.11．【正確答案】A【詳解】分別求出拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出過(guò)兩焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)垂直的條件可得選項(xiàng).【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,兩焦點(diǎn)的連線(xiàn)的方程為，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，解得，故選A.12．【正確答案】C【詳解】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線(xiàn)的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)椋瑘A心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離，圓上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選C.13．【正確答案】A【詳解】由于為等腰三角形，所以，.故選A14．【正確答案】B【分析】由已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)方程，結(jié)合拋物線(xiàn)定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，故，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線(xiàn)垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線(xiàn)垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B.15．【正確答案】【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得（舍去），綜上所述，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案為.16．【正確答案】20【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，又因?yàn)?，即，則.17．【正確答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，所以，解得.所以焦點(diǎn).所以.18．【正確答案】2【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，故，解得.19．【正確答案】/【詳解】由題意：，，，，，所以滿(mǎn)足.所以20．【正確答案】/【詳解】由橢圓方程可得，，則，，，在中，，即，解得，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的周長(zhǎng)為，所以，解得.21．【正確答案】【詳解】由題意數(shù)列的前項(xiàng)和，則，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，故的通項(xiàng)公式.22．【正確答案】(2，4)【詳解】解：直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)．由題知曲線(xiàn)即，表示以為圓心，2為半徑的半圓，該半圓位于直線(xiàn)上方，如圖：

因?yàn)橹本€(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得，解得，由圖，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或.23．【正確答案】（1）（2）或【詳解】（1）因?yàn)椋跃€(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率，因此線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程是.聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標(biāo).圓的半徑長(zhǎng)所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）因?yàn)橹本€(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓到直線(xiàn)的距離.①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為，不符合題意.②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，即.所以，解得或.直線(xiàn)的方程為或24．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用向量法判定線(xiàn)面平行以及求空間角（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．依題意，得，，設(shè)面的法向量，，所以，取，得因?yàn)?，所以．所以．又面．所以面．?），設(shè)面的法向量，，所以，取，得．因?yàn)?，所以．所以直線(xiàn)和平面所成的角的正弦值為．（3）由（1）?（2）可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．25．【正確答案】（1）；（2）36；（3）；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，所以；?）因?yàn)?，所以?/p>