/河北省唐山實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．直線（為任意實(shí)數(shù)）過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．設(shè)，向量，，且，，則（

）A． B．3 C． D．44．設(shè)為等差數(shù)列，公差，為其前項和，若，則（

）A．10 B．12 C．8 D．95．已知F?，F(xiàn)?是雙曲線C:的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且若的面積是則（

）A． B． C． D．26．如圖，在平行六面體中，，則長度為（

）A． B． C． D．7．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時，橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為，，，當(dāng)取最小值時，n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、多選題9．已知圓與圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心恒在直線上B．當(dāng)時，圓與圓有4條公切線C．當(dāng)時，圓與圓的公共弦所在直線方程為D．當(dāng)時，圓與圓的公共弦長為10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的有（

）A．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則B．若空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．若空間向量滿足，則與夾角為鈍角D．若空間向量，則在上的投影向量為11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，則下列選項正確的是（

）A．B．面積的最小值為2.C．D．可能為直角.三、填空題12．過點(diǎn)與直線平行的直線方程為．13．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則.14．對于兩個空間向量與，我們定義為兩點(diǎn)之間的直線距離；又定義它們之間的曼哈頓距離為.如圖，在棱長為1的正方體中，；若點(diǎn)P在底面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動，且，則的取值范圍是.四、解答題15．已知曲線的方程為．(1)若曲線表示圓，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求.16．如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面與直線的交點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.17．已知各項均不為零的兩個數(shù)列滿足.（1）設(shè).求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）已知，數(shù)列是首項為2的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證18．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是斜邊為AD的等腰直角三角形，

(1)求證：平面(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.19．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；(3)在（2）的條件下，求的面積.

答案1．【正確答案】B【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而求出其傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以該直線的傾斜角為.故選B2．【正確答案】B【分析】含參數(shù)的項合并，讓參數(shù)的系數(shù)為0,看成兩直線的交點(diǎn).【詳解】由題意整理得:,令，解得.所以直線（為任意實(shí)數(shù)）過定點(diǎn)故選B.3．【正確答案】B【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運(yùn)用向量加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計算得出結(jié)果.【詳解】向量，且，∴，解得，∴，∴，故選B4．【正確答案】A【分析】由已知可得，可求得，再利用等差數(shù)列的通項公即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，為等差?shù)列，公差，，解得.故選A.5．【正確答案】A【分析】利用余弦定理及雙曲線的定義求出，再由面積公式計算可得.【詳解】根據(jù)雙曲線定義得，所以，即①，由余弦定理可得：，即②，由②-①得：，即，所以，又的面積是所以，解得，故選A6．【正確答案】A【分析】利用空間向量基本定理和向量的模公式求解.【詳解】以為基底，則，而，從而，故選A．7．【正確答案】B【分析】利用正弦定理計算，根據(jù)余弦定理計算，根據(jù)等面積法列方程得出，的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，，，根據(jù)正弦定理可得，，．設(shè)，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選B．8．【正確答案】B【分析】利用裂項相消法可求得，進(jìn)而可求出，根據(jù)的單調(diào)性可求出最小值.【詳解】，整理得，解得或（舍去），即，則．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，取最小值．故選B．關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用裂項相消法求出，再判斷出的單調(diào)性.9．【正確答案】BC【分析】整理得到圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可知道圓心坐標(biāo)，判斷A選項；由兩個圓圓心之間的距離和圓的半徑和的大小關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系，即可知道兩圓的公切線條數(shù)，判斷B選項；由兩個圓圓心之間的距離和圓的半徑和的大小關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系，由兩圓方程作差即可求得公共弦所在直線方程，判斷C選項；由點(diǎn)到直線的距離求得圓心到弦的距離，由垂徑定理求得弦長，判斷D選項.【詳解】圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和，所以圓的圓心為，恒在直線上，故選項A錯誤；當(dāng)時，圓，圓心為，半徑為3，圓圓心為，半徑為2，此時圓與圓的圓心距，所以圓與圓外離，圓與圓有4條公切線，故選項B正確；當(dāng)時，圓，圓心為，半徑為1，此時圓與圓的圓心距，，所以兩圓相交，兩個圓的方程作差得公共弦方程為，故選項C正確；當(dāng)時，圓的圓心到公共弦的距離，所以圓與圓的公共弦長為，故選項D錯誤.故選BC.10．【正確答案】BD【分析】根據(jù)條件，可得，根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系，分析即可判斷A的正誤；根據(jù)四點(diǎn)共面的定理，可判斷B的正誤；根據(jù)夾角公式，即可判斷C的正誤；根據(jù)投影向量的求法，代入數(shù)據(jù)，即可判斷D的正誤.【詳解】選項A：因?yàn)?，所以，則，故A錯誤；選項B：因?yàn)?，且，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；選項C：若，則，所以與夾角為鈍角或平角，故C錯誤；選項D：在上的投影向量為，故D正確.故選BD11．【正確答案】BC【分析】對于A，根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可判斷；對于B，設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，求得弦長，表示出三角形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可判斷；對于C，利用拋物線焦半徑公式代入計算易得；對于D，通過計算即可判斷.【詳解】

對于A，由題意，，所以無最小值，故A錯誤；對于B，因直線的斜率不可能為0，故可設(shè)，與聯(lián)立消元得：，顯然，設(shè)，則，則，點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為，則當(dāng)時，即時，取得最小值2，故B正確；對于C，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故C正確；對于D，由B選項可得，則，故與所夾的角為鈍角，故D錯誤.故選BC.12．【正確答案】【詳解】設(shè)過點(diǎn)與直線平行的直線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，所求直線方程為．13．【正確答案】97【分析】由已知得出，然后由累加法求解．【詳解】∵，，∴，∴，∴.故9714．【正確答案】【詳解】由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，即，所以；，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的取值范圍?15．【正確答案】(1)(2)2【分析】（1）將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，列式求解即可；（2）根據(jù)題意可得圓心和半徑，結(jié)合垂徑定理求弦長.【詳解】（1）由曲線的方程整理可得，則，解得或，所以的取值范圍為.（2）若，則曲線：，可知圓心，半徑為，則圓心到線的距離，所以.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因，平面,平面,則平面，又因平面,平面平面,故,故；（2）因平面,,,可得，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,設(shè)平面的法向量為，則，故可取，設(shè)直線與平面所成的角為，則故直線與平面所成的角的正弦值為.17．【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，可得，即，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可求得數(shù)列和的通項，從而可得數(shù)列的通項，再利用裂項相消求和法即可得解.【詳解】（1）證明：∵，∴，即，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）解：由（1）可知，數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，故，即，，故，所以數(shù)列的公差，∴.所以，，∴，又，所以，即.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【詳解】（1）平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，，平面PAD，平面，又且，PA、平面平面PAB；（2）取AD中點(diǎn)為O，連接PO、CO，又，則，，則，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)為平面PCD的一個法向量，由，得，令，則，設(shè)PB與平面PCD所成角的角為，（3）假設(shè)在棱PB上存在點(diǎn)M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為，由可知，，，設(shè)設(shè)為平面ADM的一個法向量，由得，則，易知平面ABCD的一個法向量為，設(shè)平面ADM與平面ABCD的夾角為，，19．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，易知雙曲線的一條漸近線的方程為，由題意可得，，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)，直線的方程為，