/2025-2026學年度高三上學期數(shù)學期中考試卷一、單項選擇題（本題8小題，每題5分，共40分）1．已知復數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知向量若向量在向量上的投影向量為，則（

）A．-1 B． C．1 D．3．已知數(shù)列的通項公式，在每相鄰兩項之間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則成立的n的最小值為（

）A．35 B．36 C．37 D．384．已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．已知，，，則（

）A． B．C． D．6．已知集合，，則（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若點是所在平面上一點，且是直線上一點，，則的最小值是（

）A． B． C．8 D．9二、多項選擇題（本題3小題，每題6分，共18分）9．已知均為正實數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，且當時，，若，則下列說法正確的有（

）A．B．關于對稱C．在上單調(diào)遞增D．11．在下列四個命題中，正確的是（

）A．命題“，使得”的否定是“，都有”B．當時，的最小值是5C．已知集合，若，則m的值為D．“”是“”的必要不充分條件三、填空題（本題3小題，每題5分，共15分）12．已知向量，，若，則實數(shù)x=．13．在正項等比數(shù)列中，若，，則.14．在平面四邊形中，，若滿足上述條件的平面四邊形有且只有1個，則邊的取值范圍是.四、解答題（本題5小題，共77分）15．（本題13分）“生成函數(shù)”是一種將數(shù)列的遞推關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程從而簡化運算的數(shù)學工具.已知函數(shù)是數(shù)列的“生成函數(shù)”，且.(1)求；（6分）(2)求.（7分）16．（本題12分）已知集合，集合．(1)若存在，使得，求的取值范圍（5分）(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．（7分）17．（本題19分）如圖，在三棱柱中，是邊長為3的正三角形，.

(1)求棱的長；（6分）(2)求證：平面平面；（7分）(3)求直線與平面所成角的正弦值.（6分）18．（本題18分）已知△ABC的三邊長是三個連續(xù)的正整數(shù).(1)求△ABC周長的最小值；（6分）(2)若△ABC是鈍角三角形，求△ABC的面積；（6分）(3)若△ABC的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的兩倍，求△ABC的三邊長.（6分）19．如圖，在四邊形中，與相交于點，且為的角平分線，，．（1）求；（7分）（2）若，求四邊形的面積．（8分）2025-2026學年度高三上學期數(shù)學期中考答案1．C【分析】首先由方程得，再利用復數(shù)的乘法和除法運算公式，化簡求解.【詳解】由題知，故復數(shù)的虛部為.故選：C.2．C【分析】根據(jù)投影向量的定義列式計算即得.【詳解】因為向量，則向量在向量上的投影向量為：，故有，解得.故選：C.3．A【分析】利用列舉法分析數(shù)列，由此求得正確答案.【詳解】由題可知，數(shù)列各項依次為：，當時，，當時，，所以成立的的最小值為35.故選：A.4．A【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】對于集合，由，得，則，即，則，對于集合，由，得，則，所以.故選：A.5．A【分析】，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關系，將兩邊同時取對數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關系，即可得出結(jié)論.【詳解】解：，，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因為，所以，所以，所以，即，所以，綜上所述.故選：A.本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.6．D【分析】由且，確定，再由交集運算即可求解.【詳解】且，得到，所以.故選：D.7．C【分析】將問題化為函數(shù)與函數(shù)恰有兩個交點，利用導數(shù)的幾何應用求臨界情況下的切線方程，應用導數(shù)研究的性質(zhì)，畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.【詳解】令，即，依題意，函數(shù)與函數(shù)恰有兩個交點，所以，令或，解得或，而，，所以在，處的切線方程分別為，，當，則，即在上單調(diào)遞增，當，則，即在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的大致圖象如下：由圖知，的取值范圍是.故選：C8．D【分析】由題意得出點為的重心，然后延長交于點，結(jié)合幾何性質(zhì)可得、、三點共線則得，再結(jié)合基本不等式中“1”的代換即可求解.【詳解】由題可設，，，，則，，，因，解得，，則為重心，延長交于點，則點為的中點，如圖所示，則，由，又因、、三點共線，所以可得，所以，當且僅當，即取等號，故D正確.故選：D.9．AD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用已知條件結(jié)合基本不等式對各選項進行逐一分析判斷．【詳解】選項A：，當且僅當時取等號，又，，均為正實數(shù)，，即，當且僅當時取等號，故A正確；選項B：，，，當且僅當，即時，，而，故B錯誤；選項C：，令，則，等式成立，此時，故C錯誤；選項D：，，變形可得，設，則，故同號，當時，，當且僅當，即時等號成立；當時，，，則，與矛盾，故不符合題意.，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：．10．BC【分析】賦值法可判斷AB；利用單調(diào)性的定義可判斷C；利用已知可得，再由累加法以及等差數(shù)列的前項和公式可判斷D.【詳解】對于A，令，得，可得，故A錯；對于B，令，則，令，則，故B對；對于C，任取，且，則，因為，故，故，故在上單調(diào)遞增，故C對；對于D，令，故，所以，又符合上式，故,故，故D錯.故選：BC.11．ABC【分析】根據(jù)命題的否定即可求解A，根據(jù)基本不等式即可求解B，根據(jù)元素與集合的關系即可求解C，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解D.【詳解】對于A,“，使得”的否定是“，都有”,A正確，對于B,當時，，則，當且僅當，即時取到等號，故B正確，對于C,若，解得，則集合，符合題意，若，此時無解，因此若，則m的值為，故C正確，對于D,由可得到，當時，或，故“”是“”的充分不必要條件，D錯誤，故選：ABC12．1【分析】兩向量平行，則，代入即可.【詳解】因為，則，解得.故113．1024/【分析】利用等比數(shù)列通項公式即可求出公比，再求首項，最后可得通項，從而可求解.【詳解】由題意知，，因為正項等比數(shù)列，所以，由，可得，所以，即.故14．【分析】在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，由題意，可得或，計算即可求解.【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，由正弦定理可得，即，因為，所以，所以，在中，由正弦定理可得，即，因為滿足上述條件的平面四邊形有且只有1個，所以或，得或，所以邊的取值范圍是.故

15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)“生成函數(shù)”的定義，利用退一作差法求得.（2）利用錯位相減求和法求得【詳解】（1）因為且，所以①，當可得，當時②，①-②得，顯然當時上式也成立，所以.（2）由題得，，則（1）-（2）得：，所以.16．(1)(2)或【分析】（1）先解不等式求得集合A，問題轉(zhuǎn)化為集合在內(nèi)有解，由函數(shù)的單調(diào)性確定最值，即可求的取值范圍；（2）由（1）可得，，由題意，可得是的真子集，分情況討論求解即可.【詳解】（1）集合，若存在，使得，只需集合在內(nèi)有解，即大于在內(nèi)的最小值，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在內(nèi)的最小值為，所以，解得，所以的范圍為；（2）由得，，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，分類討論如下：當，即時，，不符題意；當，即時，，此時(等號不同時成立)，解得，時，滿足是的真子集；當，即時，，此時(等號不同時成立)，解得，時，滿足是的真子集，綜上，或時，滿足“”是“”的充分不必要條件．17．(1)5(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)幾何關系，結(jié)合勾股定理和余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明面面垂直；（3）根據(jù)垂直關系，以點為原點建立空間直角坐標系，求平面的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，中，由余弦定理，即；（2）由（1）可知中，滿足，所以，且，，平面，所以平面，且平面，所以平面平面；（3）如圖，以點為原點，為軸的正方向，作軸，建立空間直角坐標系，

，，，，，，，設平面的一個法向量為，所以，令，則，所以平面的一個法向量為，設與平面所成的角為，所以.18．(1)9(2)(3)4，5，6【分析】（1）設，，，由兩邊之和大于第三邊，求得的最小值即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合（1）確定只能為3.再由面積公式即可求解；（3）由余弦定理得到，，，結(jié)合單調(diào)性得到A，B隨著的增大而增大，隨著的增大而減小.由或或.討論求解即可.【詳解】（1）不妨設，，，其中為不小于2的整數(shù).由可得，所以，故的最小值為3，所以的周長，最小值為9（此時三邊長分別為2，3，4）；（2）由于是的最長邊，由大邊對大角，鈍角必為.由余弦定理：，若，則，由（1）知，故只能為3.此時，，故的面積；（3）由余弦定理：，，，由解析式可知：隨著的增大，，減小，增大，所以A，B隨著的增大而增大，隨著的增大而減小.由于，故所有可能的情況為或或.對于每個對應的數(shù)組，只需驗證是否有，，，之一成立.當時，，此時上述三條關系均不成立；當時，，此時上述三條關系均不成立；當時，，此時有，即；不妨記時，，，則當時，由于A，B隨著的增大而增大，隨著的增大而減小，所以A，B，C均位于區(qū)間，不可能存在兩倍關系，如若不然，較大角會大于，推出矛盾.綜上所述，的三邊