/河南省南陽市五校2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．貴州是一個地理環(huán)境獨(dú)特，民族文化豐富的省份，黃果樹瀑布、荔波大小七孔、梵凈山、西江千戶苗寨逐漸發(fā)展為貴州旅游名片.甲，乙兩名同學(xué)計(jì)劃各自從上述四個景點(diǎn)中隨機(jī)選兩個景點(diǎn)旅游，則甲，乙恰有一個景點(diǎn)相同的概率是（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．4．在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．如圖，三個自動開關(guān)，，正常工作的概率都是，且是互相獨(dú)立的.若將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（

）A． B． C． D．6．在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．7．如圖，是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，，則（

）A．8 B．4 C． D．8．離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．設(shè)函數(shù)，且記，則（

）A．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為1B．?dāng)?shù)列的前8項(xiàng)和為1C．?dāng)?shù)列的前8項(xiàng)和為-2187D．?dāng)?shù)列的前8項(xiàng)和為010．已知動點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．焦點(diǎn)到漸近線的距離為1D．動點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為定值11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成角的正弦值為B．點(diǎn)到平面的距離為2C．直線與是異面直線D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題12．若，則的值為．13．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的兩點(diǎn)，若，且以為直徑的圓恰好過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．14．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則．四、解答題15．已知圓過兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)的圓的切線方程；（3）若直線的橫截距為，縱截距為，直線被圓截得的弦長為，求的最小值．16．如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?，且，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大?。?7．人工智能在做出某種推理和決策前，常常是先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策．我們利用這種方法設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子內(nèi)有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球，乙袋中有2個紅球和8個白球．我們首先從這兩個袋子中隨機(jī)選擇一個袋子，假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率），再從該袋子中隨機(jī)摸出一個球，稱為一次試驗(yàn)．經(jīng)過多次試驗(yàn)，直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)未結(jié)束，則將摸到的球放回原袋，每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；（2）在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整．（i）求選到的袋子為甲袋的概率；（ii）求選到的袋子為乙袋，且第二次試驗(yàn)就結(jié)束的概率．18．如圖，在矩形ABCD中，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是OF，CF的等分點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)并證明點(diǎn)在橢圓上；（2）證明：點(diǎn)在同一個橢圓上；（3）若.已知，過點(diǎn)作斜率為的直線交（2）中橢圓于S，T兩點(diǎn)，直線分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若，求的值.19．某工廠有甲，乙兩個車間加工同一種零件，已知加工該零件需要兩道工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品才能出廠進(jìn)行銷售．已知甲車間每道加工工序合格的概率均為0.9；乙車間第一，二道加工工序合格的概率分別為．（1）對6個來自甲車間，4個來自乙車間的零件進(jìn)行質(zhì)檢，若從這10個零件中隨機(jī)抽取1個，求該零件可以出廠銷售的概率．（2）甲車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損30元，乙車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損20元．由于市場對這種零件需求旺盛，該工廠計(jì)劃擴(kuò)建其中一個車間以增加產(chǎn)量，若以每個零件獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請判斷該工廠應(yīng)擴(kuò)建哪個車間．

答案1．【正確答案】D【詳解】甲，乙總的選法有（種），則甲和乙恰有一個景點(diǎn)相同的選法為（種），則所求概率為.故選D．2．【正確答案】B【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選B3．【正確答案】B【詳解】由，得，故．故選B4．【正確答案】D【詳解】由長方體的性質(zhì)兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系則故，由于異面直線所成角的范圍是故異面直線與所成角的余弦值是故選D5．【正確答案】D【詳解】記“三個元件，，正常工作”分別為事件，，，則，，.不發(fā)生故障的事件為，∴不發(fā)生故障的概率為.故選D6．【正確答案】A【詳解】.故選A.7．【正確答案】C【詳解】由拋物線的方程可知，焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線的斜率，因此直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，，解得，，由圖可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.故選C.8．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)，則，A對；由，則，聯(lián)立，所以，則，D錯；，B對；，C對.故選D9．【正確答案】BD【詳解】由題意知，是常數(shù)項(xiàng)，是的系數(shù)，是的系數(shù)，即當(dāng)時，數(shù)列的第項(xiàng)是展開式中的系數(shù).令，則，故A錯誤；數(shù)列的前8項(xiàng)和等于，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和，令，則，故B正確；數(shù)列的前8項(xiàng)和等于，令，則，而，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為2187，故C錯誤；數(shù)列的前8項(xiàng)和等于，令，則，因?yàn)?，故D正確.故選BD10．【正確答案】AD【詳解】雙曲線，對應(yīng)，所以雙曲線的離心率為，A選項(xiàng)正確.漸近線方程為，B選項(xiàng)錯誤.左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，到漸近線的距離為：，所以C選項(xiàng)錯誤.設(shè)，到漸近線的距離之積為為定值，D選項(xiàng)正確.故選AD11．【正確答案】AD【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)D點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸.，，，，，選項(xiàng)A：平面的法向量為,直線的方向向量為,所以所成角的正弦值為,選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：,,設(shè)面的法向量為,，,令得,距離，所以選項(xiàng)B錯誤.選項(xiàng)C：,,所以，所以四點(diǎn)共面，直線與不是異面直線，選項(xiàng)C錯誤.選項(xiàng)D：因?yàn)?連,，所以平面截正方體所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，所以面積,故選項(xiàng)D正確.故選AD.12．【正確答案】或【詳解】由可得或，解得或，又，解得，且，所以的值為或.13．【正確答案】【詳解】如上圖所示，設(shè)，，，，則，.因?yàn)?，所?因?yàn)?、在雙曲線上，則.又因?yàn)檫^原點(diǎn)以為直徑的圓過點(diǎn)，所以.根據(jù)雙曲線的性質(zhì)有，聯(lián)立得所以，設(shè)離心率，則，解得，（，舍去）.所以.14．【正確答案】1【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，由已知，所?15．【正確答案】（1）（2）或（3）【詳解】（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）可得圓：，則圓心，半徑，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，故直線為圓的切線；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在，可設(shè)直線方程，即，圓心到該直線的距離，由直線與圓相切，則，即，可得，解得，此時，直線方程為，即；綜上，切線的方程為或；（3）直線被圓截得的弦長為，圓心到直線l的距離為，又直線l的橫截距為，縱截距為，則直線的方程為，即，圓心到直線l的距離為，整理可得，由，得，即，解得或，因?yàn)?，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為．16．【正確答案】（Ⅰ）詳見詳解；（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让?，得平?又平面，所以，因?yàn)槿庵侵比庵瑒t底面，所以又，從而側(cè)面，又側(cè)面，故．

(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量，由，，得.令，得，則.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，解得，即.又設(shè)平面的一個法向量為，同理可得.設(shè)銳二面角的大小為，則，由，得.∴銳二面角的大小為.17．【正確答案】（1）（2）（i）；（ii）【詳解】（1）解：設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球”為事件．則，所以試驗(yàn)一次結(jié)果為紅球的概率為.（2）解：（i）因?yàn)槭菍α⑹录?，所以，所以選到的袋子為甲袋的概率為.（ii）由（i）得，設(shè)為第次獨(dú)立試驗(yàn)結(jié)束的概率，則所以設(shè)題設(shè)概率為，則.18．【正確答案】（1），見詳解（2）見詳解（3）或【詳解】（1）當(dāng)時，直線①，直線②，聯(lián)立①②，得的坐標(biāo)為把的坐標(biāo)代入橢圓方程，有在橢圓上.（2）設(shè)，則.

則直線①，則直線②，在直線上，是方程①，②的解，①②，得，化簡得點(diǎn)在同一個橢圓上.（3）當(dāng)時，橢圓：，將橢圓向右平移兩個單位長度，則橢圓即是

平移后，設(shè)顯然，且直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線過，則直線.所以，可變?yōu)?，整理得因?yàn)椋詢蛇呁?，得，?/p>

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)滿足此方程，則是方程的兩根，，則

直線，直線，直線，分別聯(lián)立解得，

.則=