/廣東省惠州市正弘實驗學(xué)校2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（

）A．2 B．6 C．1 D．142．在數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．3．關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向右 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為x軸4．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．5．過橢圓的一個焦點，且垂直于軸的直線被此橢圓截得的弦長為（

）.A． B． C．3 D．6．雙曲線的一弦中點為，則此弦所在的直線的方程為（

）A． B．C． D．7．動圓過定點，與定圓外切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是遞增數(shù)列 D．是遞增數(shù)列10．已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．直線與圓恒相交C．直線被圓截得的弦長為4時，D．直線被圓截得的弦長最短時，直線的方程為11．已知為坐標(biāo)原點，，是拋物線：上的一點，為其焦點，若與雙曲線的右焦點重合，則下列說法正確的有（）A．若，則點的橫坐標(biāo)為4B．該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為C．若外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為D．周長的最小值為三、填空題12．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則的值為13．若點在橢圓上，分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是.14．在數(shù)列中，已知，且，則．四、解答題15．已知數(shù)列的前項和為（1）求的最小值，并求此時的值：（2）求出的通項公式16．已知圓C經(jīng)過點和，且圓心C在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓C相交于E、F兩點，且，求實數(shù)a的值.17．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點分別是線段上的點，且．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率，且短軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，求面積的最大值.19．已知雙曲線的漸近線方程是，且過點.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），分別為雙曲線的左、右頂點，，分別為的左、右焦點，與軸不垂直的直線與雙曲線的左支相交于，兩點，記直線，，，的斜率分別為已知.（i）證明直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（ii）求面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為等差數(shù)列中，，所以公差.故選B.2．【正確答案】B【詳解】，且，，，，，所以是以3為周期的數(shù)列，則.故選B3．【正確答案】D【詳解】因為拋物線方程為，則，即，所以開口向左，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，對稱軸為x軸，即D正確，ABC錯誤.故選D.4．【正確答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，雙曲線的離心率為，則，即，即有，又由雙曲線的焦點在軸上，則其漸近線方程為.故選C5．【正確答案】C【詳解】易求得橢圓焦點的橫坐標(biāo)，然后將橫坐標(biāo)代入橢圓的方程可得出直線與橢圓交點的縱坐標(biāo)，從而利用縱坐標(biāo)差的絕對值求出弦長.【詳解】橢圓焦點的橫坐標(biāo)為：，則直線與橢圓的交點縱坐標(biāo)為：，得，所以過橢圓的焦點且垂直于軸的直線被此橢圓截得的弦長為.故選C.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，消元得，且，可得，所以，解得，顯然滿足，直線的方程為.故選C7．【正確答案】C【詳解】由題設(shè)，圓的半徑為，則，所以，點的軌跡是以，為焦點，所以，的雙曲線的左支，又，則，故，動圓圓心的軌跡方程為.故選C8．【正確答案】A【詳解】和分別是向量和的單位向量，因為，所以，又，所以，所以，因為為橢圓上的任意一點，有，設(shè)，，則，在三角形中，，且夾角.由余弦定理：，即：又，所以，解得，又，所以是方程的兩根，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，又，所以的取值范圍是.故選A.9．【正確答案】ACD【詳解】由得，，即，因為，所以，，故A正確；因為為增數(shù)列，且，所以時最小，所以是遞增數(shù)列，故C正確；因為，故B錯誤；因為，所以，即為公差為1的等差數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，故D正確，故選ACD．10．【正確答案】ABD【詳解】直線，即，直線恒過定點，故A正確；由，可知在圓內(nèi)部，故直線與圓相交，故B正確；如圖，直線與圓相交于兩點，連接，則，過點作于點，則，所以，即點到直線的距離，由得或，故C錯誤；由圖知，直線于垂直時，直線被圓截得的弦長最短，因，此時，，所以直線的方程為，整理得，故D正確.故選ABD11．【正確答案】ACD【分析】先求出，選項A求出點的橫坐標(biāo)為，判斷選項A正確；選項B求出拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為，判斷選項B錯誤；選項C先判斷外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為1，再判斷外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓心到焦點的距離等于半徑，最后求出半徑和外接圓面積，判斷選項C正確；選項D直接求出的周長為，判斷選項D正確.【詳解】解：因為雙曲線的方程為，所以，，則，因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以，即，選項A：若，則點的橫坐標(biāo)為，所以選項A正確；選項B：因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為，所以選項B錯誤；選項C：因為、，所以外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為1，又因為外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓心到焦點的距離等于半徑，所以圓心在拋物線上且到準(zhǔn)線的距離為3，所以，所以該外接圓面積為，所以選項C正確；選項D：因為的周長為，所以選項D正確.故選：ACD12．【正確答案】4【分析】由題意得，從而可求出的值【詳解】由題得，解得或（舍去），故413．【正確答案】1【詳解】由橢圓方程知：，

由橢圓定義知：

即，解得：

14．【正確答案】【詳解】由題設(shè)，當(dāng)，，所以，，，，將上式累加可得，所以，顯然也滿足，所以.15．【正確答案】（1）最小值為，此時或8；（2）.【詳解】（1）由，，故或時，最小為；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不滿足上式，故.16．【正確答案】（1）（2）或【詳解】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心，由，得，解得，因此圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑，由，得圓心到直線的距離，則，即，解得或，所以實數(shù)的值為或.17．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）因為平面，平面，且四邊形是矩形，所以兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，因為，且.所以．因為，所以，即．（2）由（1）得．設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以．因為平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．因為，結(jié)合圖形可得：平面與平面夾角的余弦值為．18．【正確答案】（1）；（2）4.【詳解】（1）由橢圓：的短軸長為4，得，由橢圓的離心率，得，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，，解得，則，，原點到直線的距離，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為4.

19．【正確答案】（1）（2）（i）見詳解，（ii）【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以，所以雙曲線的方程為.（2