10.1.1有限樣本空間與隨機事件

人教A版（2019）必修第二冊素養(yǎng)目標1.結(jié)合具體實例，理解樣本點、樣本空間的含義;會表示試驗的樣本空間，提升邏輯推理能力（重點）2.結(jié)合實例，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系，會用集合表示隨機事件，提升邏輯推理能力（難點）3.了解必然事件、不可能事件的概念（重點）新課導入將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況觀察一下：觀察下面的試驗思考一下，這個試驗是什么現(xiàn)象，讓我們通過這節(jié)課來學習一下.新課學習隨機試驗的概念我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母

E

表示．隨機試驗具有以下特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.新課學習思考一下：體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同，分別標號0,1,2,?,9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼．這個隨機試驗共有多少種可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？觀察球的號碼，共有10種可能結(jié)果．用數(shù)字m表示＂搖出的球的號碼為

m＂這一結(jié)果，那么所有可能結(jié)果可用集合表示為

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．新課學習樣本點與有限樣本空間的概念我們把隨機試驗

E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗

E

的樣本空間，一般地，我們用

Ω

表示樣本空間，用

ω

表示樣本點．如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,?,ωn

，則稱樣本空間

Ω={ω1,

ω2,?,ωn}為有限樣本空間．

在本書中，我們只討論

Ω為有限集的情況.奧地利數(shù)學家米澤斯（RichardvonMises，1883－1953）在1928年引進了樣本空間的概念．新課學習例1

拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間.因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h,t}.新課學習例2拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.用

i表示朝上面的“點數(shù)為

i”，因為落地時朝上面的點數(shù)有1，2，3，4，5，6，共6個可能的基本結(jié)果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}.新課學習例3拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的樣本點可用(x,y)表示，于是，試驗的樣本空間Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如圖所示，畫樹狀圖101010第一枚第二枚新課學習思考一下：在體育彩票搖號試驗中，搖出＂球的號碼為奇數(shù)＂是隨機事件嗎？搖出＂球的號碼為3的倍數(shù)＂是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？＂球的號碼為奇數(shù)＂和＂球的號碼為3的倍數(shù)＂都是隨機事件．我們用A表示隨機事件＂球的號碼為奇數(shù)＂，則A發(fā)生，當且僅當搖出的號碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}．因此可以用樣本空間

Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機事件A．類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機事件＂球的號碼為3的倍數(shù)＂.新課學習隨機事件與基本事件的概念一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間

Ω

的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C,?表示．在每次試驗中，當且僅當

A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．新課學習必然事件的概念Ω

作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以

Ω

總會發(fā)生，我們稱

Ω為必然事件．新課學習不可能事件的概念而空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．必然事件與不可能事件不具有隨機性．為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形．這樣，每個事件都是樣本空間

Ω

的一個子集．新課學習例4

如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.（1）寫出試驗的樣本空間；ACB分別用

x1,x2

和

x3

表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的＂正常＂狀態(tài)，用0表示＂失效＂狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}．新課學習（1）寫出試驗的樣本空間；如圖，還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結(jié)果.01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能結(jié)果111新課學習（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正常”；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.＂恰好兩個元件正常＂等價于(x1,x2,x3)∈Ω

，且

x1,x2,x3中恰有兩個為1，所以

M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}＂電路是通路＂等價于(

x1,x2,x3)∈Ω,x1=1，且

x2,x3

中至少有一個是1，所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}同理，＂電路是斷路＂等價于(x1,x2,x3)∈Ω,

x1=0，或

x1=1,

x2=x3=0，所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1