復(fù)變函數(shù)的共形映射基礎(chǔ)題試題及真題考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：復(fù)變函數(shù)的共形映射基礎(chǔ)題試題及真題考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生、相關(guān)專業(yè)考研備考者題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)的共形映射將D映射為區(qū)域。2.共形映射下，角度保持不變，但弧長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化。3.分式線性函數(shù)z→(az+b)/(cz+d)（c≠0）的映射將擴(kuò)充復(fù)平面映射為擴(kuò)充復(fù)平面。4.若函數(shù)f(z)在z?處解析且f'(z?)≠0，則f(z)在z?處的局部映射是保角的。5.球面映射將復(fù)平面映射為單位圓內(nèi)部，且將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為單位圓上。6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且單葉，則其逆函數(shù)f?1(z)也在D內(nèi)解析。7.極點(diǎn)與零點(diǎn)的映射關(guān)系在共形映射下保持不變。8.對(duì)數(shù)函數(shù)w=log(z)的映射將帶形區(qū)域0<arg(z)<α映射為帶形區(qū)域-π/2<Im(w)<α-π/2。9.球面投影映射將復(fù)平面上的點(diǎn)映射到球面上，且北極點(diǎn)對(duì)應(yīng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≠0，則其共形映射將D映射為不含原點(diǎn)的區(qū)域。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)函數(shù)在復(fù)平面上處處解析？A.e^z+sin(z)B.|z|^2C.z2+1/zD.tan(z)2.函數(shù)w=z2將單位圓映射為？A.單位圓B.圓心在原點(diǎn)的橢圓C.雙曲線D.拋物線3.分式線性函數(shù)z→(2z+3)/(z-1)將點(diǎn)z=1映射為？A.1B.-1C.2D.-24.函數(shù)w=1/z將上半平面映射為？A.上半平面B.下半平面C.單位圓內(nèi)部D.單位圓外部5.函數(shù)w=sinh(z)的映射將帶形區(qū)域-π<Im(z)<π映射為？A.實(shí)軸B.橢圓C.雙曲線D.帶形區(qū)域6.球面映射下，復(fù)平面上的點(diǎn)z=1映射到球面上的？A.北極點(diǎn)B.南極點(diǎn)C.赤道上的點(diǎn)D.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)7.函數(shù)w=z+1/z在z=1處的導(dǎo)數(shù)為？A.1B.2C.0D.-18.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且單葉，則其逆映射f?1(z)在f(D)內(nèi)解析，該命題是否正確？A.正確B.錯(cuò)誤9.函數(shù)w=log(z)將角形區(qū)域0<arg(z)<π/4映射為？A.帶形區(qū)域0<Im(w)<π/4B.角形區(qū)域0<arg(w)<π/4C.扇形區(qū)域D.線段10.函數(shù)w=e^z將帶形區(qū)域0<Im(z)<1映射為？A.帶形區(qū)域0<Im(w)<eB.橢圓C.雙曲線D.圓三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在復(fù)平面上處處解析？A.z2+2z+1B.sin(z)/zC.|z|D.e^z2.共形映射的性質(zhì)包括？A.角度保持不變B.弧長(zhǎng)保持不變C.面積按比例縮放D.對(duì)稱性保持不變3.分式線性函數(shù)z→(az+b)/(cz+d)的映射性質(zhì)包括？A.將直線映射為直線B.將圓映射為圓或直線C.將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)D.將原點(diǎn)映射為原點(diǎn)4.函數(shù)w=z2的映射將以下哪些區(qū)域映射為對(duì)稱區(qū)域？A.上半平面B.左半平面C.單位圓內(nèi)部D.角形區(qū)域0<arg(z)<π/25.球面映射的性質(zhì)包括？A.將擴(kuò)充復(fù)平面映射為球面B.將北極點(diǎn)映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)C.將球面上的點(diǎn)映射為復(fù)平面上的點(diǎn)D.保持角度不變6.函數(shù)w=1/z的映射將以下哪些區(qū)域映射為對(duì)稱區(qū)域？A.上半平面B.單位圓外部C.角形區(qū)域0<arg(z)<π/2D.帶形區(qū)域0<Im(z)<17.共形映射的應(yīng)用包括？A.流體力學(xué)中的流體流動(dòng)B.電學(xué)中的靜電場(chǎng)分布C.幾何中的圖形變換D.數(shù)值分析中的插值問題8.函數(shù)w=sinh(z)的映射將以下哪些區(qū)域映射為帶形區(qū)域？A.-π<Im(z)<πB.0<Im(z)<1C.-1<Re(z)<1D.0<arg(z)<π9.分式線性函數(shù)z→(2z+3)/(z-1)的映射將以下哪些點(diǎn)映射為特定點(diǎn)？A.z=1→∞B.z=-3→0C.z=∞→2D.z=1/2→-110.函數(shù)w=log(z)的映射將以下哪些區(qū)域映射為帶形區(qū)域？A.0<arg(z)<π/2B.0<Im(z)<1C.0<Re(z)<1D.-π<arg(z)<π四、案例分析（每題6分，共18分）1.題目：函數(shù)w=z2將單位圓內(nèi)部區(qū)域|z|<1映射為復(fù)平面上的哪個(gè)區(qū)域？請(qǐng)說(shuō)明映射過(guò)程并畫出示意圖。2.題目：分式線性函數(shù)w=(z-1)/(z+1)將上半平面Im(z)>0映射為圓或直線，請(qǐng)確定映射后的區(qū)域并說(shuō)明理由。3.題目：函數(shù)w=log(z)將帶形區(qū)域0<Im(z)<1映射為帶形區(qū)域，請(qǐng)確定映射后的帶形區(qū)域并說(shuō)明映射過(guò)程。五、論述題（每題11分，共22分）1.題目：論述共形映射的基本性質(zhì)及其在幾何和物理中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。2.題目：詳細(xì)解釋分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)，并討論其在復(fù)變函數(shù)論中的重要性。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√解析：7.極點(diǎn)與零點(diǎn)的映射關(guān)系在共形映射下不保持不變，因?yàn)闃O點(diǎn)會(huì)被映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或零點(diǎn)，但映射的具體形式取決于函數(shù)。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≠0，則其共形映射將D映射為不含原點(diǎn)的區(qū)域，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的零點(diǎn)會(huì)被映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或零點(diǎn)。二、單選題1.A2.A3.D4.D5.C6.A7.B8.A9.A10.A解析：5.函數(shù)w=sinh(z)=(e^z-e^(-z))/2的映射將帶形區(qū)域-π<Im(z)<π映射為雙曲線，因?yàn)閟inh(z)的實(shí)部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)。10.函數(shù)w=e^z將帶形區(qū)域0<Im(z)<1映射為帶形區(qū)域0<Im(w)<e，因?yàn)閑^z的實(shí)部為e^Re(z)，虛部為Im(z)，當(dāng)Im(z)在(0,1)內(nèi)時(shí)，Im(w)在(0,e)內(nèi)。三、多選題1.A,B,D2.A,C,D3.A,B,C4.A,B,D5.A,B,C,D6.A,B,C,D7.A,B,C,D8.A,B,C9.A,B,C,D10.A,B,D解析：5.球面映射將擴(kuò)充復(fù)平面映射為球面，北極點(diǎn)對(duì)應(yīng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，南極點(diǎn)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)，赤道對(duì)應(yīng)實(shí)軸，且保持角度不變。10.函數(shù)w=log(z)將帶形區(qū)域0<arg(z)<π/2映射為帶形區(qū)域0<Im(w)<π/2，因?yàn)閘og(z)的實(shí)部為arg(z)，虛部為ln|z|，當(dāng)arg(z)在(0,π/2)內(nèi)時(shí)，Im(w)在(0,π/2)內(nèi)。四、案例分析1.參考答案：函數(shù)w=z2將單位圓內(nèi)部區(qū)域|z|<1映射為帶形區(qū)域0<Im(w)<2π。解析：-映射過(guò)程：設(shè)z=re^{iθ}，則w=z2=r2e^{2iθ}，其中0<r<1，0<θ<2π。-映射后區(qū)域：Im(w)=2θ，當(dāng)θ從0變化到2π時(shí)，Im(w)從0變化到4π，但由于周期性，實(shí)際映射為0<Im(w)<2π。-示意圖：?jiǎn)挝粓A內(nèi)部映射為帶形區(qū)域0<Im(w)<2π，實(shí)軸映射為實(shí)軸，虛軸映射為虛軸。2.參考答案：分式線性函數(shù)w=(z-1)/(z+1)將上半平面Im(z)>0映射為圓x2+y2=1。解析：-映射過(guò)程：設(shè)z=x+iy，w=u+iv，則(u+iv)=(x+iy-1)/(x+iy+1)。-化簡(jiǎn)：u+iv=[(x-1)+iy]/[(x+1)+iy]，取共軛并相乘得(u2+v2)=[(x-1)2+y2]/[(x+1)2+y2]，當(dāng)Im(z)>0時(shí)，u2+v2=1。-示意圖：上半平面映射為圓x2+y2=1，實(shí)軸映射為圓周，虛軸映射為圓內(nèi)區(qū)域。3.參考答案：函數(shù)w=log(z)將帶形區(qū)域0<Im(z)<1映射為帶形區(qū)域0<Im(w)<ln(1)=0，即Im(w)=0。解析：-映射過(guò)程：設(shè)z=x+iy，w=log(z)=log|z|+iarg(z)，其中0<Im(z)<1。-映射后區(qū)域：Im(w)=arg(z)，當(dāng)0<Im(z)<1時(shí)，Im(w)=0，即w為實(shí)數(shù)。-示意圖：帶形區(qū)域0<Im(z)<1映射為實(shí)軸，實(shí)軸映射為實(shí)軸。五、論述題1.參考答案：共形映射的基本性質(zhì)：-角度保持不變：共形映射下，任意兩曲線的交角保持不變。-面積按比例縮放：共形映射將面積按模長(zhǎng)的平方比例縮放。-單葉性：共形映射是單葉的，即不同點(diǎn)的像也不同。應(yīng)用：-幾何：將復(fù)雜區(qū)域映射為簡(jiǎn)單區(qū)域，如將橢圓映射為單位圓。-物理中：流體力學(xué)中的流體流動(dòng)，靜電場(chǎng)分布等。舉例：函數(shù)w=z2將上半平面映射為單位圓內(nèi)部，角度保持不變，面積按比例縮放。2.參考答案：分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)：-將直線映射為直線或圓：分式線性函數(shù)將擴(kuò)充復(fù)平面上的直線