2025-2026學(xué)年上學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案12345678BDCBCADB9ACDBCDACD【詳解】（1）根據(jù)題意知y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(2,y0)，所以拋物線準(zhǔn)線方程為x=一，且點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離為4，即p=4，:拋物線的方程為y2=8x；……5分……13分116．【答案】(1)x2+y2=4【詳解】（1）設(shè)Q(x,y)，因?yàn)镹(1,0),M(4,0)，Q滿足即QM|2=4QN|2，即(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2，整理得x2+y2=4，所以曲線C的軌跡方程為x2+y2=4.……8分（2）圓心(0,0)到直線x-y+1=0的距離d所以……15分17．【答案】(1)證明見解析；；(3)存在，.【詳解】（1）在四棱錐P-ABCD中，取PD中點(diǎn)N，連接MN，由M為PA的中點(diǎn)，且AD=2，BC=1，得MN//AD//BC，MNAD=1=BC，則四邊形BCNM為平行四邊形，所以BM//CN，而CN平面PCD，BM不在平面PCD內(nèi)，所以BM//平面PCD.……4分（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO,OC，由△PAD為等邊三角形，得PO丄A而平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，則PO丄平面ABCD.由AO=BC=1，AO//BC，得四邊形ABCO是平行四邊形，于是OC//AB，而AB丄AD，則OC丄AD，直線OC,OD,OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC,OD,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面PCD的法向量為=(x,y,z)，2ABn7設(shè)直線AB與平面PCD所成角為θ,則sinθ=cos,==，ABn7所以直線AB與平面PCD所成角的正弦值為.……9分)設(shè)平面EAC的法向量為=(a,b,c)，于是cos化簡(jiǎn)得3λ2-10λ+3=0，又λ∈[0,1]，解得所以線段PD上存在點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為……15分18．1(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，則由題意得解得.所以b2=a2-c2=4-1=3，所以C的方程為……4分（2）由（1）得F(1,0)，若直線AB與直線DE的斜率一個(gè)為0，另一個(gè)不存在時(shí)，3若直線AB與直線DE的斜率都存在時(shí)，如圖：設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)，A(x1,y1)，B(xx2所以.ABDE綜上所述，1+1ABDE……11分因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以P (|4(|-1)2-3(|-1))22, (|4(|-1)2-3(|-1))若直線PQ的斜率存在，則直線PQ的斜率為 3 7kkPQ47kkPQ444k2+4k24所以直線PQ的方程為y即y所以直線PQ過(guò)定點(diǎn)若直線PQ的斜率不存在，則解得k2=1，此時(shí)直線PQ的方程為x直線PQ也過(guò)定點(diǎn)綜上，直線PQ過(guò)定點(diǎn)……17分【詳解】（1）因?yàn)椴怀^(guò)正整數(shù)6且與6互素的正整數(shù)只有1,5，所以φ(6)=2，因?yàn)椴怀^(guò)正整數(shù)10且與10互素的正整數(shù)只有1,3,7,9，所以φ(10)=4.……4分（2）①所有不超過(guò)正整數(shù)3n的正整數(shù)有3n個(gè)，所以所有不超過(guò)正整數(shù)3n，且與3n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3n-3n-1=2×3n-1個(gè)，即n-1，所以an=n×3n-1，……7分2×3n,所以Sn3n……10分5②