數(shù)字信號(hào)處理教程試題及答案一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于離散時(shí)間信號(hào)的描述，錯(cuò)誤的是（）A.單位沖激序列δ(n)僅在n=0時(shí)取值為1，其余時(shí)刻為0B.階躍序列u(n)在n≥0時(shí)取值為1，n<0時(shí)為0C.正弦序列x(n)=sin(ωn)一定是周期序列D.指數(shù)序列x(n)=a?u(n)的收斂性與|a|有關(guān)2.已知線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)=δ(n-2)，則輸入x(n)=u(n)時(shí)，輸出y(n)為（）A.u(n-2)B.u(n+2)C.δ(n-2)D.δ(n)3.離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的周期性表現(xiàn)為（）A.頻率ω以2π為周期重復(fù)B.時(shí)間n以N為周期重復(fù)C.幅度譜以π為周期重復(fù)D.相位譜無(wú)周期性4.因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的Z變換H(z)滿足（）A.所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，且收斂域包含單位圓B.所有零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，收斂域包含單位圓C.極點(diǎn)可位于單位圓外，只要收斂域包含單位圓D.零點(diǎn)必須位于單位圓上5.關(guān)于IIR濾波器和FIR濾波器的對(duì)比，正確的是（）A.IIR濾波器一定具有線性相位B.FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的C.IIR濾波器可通過(guò)模擬濾波器轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)D.FIR濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)因果系統(tǒng)6.若模擬信號(hào)x?(t)的最高頻率為10kHz，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，最小采樣頻率f?應(yīng)為（）A.5kHzB.10kHzC.20kHzD.40kHz7.已知序列x(n)的Z變換為X(z)=z/(z-0.5)（|z|>0.5），則x(n)為（）A.0.5?u(n)B.0.5?u(-n-1)C.2?u(n)D.2?u(-n-1)8.對(duì)長(zhǎng)度為N的序列進(jìn)行N點(diǎn)DFT，其物理意義是（）A.計(jì)算序列在單位圓上N個(gè)等間隔點(diǎn)的Z變換B.計(jì)算序列的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換C.對(duì)序列進(jìn)行時(shí)域周期延拓后取主值D.直接得到序列的頻譜分辨率為2π/N9.設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，若要求線性相位，則其單位沖激響應(yīng)h(n)需滿足（）A.h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)B.h(n)必須為偶對(duì)稱C.h(n)的長(zhǎng)度必須為奇數(shù)D.h(n)的Z變換極點(diǎn)必須成對(duì)出現(xiàn)10.下列關(guān)于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的描述，錯(cuò)誤的是（）A.窗函數(shù)的主瓣寬度影響濾波器的過(guò)渡帶寬度B.旁瓣衰減影響濾波器的阻帶衰減C.矩形窗的主瓣最窄，旁瓣衰減最大D.漢明窗的旁瓣衰減比矩形窗更優(yōu)二、填空題（每題2分，共20分）1.離散時(shí)間信號(hào)x(n)=3δ(n-1)+2δ(n+2)的能量為_(kāi)_________。2.線性時(shí)不變系統(tǒng)的兩個(gè)重要性質(zhì)是__________和__________。3.序列x(n)=cos(0.3πn)的周期N=__________（要求最小正整數(shù)）。4.離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的公式為X(e^jω)=__________。5.已知H(z)=z/(z-0.8)（|z|>0.8），則其頻率響應(yīng)H(e^jω)=__________。6.模擬角頻率Ω與數(shù)字角頻率ω的關(guān)系為_(kāi)_________（設(shè)采樣頻率為f?）。7.若序列x(n)的Z變換收斂域?yàn)?.5<|z|<2，則x(n)是__________序列（填“左邊”“右邊”或“雙邊”）。8.巴特沃斯模擬濾波器的幅頻特性在通帶內(nèi)最__________（填“平坦”或“陡峭”）。9.對(duì)長(zhǎng)度為8的序列進(jìn)行8點(diǎn)DFT，其頻率分辨率Δf=__________（設(shè)采樣頻率為f?）。10.FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)長(zhǎng)度為N，若滿足h(n)=h(N-1-n)，則其相位特性為_(kāi)_________（填“線性”或“非線性”）。三、判斷題（每題1分，共10分）1.所有周期序列的DTFT都是離散的沖激串。（）2.因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)在n<0時(shí)必須為0。（）3.Z變換的收斂域是環(huán)狀區(qū)域，且不包含極點(diǎn)。（）4.IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)是有理分式，分子分母均為z的多項(xiàng)式。（）5.欠采樣會(huì)導(dǎo)致頻譜混疊，因此采樣頻率必須嚴(yán)格大于信號(hào)最高頻率的2倍。（）6.序列x(n)和y(n)的卷積的DTFT等于各自DTFT的乘積。（）7.DFT是對(duì)DTFT的等間隔采樣，采樣點(diǎn)數(shù)越多，頻率分辨率越高。（）8.設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，增加窗函數(shù)長(zhǎng)度可減小過(guò)渡帶寬度。（）9.穩(wěn)定系統(tǒng)的Z變換收斂域必須包含單位圓。（）10.數(shù)字信號(hào)處理中，信號(hào)的存儲(chǔ)和傳輸需要經(jīng)過(guò)采樣、量化和編碼三個(gè)步驟。（）四、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.已知序列x(n)=a?u(n)+b?u(-n-1)（|a|<1，|b|>1），求其Z變換X(z)并確定收斂域。2.設(shè)計(jì)一個(gè)二階巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，要求通帶截止頻率f?=1kHz，阻帶截止頻率f?=2kHz，通帶最大衰減α?=3dB，阻帶最小衰減α?=15dB，采樣頻率f?=8kHz。（提示：巴特沃斯濾波器的幅頻平方函數(shù)為|H?(jΩ)|2=1/(1+(Ω/Ω?)2N)）3.對(duì)序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3）進(jìn)行4點(diǎn)DFT，計(jì)算其頻域序列X(k)（k=0,1,2,3）。五、綜合分析題（每題10分，共20分）1.某模擬信號(hào)x?(t)=cos(2π×1000t)+cos(2π×3000t)，采樣頻率f?=4000Hz。（1）計(jì)算采樣后的數(shù)字信號(hào)x(n)=x?(nT)（T=1/f?）的表達(dá)式；（2）分析采樣后信號(hào)的頻譜是否發(fā)生混疊，并說(shuō)明理由；（3）若希望無(wú)混疊采樣，最小采樣頻率應(yīng)為多少？2.已知FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)={0.1,0.2,0.4,0.2,0.1}（n=0,1,2,3,4）。（1）判斷該濾波器是否具有線性相位，并說(shuō)明理由；（2）計(jì)算其頻率響應(yīng)H(e^jω)的表達(dá)式；（3）分析該濾波器的幅頻特性（低通、高通或帶通）。參考答案及解析一、選擇題1.答案：C解析：正弦序列x(n)=sin(ωn)的周期性要求ω=2πk/N（k,N為整數(shù)，N>0），若ω不滿足此關(guān)系，則序列非周期。2.答案：A解析：LTI系統(tǒng)的輸出為輸入與沖激響應(yīng)的卷積，即y(n)=x(n)h(n)=u(n)δ(n-2)=u(n-2)。3.答案：A解析：DTFT的頻率ω以2π為周期，即X(e^j(ω+2π))=X(e^jω)。4.答案：A解析：因果系統(tǒng)的極點(diǎn)需在收斂域的內(nèi)部（即收斂域?yàn)閨z|>r，r為最大極點(diǎn)模值），穩(wěn)定系統(tǒng)要求收斂域包含單位圓（|z|=1），因此極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)。5.答案：C解析：IIR濾波器常用模擬濾波器轉(zhuǎn)換法（如雙線性變換法）設(shè)計(jì)；FIR濾波器可通過(guò)窗函數(shù)法等設(shè)計(jì)，且可保證線性相位；IIR濾波器無(wú)固定相位特性，F(xiàn)IR濾波器的沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。6.答案：C解析：奈奎斯特采樣定理要求f?≥2f???，本題f???=10kHz，故f?≥20kHz。7.答案：A解析：X(z)=z/(z-0.5)=1/(1-0.5z?1)，對(duì)應(yīng)右邊序列的Z變換，收斂域|z|>0.5，故x(n)=0.5?u(n)。8.答案：A解析：DFT是對(duì)DTFT在ω=2πk/N（k=0,1,…,N-1）處的采樣，即單位圓上N個(gè)等間隔點(diǎn)的Z變換。9.答案：A解析：線性相位FIR濾波器的沖激響應(yīng)需滿足偶對(duì)稱（h(n)=h(N-1-n)）或奇對(duì)稱（h(n)=-h(N-1-n)）。10.答案：C解析：矩形窗的主瓣最窄，但旁瓣衰減最?。s-13dB），漢明窗的旁瓣衰減更優(yōu)（約-42dB）。二、填空題1.答案：13解析：能量E=Σ|x(n)|2=32+22=9+4=13。2.答案：疊加性；時(shí)不變性3.答案：20解析：周期N滿足0.3πN=2πk（k為整數(shù)），最小N=20（k=3）。4.答案：Σ?=-∞^∞x(n)e^(-jωn)5.答案：e^jω/(e^jω-0.8)解析：頻率響應(yīng)H(e^jω)=H(z)|_{z=e^jω}=e^jω/(e^jω-0.8)。6.答案：ω=ΩT=Ω/f?（T為采樣間隔，T=1/f?）7.答案：雙邊解析：收斂域?yàn)榄h(huán)狀（r?<|z|<r?），對(duì)應(yīng)雙邊序列。8.答案：平坦9.答案：f?/8解析：DFT的頻率分辨率Δf=f?/N=8點(diǎn)時(shí)Δf=f?/8。10.答案：線性三、判斷題1.×解析：周期序列的DTFT是離散的沖激串，但僅當(dāng)序列為嚴(yán)格周期時(shí)成立，若序列有限長(zhǎng)則DTFT連續(xù)。2.√解析：因果系統(tǒng)的定義是n<0時(shí)h(n)=0，輸出僅依賴當(dāng)前及過(guò)去的輸入。3.√解析：Z變換的收斂域是環(huán)狀區(qū)域（或延伸至無(wú)窮大），且不包含極點(diǎn)（極點(diǎn)處Z變換發(fā)散）。4.√解析：IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=B(z)/A(z)，其中A(z)、B(z)為z的多項(xiàng)式，故為有理分式。5.×解析：奈奎斯特采樣定理要求f?≥2f???，等于時(shí)可能剛好無(wú)混疊（理想帶限信號(hào)），但實(shí)際中通常取f?>2f???。6.√解析：DTFT的卷積性質(zhì)：x(n)*y(n)?X(e^jω)Y(e^jω)。7.√解析：DFT的頻率分辨率Δf=f?/N，N越大，Δf越小，分辨率越高。8.√解析：窗函數(shù)長(zhǎng)度增加，主瓣寬度減小，對(duì)應(yīng)濾波器的過(guò)渡帶寬度減小。9.√解析：穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)絕對(duì)可和，即Σ|h(n)|<∞，等價(jià)于Z變換收斂域包含單位圓（|z|=1）。10.√四、計(jì)算題1.解：x(n)由兩部分組成：右邊序列a?u(n)和左邊序列b?u(-n-1)。右邊序列a?u(n)的Z變換為X?(z)=1/(1-az?1)=z/(z-a)，收斂域|z|>|a|（因|a|<1，故|z|>a）。左邊序列b?u(-n-1)的Z變換為X?(z)=-1/(1-bz?1)=-z/(z-b)，收斂域|z|<|b|（因|b|>1，故|z|<b）。因此，X(z)=X?(z)+X?(z)=z/(z-a)-z/(z-b)=z(b-a)/[(z-a)(z-b)]，收斂域?yàn)閨a|<|z|<|b|（因|a|<1<|b|，故收斂域?yàn)閍<|z|<b）。2.解：（1）將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率（雙線性變換法）：數(shù)字通帶截止頻率ω?=2πf?/f?=2π×1000/8000=π/4rad；數(shù)字阻帶截止頻率ω?=2π×2000/8000=π/2rad。預(yù)畸變后的模擬角頻率：Ω?=(2/T)tan(ω?/2)=2×8000×tan(π/8)≈2×8000×0.4142≈6627.2rad/s（T=1/f?=1/8000s）；Ω?=(2/T)tan(ω?/2)=2×8000×tan(π/4)=2×8000×1=16000rad/s。（2）確定濾波器階數(shù)N：由巴特沃斯幅頻平方公式，阻帶衰減α?=10lg[1+(Ω?/Ω?)2N]≥15dB，即(Ω?/Ω?)2N≥10^(α?/10)-1=10^(1.5)-1≈29.12，代入Ω?/Ω?=16000/6627.2≈2.414，則(2.414)2N≥29.12→2N≥ln(29.12)/ln(2.414)≈3.37→N≥1.68，取N=2。（3）設(shè)計(jì)模擬巴特沃斯濾波器：二階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H?(s)=1/[s2+√2Ω?s+Ω?2]（Ω?為3dB截止頻率，此處Ω?=6627.2rad/s）。（4）雙線性變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器：s=(2/T)(z-1)/(z+1)=16000(z-1)/(z+1)，代入H?(s)得H(z)=1/[s2+√2Ω?s+Ω?2]，展開(kāi)后化簡(jiǎn)得到H(z)的具體表達(dá)式（略，最終結(jié)果需代入數(shù)值計(jì)算）。3.解：4點(diǎn)DFT的公式為X(k)=Σ?=03x(n)W?^(kn)，其中W?=e^(-j2π/4)=e^(-jπ/2)=-j。計(jì)算各k值：k=0：X(0)=1+2+3+4=10；k=1：X(1)=1×W??+2×W?1+3×W?2+4×W?3=1+2×(-j)+3×(-1)+4×j=(1-3)+(-2j+4j)=-2+2j；k=2：X(2)=1×W??+2×W?2+3×W??+4×W??=1+2×(-1)+3×1+4×(-1)=1-2+3-4=-2；k=3：X(3)=1×W??+2×W?3+3×W??+4×W??=1+2×j+3×(-1)+4×(-j)=(1-3)+(2j-4j)=-2-2j。因此，X(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j}。五、綜合分析題1.解：（1）x(n)=x?(nT)=cos(2π×1000×n/4000)+cos(2π×3000×n/4000)=cos(0.5πn)+cos(1.5πn)。（2）原信號(hào)最高頻率f??